2021高考数学热点问题千题百炼《第86炼 事件的关系与概率运算》

（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系
（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注
意向量的方向是同向还是反向）
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
3、常见几何图形问题的转化
（1）三角形的“重心”：设不共线的三点 A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3, y3 ，则 ABC 的重
第九章
第 75 炼 几何问题的转换
解析几何
第 75 炼 几何问题的转换
一、基础知识：
在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件
的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列
举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线
B 2,0
kBQ
0 3 k
2 2
3 4k
kBQ kBP
kBP
0 2
12k
4k 2 3 6 8k 2
4k 2 3
12k 16k 2
3 4k
B,Q, P 三点共线
x2
例 2：已知椭圆
a2
y2 b2
1(a b 0) 的右焦点为 F ， M
为上顶点， O 为坐标原点，若
△ OMF 的面积为 1 ，且椭圆的离心率为 2 ．
心
G
x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为
向量数量积为零
（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如

事件的关系与运算专题介绍内容简介帮助高二学子对事件的关系与运算知识进行理解和运用，介绍了事件的关系与运算的几种出题形式．对事件的关系与运算的各知识点进行详细介绍，同时运用例题加深学生印象．例举出该知识可能出现的考点，针对考点设置例题供学生快速提升，并设置了详细的解析让学生参考，快速提升解答能力．适用人群适合中等及中等以下学生的难度．学习效果通过汇总快速解决问题的技巧以及相应的例题解析，巩固本学期内容，夯实基础，查缺补漏，为接下来的考试以及后续学习做好准备．事件的关系与运算核心知识点1：事件的概念及分类核心知识点2：事件的关系与运算核心知识点3：概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为[0，1]；(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.核心知识点4：事件与集合间的对应关系1．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（）A．3件都是红色B．3件都是白色C．至少有1件红色D．有1件白色【解析】解：在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，对于A，3件都是红色是随机事件，故A正确；对于B，3件都是白色是不可能事件，故B错误；对于C，至少有1件红色是确定性事件，故C错误；对于D，有1件白色是随机事件，故D正确．故选：AD．2．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．【解析】解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C．3．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有（）个A．4 B．5 C．6 D．10【解析】解：现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有：（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），共6个．故选：C．4．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能【解析】解：根据题意，在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3＝6，所以事件“这三个数字的和小于5”一定不会发生，是不可能事件，故选：B．5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．（1）写出这个试验的所有结果；（2）设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题．【解析】解：（1）这个试验的所有可能结果为：Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}．（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．（3）①这个试验的所有可能结果为：Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}．②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．必考必会题型1：事件类型的判断【典型例题】给出下列四个命题，其中正确的命题为（）A．“一元二次方程有解”是必然事件B．“飞机晚点”是不可能事件C．“冬天会下雪”是必然事件D．“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件【解析】解：A、“一元二次方程不一定有解”，“一元二次方程有解”是随机事件，故A错误．B、“飞机晚点”是随机事件，故B错误．C、“冬天会下雪”是随机事件，故C错误．D、“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件，故D正确．故选：D．【题型强化】下列事件中是随机事件的个数有（）①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；是随机事件，②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；是必然事件．③某人买彩票中奖；是随机事件．④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．是不可能事件．故选：B．【收官验收】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（）A．3个都是篮球B．至少有1个是排球C．3个都是排球D．至少有1个是篮球【解析】解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件；故选：D．【名师点睛】对事件分类的两个关键点（1）条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生.（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.必考必会题型2：确定试验的样本空间【典型例题】从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝．【解析】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}．故答案为：{0，1，2，3，4}．【题型强化】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，写出这个试验的样本空间．【解析】解：根据题意，试验的样本空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．【收官验收】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面．（1）写出这个试验的样本空间；（2）用集合表示事件：M＝“恰有两枚正面朝上”．【解析】解：（1）这个试验的基本事件为：Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，（2）M＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．【名师点睛】确定试验的样本空间的注意点：（1）写试验的样本点时，要按照一定的顺序，避免重复和遗漏，常用的方法有列举法，列表法和树状图法等.（2）试验的样本空间最终要写成集合的形式.必考必会题型3：事件关系的判断【典型例题】将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张牌，则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑桃A”是（）A．不可能事件B．对立事件C．不是互斥事件D．互斥但不对立事件【解析】解：甲、乙两人不可能同时分得黑桃A，所以是互斥事件；甲、乙两人可能都得不到黑桃A，所以不是对立事件，因此是互斥但不对立事件．故选：D．【题型强化】一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”．其中互斥事件有组．【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个事件，对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件；对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生，是互斥事件，故①④是互斥事件．答案：2【收官验收】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件？是不是对立事件？（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”；（3）“至少有1名男生”与“全是女生”；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．其中互为互斥事件的是，互为对立事件的是．【解析】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，（1）“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件；（2）“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件；（3）“至少有1名男生”与“全是女生”不能同时发生，也不能同时不发生，既是互斥事件，又是对立事件；（4）“至少有1名男生”与“至少有1名女生”能同时发生，不是互斥事件．故答案为：（1），（3）；（3）．【名师点睛】判断事件间关系的方法（1）要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.（2）考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.必考必会题型4：事件的运算【典型例题】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机），事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A．A⊆D B．B ∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【解析】解：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选：D．【题型强化】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A＝“1个红球和2个白球”，事件B＝“2个红球和1个白球”，事件C＝“至少有1个红球”，事件D＝“既有红球又有白球”．则：（1）事件D与事件A，B是什么关系？（2）事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系？【解析】解：（1）对于事件D，可能的结果为“一个红球和2个白球”或“2个红球和1个白球”，故D＝A∪B；（2）对于事件C，可能的结果为“一个红球和2个白球”，“2个红球和一个白球”或“3个红球”，故C ∩A＝A，所以事件C与事件A的交事件与事件A相等．【收官验收】简述事件和全集的关系．【解析】解：随机试验的所有可能结果的集合构成全集，随机试验的每一个可能结果构成一个基本事件，所以，事件是构成全集的元素，全集包含所在的基本事件．【名师点睛】事件运算应注意的2个问题（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.。

课时素养评价三十九事件的关系和运算(15分钟30分)1.一个射手进行一次射击,事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5,则(A.A与B是互斥事件B.A与B是对立事件C.A⊆BD.A⊇B【解析】选C.事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环,故A⊆B.2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是(A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2件,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1件.【补偿训练】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.3.从1,2,…,9中任取两数,其中: ①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述各对事件中,是对立事件的是( A.① B.②④ C.③ D.①③【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件.4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则事件取出的是理科书可记为.【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.答案:B∪D∪E5.在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}.求以上4个事件两两运算的结果.【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,记作A i={出现的点数为i}(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.A∩B=∅,A∩C=A,A∩D=∅.A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4},A∪C=C={出现的点数为1或3或5},A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.B∩C=A3={出现的点数为3},B∩D=A4={出现的点数为4}.B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.C∩D= ,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1,2,3,4,5,6}.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中错误的是( A.A与C互斥 B.B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥【解析】选D.由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.2.打靶3次,事件A i表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示(A.全部击中B.至少击中1发C.至少击中2发D.以上均不正确【解析】选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.3.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为(A.一个是5点,另一个是6点B.一个是5点,另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点【解题指南】考虑事件“都不是5点且不是6点”所包含的各种情况,然后再考虑其对立事件.【解析】选C.设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况.【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误.【补偿训练】抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( A.A与B B.B与CC.A与DD.C与D【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是( A.A⊆D B.B∩D=C.A∪C=DD.A∪B=B∪D【解析】选 D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A:“恰有一件次品”;事件B:“至少有两件次品”;事件C:“至少有一件次品”;事件D:“至多有一件次品”.则选项中结论正确的是( A.A∪B=C B.D∪B是必然事件C.A∪B=BD.A∪D=C【解析】选AB.A∪B表示的事件为至少有一件次品,即事件C,所以A正确,C不正确;D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B正确;A∪D表示的事件为至多有一件次品,即事件D,所以D不正确.6.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是(A.两球都不是白球B.两球恰有一个白球C.两球至少有一个白球D.两球都是黑球【解析】选ABD.根据题意,结合互斥事件、对立事件的定义可得,选项A,事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生,故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件,因为它们的和事件不是必然事件.选项B,事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.选项C,事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生,故它们不是互斥事件;选项D,事件“两球都为白球”和事件“两球都是黑球”是互斥而非对立事件.三、填空题(每小题5分,共10分)7.下列各对事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”.其中是互斥事件的有,是包含关系的有.【解析】①甲射击一次“射中9环”与“射中8环”不能同时发生,是互斥事件;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”不是同一试验的结果,不研究包含或互斥关系;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不能同时发生,是互斥事件;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”,即“甲射中目标但乙没有射中目标”或“乙射中目标但甲没有射中目标”或“甲、乙都射中目标”,具有包含关系.答案:①③④8.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列四个结论正确的是.(填序号)①F与G互斥②E与G互斥但不对立③E,F,G任意两个事件均互斥④E与G对立【解析】由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件.故①,③错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以②错误,④正确.答案:④四、解答题(每小题10分,共20分)9.在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题.(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件.(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.【解析】(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3. 同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,E=F+G,E=D2+D3.10.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少有1名男生与全是男生;(3)至少有1名男生与全是女生;(4)至少有1名男生与至少有1名女生.【解题指南】判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.1.如果事件A,B互斥,那么(A.A∪B是必然事件B.∪是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【解析】选B.用集合表示法中的“Venn图”解决比较直观,如图所示,∪=I是必然事件.2.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长,其中1,3,5号同学为男生,2,4,6号同学为女生,记:C1=“选出1号同学”,C2=“选出2号同学”,C3=“选出3号同学”,C4=“选出4号同学”,C5=“选出5号同学”,C6=“选出6号同学”,D1=“选出的同学学号不大于1”,D2=“选出的同学学号大于4”,D3=“选出的同学学号小于6”,E=“选出的同学学号小于7”,F=“选出的同学学号大于6”,G=“选出的同学学号为偶数”,H=“选出的同学学号为奇数”.据此回答下列问题:(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?(2)如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件,在上述事件中有这样的例子吗?【解析】(1)必然事件有:E;随机事件有:C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1 ,D2,D3,G,H;不可能事件有:F.(2)如果事件C1发生,则事件D1,D3,E,H一定发生.(3)有,如:C1和C2;C3和C4等.。

ADF − BCE 内自由飞翔，由它飞入几何体 F − AMCD 内的概率为
第十一章
第 85 炼 几何概型
概率
随机
A.
3 4
B.
2 3
C.
1 3
D.
1 2
视图可得 可 得
思路：所求概率为棱锥 F − AMCD 的体积 棱柱 ADF − BCE 体积的比值。由
AD = DF = CD = a VADF − BCE = S ADF ⋅ DC = S ADCM =
答案：D
，
且
AD, DF , CD
两
两
垂
直
，
1 1 1 AD ⋅ DF ⋅ DC = a 3 ，棱锥体积 VF − AMCD = DF ⋅ S ADMC ，而 2 2 3
1 3 1 V 1 AD ⋅ ( AM + CD ) = a 2 ，所以 VF − AMCD = a 2 。从而 P = F − AMCD = 2 4 4 VADF − BCE 2
第十一章
第 85 炼 几何概型
概率
随机
第 85 炼 几何概型
一 1 基础知识： 几何概型： 个 件发生的概率只 构成该 件区域的长度 面 为几何概型 或体 成比例， 这样的概
率模型为几何概率模型，简 2
对于一项试验，如果符合以 原 ： 1 基本 件的个数为无限多个 2 基本 件发生的概率相同 通过建立几何模型，利用几何概型计算 件的概率
在题目 述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用 个数确定几何模型：通常 →平面直角坐标系， 个 的个数 几何模型的 度相等：一个 →空间直角坐标系
→数轴，两个 2 类问题
从而将问题转化成为第