2019届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练63文

第7讲 抛物线一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a ．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义，x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°．又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时，|PA |＋|PF |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1． 故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为|PA |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2， 得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53． 答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34．所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45． 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． 2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。

考点一
双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为________. x2 y2 (2)已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线 4 12 右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为____________.
2 y 答案 (1)x2－ 8 ＝1(双曲线定义的应用主要有两个方面：
一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲 线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦
点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经
常结合 ||PF1| － |PF2|| ＝ 2a ，运用平方的方法，建 立与|PF1|，|PF2|的联系.
数且a>0，c>0：
(1)若 a<c 时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为 两条射线 ；
(3)若 a>c 时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程 x2 y2 y2 x2 a2－b2＝1(a>0，b>0) a2－b2＝1(a>0，b>0)
图
形
范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率
x≥a 或 x≤－a， y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
A1(－a，0)，A2(a，0) A (0，－a)，A (0，a) 1 2
b y＝± ax e＝
a y＝± bx
c a
，e∈(1，＋∞)
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 实虚轴 |B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫 做双曲线的虚半轴长 a， b， c 的关系 c2＝ a2＋b2

第 2 讲两直线的地点关系一、选择题1．已知直线l1：mx＋y－ 1＝0 与直线l2：( m－ 2) x＋my－ 2＝ 0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )A．充分不用要条件B．充要条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件分析：选 A．由l1⊥l2，得m( m－ 2) ＋m＝ 0，解得m＝ 0 或m＝ 1，所以“m＝1”是“l1 ⊥l 2”的充分不用要条件，应选A．12．当 0<k<2时，直线l1：kx－y＝k－1 与直线l2：ky－x＝ 2k的交点在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限kkx－ y＝k－1，x＝k－1，分析：选 B．由得y＝ 2k－ 1.ky－ x＝2k，k－11又因为 0<k<2，k 2k－1所以 x＝k－1<0， y＝k－1>0，故直线 l 1： kx － y＝k－1与直线 l 2： ky－ x＝2k 的交点在第二象限．3．若直线l1：y＝k( x－ 4) 与直线l2对于点 (2 ， 1) 对称，则直线l 2 恒过定点( ) A．(0， 4) B．(0 ，2)C． ( －2， 4) D． (4 ，－ 2)分析：选 B．因为直线l1：y＝k( x－ 4) 恒过定点 (4 ，0) ，其对于点 (2 ，1) 对称的点为 (0 ，2) ，又因为直线l 1：y＝k(x－4)与直线l 2 对于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．4．若直线l1：x＋ay＋ 6＝ 0 与l2：( a－2) x＋ 3y＝0 平行，则 l 1与 l 2之间的距离为()A． 2 B． 2 2C．3 2 D． 4 2分析：选 C．因为l1∥l2，1a所以a－2＝3，解得 a＝－1，所以 l 1 与 l 2 的方程分别为 l 1： x － y ＋ 6＝ 0， l 2： x －y ＝ 0，| 6－ 0|所以 l 1 与 l 2 的距离 d ＝＝3 2．选 C ．25．光芒沿着直线 y ＝－ 3x ＋ b 射到直线 x ＋ y ＝ 0 上，经反射后沿着直线 y ＝ ax ＋ 2 射出，则有()11A ． a ＝ ， b ＝ 6B ． a ＝－ ， b ＝－ 63311C ． a ＝3， b ＝－ 6D ． a ＝－ 3， b ＝ 6分析：选 B ．在直线 y ＝－ 3x ＋ b 上随意取一点 A (1 ， b － 3) ，则点 A 对于直线 x ＋ y ＝ 0的对称点 B ( － b ＋ 3，－ 1) 在直线 y ＝ ax ＋2 上，故有－ 1＝ a ( － b ＋ 3) ＋ 2，即－ 1＝－ ab ＋ 3a＋ 2，所以 ab ＝ 3a ＋ 3，联合所给的选项，只有B 项切合，应选 B ．6．在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l ：ax ＋ y －1＝ 0 与过定点 Q 的直线 m ：x － ay＋3＝ 0 订交于点 M ，则 | MP | 2＋ | MQ | 2的值为 ()10A ． 2B ． 10C ． 5D ． 10分析：选 D ．由题意知 P (0 ， 1) ，Q ( － 3， 0) ，因为过定点P 的直线 ax ＋ － 1＝ 0 与过定点 Q 的直线 x － ay ＋3＝ 0 垂直，所以 位于以yMPQ 为直径的圆上，因为 | PQ |＝ 9＋ 1＝ 10，所以 | MP |2＋ | MQ |2＝ | PQ | 2＝ 10，应选 D ． 二、填空题7．直线 x － 2 ＋1＝ 0 对于直线x ＝1 对称的直线方程是 ________．y分析：由题意得直线x －2y ＋ 1＝ 0 与直线 x ＝ 1 的交点坐标为 (1 ， 1) ．又直线 x － 2y ＋1＝ 0 上的点 ( － 1， 0) 对于直线 x ＝ 1 的对称点为 (3 ， 0) ，y － 0 x － 3所以由直线方程的两点式，得 1－ 0＝ 1－ 3，即 x ＋ 2y －3＝ 0．答案： x ＋ 2y － 3＝ 08．以点 (4 ，1) ， (1 ，5) ， ( － 3，2) ， (0 ，－ 2) 为极点的四边形 的面积为 ________．ABCDABCD分析：因为 k AB ＝5－1＝－ 4， 1－4 3k DC ＝ 2－（－ 2） 4－3－0＝－ 3．地地道道的达到k AD ＝－ 2－1＝ 3， k BC ＝ 2－ 5 ＝ 3．0－4 4 －3－ 1 4则 k AB ＝ k DC ， k AD ＝k BC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．又 k AD · k AB ＝－ 1，即 AD ⊥ AB ，故四边形 ABCD 为矩形．故 S ＝| AB | ·|AD | ＝（ 1－ 4） 2＋（ 5－ 1） 2× （ 0－ 4） 2＋（－ 2－ 1） 2＝25．答案： 259．已知 l ， l 2 是分别经过 A (1 ， 1) ， B (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当 l ，l2间的距11离最大时，则直线 l 1 的方程是 ________．分析：当直线 AB 与 l 1， l 2垂直时， l 1， l 2 间的距离最大．因为 A (1 ，1)，B (0，－ 1) ， 所以 k AB ＝ － 1－1＝ 2，所以两平行直线的斜率为 k ＝－ 1，0－121所以直线 l 1 的方程是 y － 1＝－ 2( x － 1) ，即 x ＋2y － 3＝0． 答案： x ＋ 2y － 3＝ 010．在平面直角坐标系内，到点A (1 ，2) ， B (1 ，5) ， C (3 ，6) ， D (7 ，－ 1) 的距离之和最小的点的坐标是 ________．分析：设平面上任一点 M ，因为 | MA |＋ | MC | ≥|AC | ，当且仅当 A ，M ， C 共线时取等号， 同理 | MB | ＋| MD |≥ | BD | ，当且仅当 B ，M ，D 共线时取等号， 连结 AC ，BD 交于一点 M ，若 | MA |6－ 2＋| MC |＋ | MB |＋ | MD |最小，则点 M 为所求．因为 k AC ＝3－ 1＝ 2，所以直线 AC 的方程为 y －2＝ 2( x －1) ，即 2x － y ＝ 0．①5－（－ 1） 又因为 k BD ＝＝－ 1，所以直线 BD 的方程为 y －5＝－ ( x － 1) ，即 x ＋y － 6＝ 0．②2x －y ＝ 0，x ＝ 2，(2 ，4)．联立①②解得 所以 x ＋y － 6＝ 0， y ＝ 4， M答案： (2 ， 4) 三、解答题11．已知点 (2，－ 1)．P(1) 求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2) 求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？呵呵复生复生复生(3) 能否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明原因．解： (1) 过点 P 的直线 l 与原点的距离为2，而点 P 的坐标为 (2 ，－ 1) ，明显，过P (2 ，－1) 且垂直于 x 轴的直线知足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋ 1＝ k ( x － 2) ，即 kx － y － 2k －1＝ 0．| － 2k － 1|3 由已知得k 2＋ 1 ＝ 2，解得 k ＝4． 此时 l 的方程为 3x － 4y －10 ＝ 0．综上，可得直线 l 的方程为 x ＝ 2 或 3x － 4y －10＝ 0．(2) 作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图．由 l⊥OP ，得 k l k OP ＝－ 1，所以 k l ＝－1＝2．k OP由直线方程的点斜式得 y ＋1＝2( x－2) ，即 2 － － 5＝0．x y所以直线 2x － y － 5＝ 0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线， 最大距离为| －5|．＝ 55(3) 由 (2) 可知，过点 P 不存在到原点的距离超出5的直线，所以不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线．12．正方形的中心为点C ( － 1， 0) ，一条边所在的直线方程是 x ＋ 3y －5＝ 0，求其余三边所在直线的方程．解：点 C 到直线 x ＋ 3y －5＝ 0 的距离 d ＝| －1－ 5|3 101＋9 ＝5 ． 设与 x ＋ 3y － 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是 x ＋ 3y ＋m ＝ 0( m ≠－ 5) ，则点 C 到直线 ＋ 3 y ＋ ＝0 的距离x m|－1＋ |310d ＝m，＝51＋ 9解得 m ＝－ 5( 舍去 ) 或 m ＝7，所以与 x ＋ 3 y －5＝ 0 平行的边所在直线的方程是 x ＋ 3y ＋7＝ 0．设与 x ＋ 3 － 5＝ 0 垂直的边所在直线的方程是3 － ＋ ＝0，yx yn则点 C 到直线 3x － y ＋ n ＝0 的距离＝ | －3＋ n | ＝3 10， d 1＋ 9 5解得 n ＝－ 3 或 n ＝ 9，所以与 x ＋ 3 y －5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x － y － 3＝ 0 和 3x － y ＋ 9＝0．1．已知△ ABC 的极点 A (5 ，1) ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x － y － 5＝0，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x －2y － 5＝ 0，求直线 BC 的方程．解：依题意知： k AC ＝－ 2， A (5 ， 1) ，所以 l AC 的方程为 2x ＋y － 11＝0，2x ＋ y －11＝ 0， 联立 得 C (4 ，3)．2x － y －5＝ 0，设 B ( x 0，y 0) ，则 AB 的中点 M x 0＋ 5， y 0＋ 1，2 2 代入 2x － y － 5＝ 0，得 2x 0－ y 0－ 1＝ 0，2x 0－ y 0－ 1＝ 0，联立 得 B ( －1，－ 3)，x 0－ 2y 0－ 5＝ 0，66所以 k ＝5，所以直线 BC 的方程为 y －3＝ 5( x －4) ，即 6x － 5y － 9＝0．BC2．已知三条直线： l 1：2x － y ＋ a ＝ 0( a >0) ； l 2：－ 4x ＋ 2y ＋ 1＝0； l 3：x ＋ y － 1＝ 0，且l 1 与 l 7 5 2 间的距离是．10(1) 求 a 的值；(2) 可否找到一点 P ，使 P 同时知足以下三个条件：①点 P 在第一象限；②点 P 到 l 1 的距离是点 P 到 l 2 的距离的 1；2③点 P 到 l 1 的距离与点 P 到 l 3 的距离之比是2∶ 5．若能，求点 P 的坐标；若不可以，说明原因．1a － －解：(1) 直线 l 2：2x －y － 1＝ 0，所以两条平行线2＝l 1 与 l 2 间的距离为 d ＝222＋（－ 1） 27510，1a＋2 7 5 1 7所以 5 ＝10，即 a＋2 ＝2，又 a>0，解得 a＝3．(2) 假定存在点P，设点P( x0，y0) ．若点P知足条件②，则点P 在与 l 1， l 2平行的直线l′： 2x－y＋c＝ 0 上，1| c－ 3| 1c＋2且5＝2×5，13 11 13 11即 c＝2或6，所以直线 l ′的方程为2x0－y0＋2＝ 0 或 2x0－y0＋6＝ 0；若点 P知足条件③，由点到直线的距离公式，有 |2 x －y ＋3| ＝2×| x＋y－1| ，0 0 0 05 5 2即 |2 x0－y0＋ 3| ＝ | x0＋y0－ 1| ，所以 x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；因为点 P 在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能．13联立方程 2x0－y0＋2＝ 0 和x0－2y0＋ 4＝ 0，x0＝－3，解得1(舍去)；y0＝211联立方程 2x0－y0＋6＝ 0 和x0－2y0＋ 4＝ 0，x0 1＝9，解得37y0 ＝18. 所以存在点 P 1 37，18 同时知足三个条件．9。

章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中 一、选择题1．已知A (1，2)，B (3，4)，点P 在x 轴的负半轴上，O 为坐标原点，若△P AB 的面积为10，则|OP |＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C.设P (m ，0)(m <0)，P 到直线AB 的距离为d ，因为|AB |＝（3－1）2＋（4－2）2＝22， 由S △P AB ＝10得12×22×d ＝10.所以d ＝5 2. 又直线AB 的方程为x －y ＋1＝0，所以|m ＋1|2＝5 2.解得m ＝－11或m ＝9(舍去)， 所以|OP |＝|m |＝11.选C.2．Rt △ABC 中，|BC |＝4，以BC 边的中点O 为圆心，半径为1 的圆分别交BC 于P ，Q ，则|AP |2＋|AQ |2＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D.法一：特殊法．当A 在BC 的中垂线上时， 由|BC |＝4，得|OA |＝2.所以|AP |2＋|AQ |2＝2|AP |2＝2(12＋22)＝10.选D.法二：以O 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)，P (－1，0)，Q (1，0)设A (x 0，y 0)，由AB ⊥AC 得y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝－1. 即x 20＋y 20＝4.所以|AP |2＋|AQ |2＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 2＝2(x 20＋y 20)＋2 ＝2×4＋2＝10.即|AP |2＋|AQ |2＝10.故选D.3．如图，AB 是椭圆C 长轴上的两个顶点，M 是C 上一点，∠MBA ＝45°，tan ∠MAB ＝13，则椭圆的离心率为 ( )A.22B.32C.33D.63解析：选D.以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则直线MA ，MB 的方程分别为y ＝13(x ＋a )，y ＝－x ＋a .联立解得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，所以⎝⎛⎭⎫a 22a2＋⎝⎛⎭⎫a 22b2＝1，化简得a 2＝3b 2＝3(a 2－c 2)，所以c 2a 2＝23，所以c a ＝63.故选D.4. 过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C点，若B 是AC 的中点，则|AB |＝( )A ．8B ．9C ．10D ．12解析：选B.设A ，B 在准线上的射影分别为D ，E ，且设AB ＝BC＝m ，直线l 的倾斜角为α.则BE ＝m |cos α|，所以AD ＝AF ＝AB －BF ＝AB －BE ＝m (1－|cos α|)，所以|cos α|＝AD AC＝m （1－|cos α|）2m .解得|cos α|＝13.由抛物线焦点弦长公式|AB |＝2psin 2得|AB |＝81－19＝9.故选B.或：由|cos α|＝13得tan α＝±2 2.所以直线l 的方程为y ＝±22(x －2)，代入y 2＝8x 得 8(x 2－4x ＋4)＝8x ，即x 2－5x ＋4＝0.所以x A ＋x B ＝5，则|AB |＝x A ＋x B ＋4＝9.故选B. 二、填空题5．与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0的双曲线方程为__________________．解析：由于椭圆x 249＋y 224＝1的焦点为(±5，0)，所以可设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以a 2＋b 2＝25.①由渐近线方程4x ＋3y ＝0得b a ＝43，② 联立①②解得a ＝3，b ＝4，故双曲线方程为 x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)及圆O ：x 2＋y 2＝a 2，如图过点B (0，a )与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A ，若∠AOB ＝60°，则椭圆的离心率为________________．解析：法一：y ＝c a x ＋a 与x 2＋y 2＝a 2联立得x A ＝－2a 2c a 2＋c 2，y A ＝a 3－ac 2a 2＋c 2，由于∠AOB ＝60°，因而cos ∠AOB ＝a ×a 3－ac 2a 2＋c 2a 2＝12，即a 2－c 2a 2＋c 2＝12，所以1－e 21＋e 2＝12，解得e ＝33. 法二：直线l 的斜率为ca ＝e ，由于∠AOB ＝60°，设AB 与x 轴交于点C ，则在Rt △OBC中，∠OCB ＝30°，因而e ＝tan ∠OCB ＝33. 答案：33三、解答题7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，过F 1的直线交椭圆于E ，F 两点，且△EFF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆的左，右顶点，若直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点Q 是椭圆上异于A ，B 的一个动点，直线AQ 交l 于点M ，过点M 垂直于QB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．解：(1)由椭圆的定义知|EF 1|＋|EF 2|＝2a ，|FF 1|＋|FF 2|＝2a ， 又已知△EFF 2的周长为8，所以4a ＝8，故a ＝2.又e ＝c a ＝22，故c ＝2，所以b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意A (－2，0)，B (2，0)，直线l ：x ＝2，显然直线AQ 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线AQ 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），可得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＝2，可得点M (2，4k )．又B (2，0)，则k BQ ＝4k2k 2＋12－4k22k 2＋1－2＝－12k ， 所以k m ＝2k ，故直线m 的方程为y －4k ＝2k (x －2)，即y ＝2kx ， 所以直线m 过定点(0，0)．8．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，过点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32. (1)分别求抛物线C 和椭圆E 的方程； (2)经过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，切线l 1与l 2相交于点M .证明：AB ⊥MF . 解：(1)由已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，可得抛物线C 的方程为x 2＝4y .设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不符合题意． 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 并整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1x 2＝－4.因为抛物线C 的方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，所以过抛物线C 上A ，B 两点的切线方程分别是y －y 1＝12x 1(x －x 1)，y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 1x －14x 21，y ＝12x 2x －14x 22， 解得两条切线l 1，l 2的交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24，即M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1， 所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 21)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0. 所以AB ⊥MF .。