人教版高中数学选修2-3：第二章2.22.2.1条件概率含解析

2．2.1 条件概率 2．2.2 事件的独立性

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解条件概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式．

3．能利用概率公式解决实际问题．

1．条件概率

(1)定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示，读作“A发生的条件下B发生的概率”．

类似地，事件B发生的条件下事件A发生的条件概率记为“P(A|B)”，读作“B发生的条件下A发生的概率”．

(2)事件的交(或积)

由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．

(3)条件概率计算公式

一般地，条件概率公式为

P(B|A)＝P（A∩B）P（A）(P(A)＞0)，

类似地，P(A|B)＝P（A∩B）P（B）(P(B)＞0)．

2．相互独立事件

(1)定义：一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

若n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称这n个事件相互独立．

(2)相互独立事件的性质

一般地，若事件A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．

(3)相互独立事件同时发生的概率

①两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A∩B)＝P(A)×P(B)．

②如果事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即

P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An) 并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后，等式仍成立．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若事件A、B互斥，则P(B|A)＝1.( )

(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )

条件概率

一、知识概述

条件概率的定义：

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．

注意：

（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．

（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．

（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．

注：概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系：

联系：事件A，B都发生了．

区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．

二、例题讲解：

例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①；②；③事件B与事件A1相互独立；

④是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．

解：

答案：②④

例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．

解：

令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．

则所求概率为Ｐ（B|A）．

，．

． 即所求概率为．

例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：

（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？

解：

记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．

2.2 二项分布及其应用

2.2.1 条件概率

课前导引

问题导入

为了了解某地区参加会计资格考试的1 005名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，求

（1）每个个体被剔除的概率；

（2）每个个体不被剔除的概率；

（3）每个个体被抽取的概率分别是多少？

思路分析：（1）由于每个个体被剔除的概率是相等的，于是每个个体被剔除的概率为51 005.（2）每个个体不被剔除的概率为1-10055=10051000.（3）一个个体被抽到等价于这个个体不被剔除，并且被抽到.因此每个个体被抽到的概率为10051000×100550100050.

解析：设事件A：考生a被剔除；事件B：考生a不被剔除；事件C：考生a被抽取.从1 005中随机抽取5个共有51005C种结果，每一种结果出现的可能性相等.

（1）事件A包含41005C种结果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=5100541005CC=10055;

(2)由对立事件的概率的公式得：

P（B）=1-P（A）=10051000；

（3）从不被剔除的1 000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公式得每个个体被抽取的概率：P（C）=1000551000114999CCC，考生a被抽到是在不被剔除的条件下从1 000个考生中被抽到.

知识预览

1.条件概率的定义：

一般地，设A，B为两个事件，且P（A）＞0,称

P（B|A）=)()(APABP

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.

2.条件概率的性质：0≤P（B|A）≤1

3.如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）

普通高中数学选修2--1（第三章）学案 3.1空间向量及其运算

长铁一中导学·学案

第4课时：空间向量的正交分解及其坐标表示

年级：高二 班级： 姓名：

课型；新课 主备人： 胡碧银 审核人：罗永义 导学时间：第 周

学习目标：

1、 类比平面向量基本定理推导空间向量基本定理，了解空间向量基本定理的意义；

2、 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

3、 体会在空间图形中选用三个不共面向量作为基底表示其他向量的方法。

自主学习

1、 空间向量基本定理

定理：如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组,,xyz，使得p= 。

其中,,abc叫做空间的一个基底，,,abc都叫做基向量。

2、 空间向量的正交分解及其坐标表示

（1） 单位正交基底

三个有公共起点O的 123,,eee称为单位正交基底。

（2） 空间直角坐标系

以123,,eee的公共起点O为原点，分别以 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立 。

（3）对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量

OPp，存在有序实数组,,xyz使得123pxeyeze，把,,xyz称为在单位正交基底123,,eee下的坐标。

知识的运用

例1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？

变式训练：以下四个命题中正确的是( )

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示