长方体和正方体统一的体积计算公式
一、长方体体积计算公式推导。
1. 长方体的基本元素。
- 长方体有长、宽、高这三个维度。设长方体的长为a，宽为b，高为h。
2. 体积的意义及计算方法。
- 体积是指物体所占空间的大小。对于长方体来说，我们可以通过数小正方体的个数来计算它的体积。
- 我们把长方体看作是由若干个单位体积（棱长为1的小正方体）组成的。沿着长的方向，可以摆放a个小正方体；沿着宽的方向，可以摆放b个小正方体；沿着高的方向，可以摆放h个小正方体。
- 那么长方体所含小正方体的总个数（也就是长方体的体积V）就等于长、宽、高的乘积，即V = a×b×h。
二、正方体体积计算公式推导。
1. 正方体的特点。
- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。
2. 正方体体积计算。
- 由于正方体的长、宽、高都为a，根据长方体体积公式V=a×b×h，此时b =
a，h=a，所以正方体的体积V=a×a×a=a^3。
1. 统一公式的原理。
- 我们可以把长方体和正方体的体积公式统一起来。对于长方体V = a×b×h，而正方体是特殊的长方体，当a=b = h时，正方体体积V=a^3。 - 如果我们把长方体底面的面积S = a×b（底面积就是长乘宽），那么长方体的体积V=S×h（体积等于底面积乘高）。
- 对于正方体，它的底面积S = a×a=a^2，体积V = S×a=a^2×a=a^3，也符合V
= S×h这个公式（这里h=a）。
1 第7课时 长方体和正方体的体积统一公式
学习内容 长方体和正方体的体积统一公式 编写人
学习目标 1、理解长方体和正方体统一的体积公式的推导过程；
2、掌握正方体和长方体统一的体积公式，运用体积公式解决问题。
重 难 点 重点：利用正方体和长方体统一的体积公式解决问题。
难点：长方体和正方体统一的体积公式的推导过程。
导学流程 自主空间
一、前置性学习：
1、长方体和正方体的体积公式分别是？
2、自学（P43）
（1）提问：什么叫底面积？
（2）怎样求长方体和正方体的底面积呢？
长方体的体积= 长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
底面积 底面积
（3）长方体和正方体的体积还可怎样计算？
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示写成：
二、独立自主学习：
1、计算下面长方体和正方体的体积。
三、合作互助学习：
1、（P31页）一根长方体木料，长5M，横截面的面积是0.06M。这根木料的体积是多少？
横截面面积就是？
长相当于？
怎样计算它的体积 ？
2、一根长方体木料长2米，把它沿横截面截成三段后，表面积比原来增加了8.64平方分米，这跟木料的体积是多少立方分米？
3、建筑工地要挖一个长50M，宽30M，深50CM的长方体土坑，要挖出多少方土？（提示：在工程上，“1M3”的土、沙石等均简称“一方”。）
四、展示引导学习：
1、分小组展示学习中的疑问和收获。
2、老师对需要强化的知识点进行指导。
五、评价提升学习：
1、完成p33页11、12.
2、希望小学修一个长60米、宽40米的长方形操场，先要铺一层8厘米的三合土，再铺煤渣。需要三合土多少立方米?
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小学数学 长方体和正方体的体积公式的应用
我们知道，正方体是特殊的长方体，那么可以用同一个公式计算它们的体积吗？如果可以，那么这个公式是什么？
在长方体和正方体中，无论怎么放置，总会有一个面朝下，通常我们把朝下的这个面叫做底面。这个底面的面积，叫做底面积。
→长方体的底面积＝长×宽
→正方体的底面积＝棱长×棱长
1. 长方体和正方体统一体积计算公式：长方体（或正方体）的体积＝底面积×高；用字母表示为。
2. 已知长方体的底面积、高、体积三个量中的任意两个量，可以求出第三个量。
① 已知底面积和高，求体积。直接用长方体体积公式“”计算。
② 已知体积和高，求底面积。用长方体体积公式变形公式“”计算。
③ 已知体积和底面积，求高。用长方体体积公式变形公式“”计算。
例题1 一个长方体的钢坯，横截面的面积是８，长是0. 7dm，10个这样的钢坯的体积是多少？
解答过程：我们先求出一个钢坯的体积，钢坯的横截面的面积可以看作是底面积，长可以看作钢坯的高，根据长方体和正方体的统一体积公式，即可求出一个钢坯的体积。
答案：V=Sh=8×0.7=5. 6（） 5. 6×10=56（）
答：10个这样的钢坯的体积是56立方分米。
例题2 一块正方体的方钢，棱长是20cm，把它锻造成一个高80cm的长方体模具，这个长方体模具的底面积是多少平方厘米？
解答过程：锻造前后体积不变。先求出正方体的体积，也就是长方体模具的体积，再根据Ｖ＝Ｓｈ可以推导出S=V÷h，即用长方体模具的体积除以它的高，就能求出长方体模具的底面积。
答案：20×20×20÷80=100
答：这个长方体模具的底面积是100。
2 技巧点拨：根据公式Ｖ＝Ｓｈ，可推导出S=V÷h，h=V÷S，已知这三个量中的任意两
个量，都可以求出第三个量。
例题3 一个长方体，表面积是368cm²，底面积是40cm²，底面周长是36cm，求这个长方体的体积。
长方体和正方体体积的统一计算公式
汕头市濠江区河南小学 陈少茹
教学内容： 人教版五年级下册教材第31页的内容。
教学目标：
1 、在理解底面积的基础上掌握长方体和正方体体积的统一计算公式
2 、进一步培养学生归纳整理、抽象概括的能力。
教学重难点：
1 、长、正方体体积的统一计算公式。
2、逆向思维的解决问题方法。
教学准备：长方体、正方体模型。
教学过程：
一、复习旧知：
1 、如何计算长正方体的体积？（指名回答，集体反馈）
板书：长方体的体积＝长×宽×高
正方体体积＝棱长×棱长×棱长
2 、学校要修长50米，宽42的长方形操场。先铺10厘米的三合土，再铺5厘米的煤渣。需要三合土和煤渣各多少立方米？
（同桌完成，集体交流）
二、探究新知：
1 、长方体和正方体体积公式的统一
拿出长方体和正方体模型，学生指出哪一个面是底面。
师指出： 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。（生读记）
设疑：长方体底面面积怎样求？正方体呢？
生回答，师板书：长×宽 棱长×棱长
正方体的另一条棱长实际上也是这个正方体的什么？（高）
大家观察一下体积公式，有什么发现吗？
板书：长方体的体积＝长×宽×高
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
板书：长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示：V=sh （在这三个量中，只要知道其中两个，就能求出另外一个。）
三、知识应用
（1）教材31页做一做第2题。
（学生在老师的提示下先独立完成，在同桌交流，最后集体反馈。）
（提示：理解横截面积的含义，体会长方体不同放置，说法各不相同，这里的横截面相当于底面）
（2）教材31页做一做第1题。
四、知识延伸
1 、一根长方体水泥柱，体积是1立方米，高是4米，它的底面积是多少？
2、一块长方体的木板，体积是90立方分米。这块木板的长是60分米，宽是3分米。这块木板的厚度是多少分米？
