二次函数在闭区间上的最值1

1 高一课时教（学）案

学科___数学__班级____小组_____姓名_______ 编号 020 审批____________

课 题 二次函数区间最值（二） 编制人

审核人

学习目标 知识目标：会求二次函数的区间最值。

能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力；

情感目标：初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。

学习（教学）反思

课 前 预 习

一、基础练习：

1. 函数2yx4x2在区间03，上的最大值是_________，最小值是_______。

2. 已知函数2()21fxxax，求[2,1]x上的最小值h(a)。

2 课 堂 探 究

二、典例探究（自主学习、合作探究）

例 1. 如果函数2()-2+2fxxx定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。.

．

3 变式训练：已知2()22fxxx，当[1]xtt，时，求()fx的最大值

四、当堂检测:

1、函数2fxx2x3在0,m最大值是3，最小值是2，则m的范围

是

五、课堂小结:

4 课 后 巩 固

A组：

1. 设函数2f(x)x4x4的定义域为t2t1，，对任意tR，求函数f(x)的最小值(t)的解析式

2、求函数2()2fxxx在[t,1]上的值域。

B组：

3. 已知2()272fxxx，是否存在实数m(m>0),使f(x)的定义域为[m,3]，值域为

[1,3m]，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

浅谈二次函数在区间上的最值问题

发表时间：2020-01-07T16:01:51.480Z 来源：《中小学学校管理》2019年4月总第168期 作者： 马锋战

[导读] 在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。

陕西省乾县杨汉中学 713300

二次函数是中学数学中的重要函数，也是高中（必修一）教材的难点与重点问题，对与刚进入高中的学生来说这类问题很难处理，尤其是这个问题涉及数学的一个重要的思想“分类讨论思想”。如果学生的思路不清，学生要么无从入手，要么丢三拉四，从而又导致遗漏、考

虑问题不够全面。再者它的性质及应用是高考的重点考查内容。根据我个人多年的教学经验，现谈一下具体的求解方法，希望能够帮助学

生解决这一问题。二次函数的最值问题分为三类：一、区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数；二、区间固定，对称轴变动(含参

数)，求最值；三、对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值。不论是哪一类问题归根影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛

物线的开口方向、对称轴和区间的位置。在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关

键。

一、定轴定区间

这类问题，一般不含参数，也不需分类讨论，所给区间是确定的，其对称轴位置也确定，则只要先考虑其对称轴横坐标是否在给定区间内，当对称轴横坐标在给定区间内时，其一个最值在顶点取得，另一个最值在于顶点横坐标距离较远的端点取得；当对称轴横坐标不在给定区间时，可利用函数单调性确定其最值。

【变式训练】不等式x2－2mx-1>0在[1,3]内恒成立，求实数m的取值范围。

解：设f(x)=x2－2mx-1,则对称轴x=m，△=4m2+4>0，由题意，只需在x∈[1,3]内f(x）min>0，（1）当m<1时，f(x）min=f(1)=-2m>0,则

m<0.（2）当1≤m≤3时，f(x）min=f(m）=-m2-1>0，无解，m∈ （3） 当m>3时，f(x）min=f(3)=8-6m>0,即m< 34，故m∈ . 综上所述：

第1页（共11页） 二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。

分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2

当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：

（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。

（2）当bamn2，时

若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()

若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()

当a0时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，

如图1所示。函数的最大值为f()22，最小值为f()02。

图1

练习. 已知232xx，求函数fxxx()21的最值。 第2页（共11页） 解：由已知232xx，可得032x，即函数fx()是定义在区间032，上的二次函数。将二次函数配方得fxx()12342，其对称轴方程x12，顶点坐标1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，内，如图2所示。函数fx()的最小值为f()01，最大值为f32194。

一动一定中的二次函数最值问题

1、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值；

2、二次函数的最值只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得：

3、二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论

设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。

分析：将fx()配方，得对称轴方程xba2

当a0时，抛物线开口向上

若bamn2[]，，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；

若bamn2[]，，

当a0时，抛物线开口向上，此时函数在[]mn，上具有单调性，故在离对称轴xba2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时

))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf

当a0时

)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910

例1、求函数2()44fxxx在下列区间上的最大值和最小值

（1）[0,1] （2） [1,3] （3）[3,6]

例2、已知函数2()4fxxxa在[0，6]的最大值为13，求a的值.

例3、已知函数2()24fxxax在区间[0，3]上的最小值为1，求a的值

例4、已知函数2()24fxxax在区间[1，3]上的最大值为13，求a的值.