空间几何—平行垂直证明(高一)

利用空间向量证明平行垂直关系（讲案）

【教学目标】

本节内容 目标层级 是否掌握

方向向量与法向量概念 ★★★☆☆☆

利用空间向量证明平行关系 ★★★★☆☆

利用空间向量证明垂直关系 ★★★★☆☆

一、方向向量与法向量概念

【知识点】

1. 直线的方向向量：

如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量。

注：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，在直线上任取两点，所形成的向量即为该直线的方向向量，可参与向量运算或向量的坐标运算。

（3）直线的方向向量是非零向量且不唯一。

2. 平面的法向量：直线la，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量。

（注意：平面的法向量是非零向量且不唯一）

3. 确定平面的法向量的方法

（1）直接法：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量，即观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量。

（2）待定系数法：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

（i）设出平面的法向量为(,,)nxyz

（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a111(,,)abc，222,,)(babc

（iii）根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程00nanb ；

（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

4. 空间位置关系的向量表示

位置关系 向量表示

直线12,ll的方向向量分别为12,nn 12ll 1212//()nnnknkR

12ll 12120nnnn

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系

（一）线线平行

1、 定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁ 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行

1、 定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。 2、 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。又因为 M 是 PC 的中点，所以

MO∥PA。因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面

MBD。

（三）面面平行

1、 定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁ 中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面

A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系

（一）线线垂直

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

知 识 梳 理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系 向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2

l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0

l⊥α n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm

α⊥β n⊥m⇔n·m＝0

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )

(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )

(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )

答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )

A.α∥β B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对

解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直. 答案 C

3.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )

A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)

平行

1．直线与平面平行的判定

(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．

(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．

2．两个平面平行的判定

(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．

(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．

(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．

3．直线与平面平行的性质

(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

符号表示为：．

注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．

(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．

符号表示为：若，点，且，则．

4．平面与平面平行的性质

(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．

此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．

(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．

垂直

1．直线与平面垂直的判定

(1)直线与平面垂直的定义