专题08立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b bc P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥【典型例题】例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】①应用反证法：AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，利用线面垂直的性质及三角形的内角和得到矛盾，即可判断；②③根据线面垂直的性质判断即可.【详解】①如下图，若AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，则,αβ相交，，令l αβ=，在l 任找一点C ，连接,AC BC ，则,,A B C 为三角形，由,AC BC αβ⊂⊂，则AB AC ⊥，AB BC ⊥，即90BAC ABC ∠=∠=︒，显然,,A B C 不能构成三角形，与假设矛盾，所以,αβ平行，正确.②由线面垂直的性质定理知：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；③由线面垂直的性质知：一条直线与平面垂直，则垂直于平面内所有直线，正确； 故选：D例2．（2022·河南开封·高一期中）已知直线a ，b ，平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ）A ．,a αβα⊥⊂，则a β⊥B ．//,//a αβα，则a β∥C ．//,a b ββ⊂，则//a bD ．a 与b 互为异面直线，//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】A 选项中，只有直线a 与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B 选项中，还有可能a β⊂；C 选项中，两直线a ，b 平行或异面；D 选项中，过直线a 上一点做//b b '，则相交直线a ，b '确定一个平面，设为γ，易得//γα且//γβ，所以//αβ；故选：D ．（多选题）例3．（2022·河南开封·高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（ ）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．PD ⊥平面OMN【答案】ABC【解析】【分析】 A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥.【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC ⊄在平面OMN ，OM ⊂平面OMN ，所以//PC 平面OMN ，A 正确；同理可推得//PD 平面OMN ，⋂=，而PC PD PPCD平面OMN，B正确；所以平面//因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则,2PA PC a AC a，===⊥，所以PA PCPC MO，因为∥⊥，C正确.所以OM PA故选ABC．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知，连接DG，CD与FG交与点M，先证明四边形CFDG是平行四边形，从而得到DM＝MC．结合BH＝HC，可证明MH∥BD，再使用线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明四边形EFCH是平行四边形，从而得到CF∥HE．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC，再证明GH∥AB，因为AB⊥BC，所以GH⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面EGH，再使用面面垂直的判定定理即可完成证明.(1)如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH ．在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF ．因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC ．因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD ． 又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH ．(2)因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ．因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC ．又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE ．因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC ．又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH ．又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH ．例5．（2022·全国·高一期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是AB 、AD 的中点，E 、F 、P 分别是11B C 、1BB 、1DD 的中点.(1)证明：MN ∥平面11BDD B ；(2)证明：1CA MN ⊥；(3)请判断直线EF 与平面MNP 位置关系（不需说明理由）.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)EF ⊂平面MNP ．【解析】【分析】（1）因为MN BD ∥，根据线面平行判定即可证明；（2）先证MN ⊥平面1A AC ，根据线面垂直性质即可证明线线垂直；（3）连接11C D 中点G 如图所示即可判断结果．(1)∵MN BD ∥，MN ⊂面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，∴MN ∥平面11BDD B ；(2)1AA ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴1AA MN ⊥∵AC BD ⊥，MN BD ∥∴AC MN ⊥．又∵1AA AC A =，∴MN ⊥平面1A AC ，∴1CA MN ⊥．(3) EF ⊂平面MNP例6．（2022·河南开封·高一期中）在条件①AC BC ⊥；②1AB AC =；③平面1AB C ⊥平面11BB C C 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，且________，求证：11BC AB ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】选条件①：将证明11BC AB ⊥转化为证明1BC ⊥平面1AB C ，再根据线面垂直的判定定理分析所需条件，将所需条件不断转化为线线垂直、线面垂直，结合已知可证；选择②：设11BC B C M ⋂=，连接AM ，利用等腰三角形的性质可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证；选择③：根据面面垂直的性质定理可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证.【详解】（情况一）补充条件①AC BC ⊥．证明：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥．因为1,⊥=AC BC BC BB B ，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C所以AC ⊥平面11BB C C ．因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AC BC ⊥，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．（情况二）补充条件②1AB AC =．证明：设11BC B C M ⋂=，连接AM ．因为1AB AC =，M 为1BC 的中点，所以1AM BC ⊥．因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为AM ⊂平面11,AB C B C ⊂平面11,=AB C AMB C M ， 所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥，（情况三）补充条件③平面1AB C ⊥平面11BB C C ．证明：在棱柱111ABC A B C -中，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为平面1AB C ⊥平面11BB C C ，平面1AB C平面1111,=⊂BB C C B C BC 平面11BB C C ，所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．例7．（2022·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥； （2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .(1)因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB .因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例8．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，在四面体P ABD中，AD⊥平面P AB，PB ⊥P A(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有AD PB⊥，再根据线面垂直的判定证结论.（2）由（1）及面面垂直的判定可得面PBD⊥面APD，再由面面垂直的性质有AG⊥面PBD，根据线面垂直的性质即可证结论.(1)由AD⊥平面P AB，PB⊂面PAB，则AD PB⊥，又PB⊥P A，PA AD A⋂=，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及PB⊂面PBD，则面PBD⊥面APD，=，AG⊥PD，AG⊂面APD，又面PBD面APD PD所以AG⊥面PBD，而BD⊂面PBD，所以AG⊥BD．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·海安县实验中学高一期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合图形逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】⋂=，连接QO，对于A：如图所示，连接BC、DE，设BC DE O∕∕，因为Q、O分别为所在棱的中点，所以AB QOMNQ Q，即直线QO与平面MNQ不平行，又QO⋂平面=所以直线AB与平面MNQ不平行，故A符合题意；对于B：如图所示，取DG的中点E，连接CB、AD、EQ、NE，则////MQ CB MN AC ，，且AC CB C MNMQ M ==，，所以平面//ACBD 平面MNQE ，又AB 平面ACBD ，AB ⊄平面MNQ ， 所以AB ∕∕平面MNQ ，故B 不符合题意.对于C ：如图所示，连接DC ，则//AB DC ，因为M 、Q 为所在棱的中点，所以//MQ DC ，又MQ 平面MNQ ，DC ⊄平面MNQ ，所以//DC 平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 不符合题意；对于D ：如图所示，连接DC ，//AB DC ，因为Q 、N 为所在棱的中点，所以NQ CD ∕∕，所以//AB NQ ，又NQ ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以AB ∕∕平面MNQ ，故D 不符合题意.故选：A.2．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知平面α平面l β=，直线//,//a a αβ，则直线a 与l 的位置关系是（ ） A ．平行或异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面【答案】C【解析】【分析】过a 作平面m γα=、n ηβ=，由线面平行的性质得//m a 、//n a ，即//m n ，根据线面平行判定及性质有//m l ，最后由平行公理的推论判断直线a 与l 的位置关系.【详解】过a 作平面m γα=，//a α，则//m a ， 过a 作平面n ηβ=，//a β，则//n a所以//m n ，m β⊄，n β⊂，则//m β，而m α⊂，平面α平面l β=，则//m l ， 综上，//a l .故选：C3．（2022·广东·广州市第四十一中学高一阶段练习）已知直线m 、n 和平面αβ、，下列命题正确的是（ ）A ．若,m n n α∥∥，则m αB ．若,,m n m n ααβ⊂∥∥、，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥D ．若α∥,m ββ⊂，则m α 【答案】D【解析】【分析】本题考查平行关系的理解，常见错误有对平行线传递性的误解以及平行相关定义、定理的条件结论理解错误．【详解】A 中，可知m 与n 的位置关系：平行或相交或异面，A 不正确；B 中，根据面面平行的判定定理，前提m 与n 必须相交，B 不正确；C 中，可知m 与n 的位置关系：平行或异面，C 不正确；D 中，若α∥β，则平面α内任一条直线均平行平面β，D 正确．故选：D ．4．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m α⊄, n ⊂α则m ∥αC ．若m ∥α, n ∥α，m β⊂，n β⊂，则α∥βD ．若m ∥α，n ∥β， α∥β，则m ∥n【答案】B【解析】【分析】利用直线和平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理即可求解.【详解】对于选项A ,由直线和平面的性质定理可知，直线m 只能和过这条直线的任意平面与平面α的交线平行，则直线m 和n 不一定平行，则A 不正确；对于选项B ，利用直线与平面平行的判定定理可知选项B 正确；对于选项C ，平面α和平面β可能相交，则选项C 不正确，对于选项D ，直线m 和直线n 可能相交或异面，则D 不正确；故选：B .5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．②③④ 【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面的关系，可以求解.【详解】由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．故选:A6．（2022·全国·高一课时练习）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段BC 1上任意一点，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD 1⊥DPB ．AP ⊥B 1C C ．AC 1⊥DPD ．A 1P ⊥B 1C【答案】B【解析】【分析】 由正方体的性质有B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，再根据线面垂直的性质判断B ，根据正方体性质判断A 、C 、D.【详解】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DP 与1BC 不垂直，而11//AD BC ，即DP 与1AD 也不垂直，A 错误；因为B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1，因为点P 是线段BC 1上任意一点，即AP 面ABC 1D 1，所以AP ⊥B 1C ，B 正确；若E 为AB 中点，则1//AC PE ，而DP 与PE 不垂直，则1AC 不与DP 垂直，C 错误；由下图知：结合正方体性质知，1A P 与1B C 不垂直，D 错误.故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）如图，正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，则（ ）A ．存在点G ，使PG ⊥EF 成立B ．存在点G ，使FG ⊥EP 成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立【答案】C【解析】【分析】A 选项假设PG ⊥EF ，证得AC ⊥面ABD ，与题设矛盾即可判断；B 选项由PE BF ∥求出异面直线,PE FG 的夹角小于2π即可判断；C 选项取CD 中点N ，过B 作BH AN ⊥于H ，先证BH ⊥面ACD ，再由BH 与面EFG 相交即可判断；D 选项直接证明当G 与BD 中点M 重合时，面ABD ⊥面EFG 即可.【详解】在A 中，取BD 中点M ，连接,AM CM ，易得,AM BD CM BD ⊥⊥，,AM CM ⊂面ACM ，AM CM M ⋂=，故BD ⊥面ACM ，又AC ⊂面ACM ，故BD AC ⊥，若PG ⊥EF ，,PG BD ⊂面ABD ，PG BD G ⋂=，则AC ⊥面ABD ，显然不成立，故不存在点G ，使PG ⊥EF 成立，故A 错误；在B 中，连接,BF DF ，易得PE BF ∥，故BFG ∠或其补角即为异面直线,PE FG 的夹角，不妨设3AB =，在ABF 中，由余弦定理2222cos 3BF AB AF AB AF π=+-⋅⋅，即22213223272BF =+-⨯⨯⨯=，解得7BF 7DF =在BFD △中，222779cos 0227BF DF BD BFD BF DF +-+-∠==>⋅⨯，则2BFD π∠<，显然2BFG BFD π∠<∠<，故不存在点G ，使FG ⊥EP 成立，故B 错误；在C 中，取CD 中点N ，连接,AN BN ，过B 作BH AN ⊥于H ，易得,BN CD AN CD ⊥⊥，,AN BN ⊂面ABN ，AN BN N =，故CD ⊥面ABN ，又BH ⊂面ABN ，故CD BH ⊥，又,AN CD ⊂面ABN ，AN CD N ⋂=，故BH ⊥面ACD ，若平面EFG ⊥平面ACD ，则BH ⊂面EFG 或BH 面EFG ，显然BH 与面EFG 相交，故不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，当G 与BD 中点M 重合时，由A 选项知有BD ⊥面ACM ，即BD ⊥面EFG ，又BD ⊂面ABD ，故面ABD ⊥面EFG ，故存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误．故选：C ．8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，不能证明⊥AP BC 的条件是（ ）A ．BC ⊥平面APCB ．AP PC ⊥，AP PB ⊥ C ．PC BC ⊥，平面APC ⊥平面BPCD ．BC PC ⊥，AB BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 A 选项利用线面垂直（BC ⊥平面APC ）可推出线线垂直（⊥AP BC ），B 选项利用两组线线垂直（AP PC ⊥，AP PB ⊥）推出线面垂直（AP ⊥平面BPC ），再推出线垂直（⊥AP BC ），C 选项利用面面垂直的性质定理可推出⊥AP BC ，D 选项不能证明出⊥AP BC .【详解】BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥ ，故A 选项可以证明，因此不选.AP PC ⊥，AP PB ⊥，,,PC PB P PC PB ⋂=⊂平面BPC ，AP ∴⊥平面BPC ，BC ⊂平面BPC ，BC AP ∴⊥.故B 选项可以证明，因此不选.平面APC ⊥平面BPC ，平面APC 平面=BPC PC ，PC BC ⊥，由面面垂直的性质定理知BC ⊥平面APC .AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥，故C 选项可以证明，因此不选.由D 选项BC PC ⊥，AB BC ⊥并不能推出⊥AP BC .故选：D.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若11AP B D ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．1110B 23C ．65D 5 【答案】BC【解析】【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点P 的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.【详解】取11B D 中点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD =，O 是11B D 的中点，11B D AO ∴⊥，同理11B D OC ⊥，11B D ∴⊥面AOC ，又点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，11AP B D ⊥P ∴一定在线段OC 上运动在AOC △中，6AO CO ==2AC = 故cos OCA ∠=132AC OC =26sin 1cos OCA OCA ∠=-∠， 故A 到OC 的距离23sin d AC OCA =⋅∠=232AP ≤故选BC ．10．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）在三棱锥P ABC -中，从顶点P 向底面作垂线，垂足是H ，给出以下命题中正确的是（ ）A ．若,PA BC PB AC ⊥⊥，则H 是ABC 的垂心B ．若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC 的垂心C ．若PA PB PC ==，则H 是ABC 的外心D ．若H 是AC 的中点，则PA PB PC ==【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，结合选项逐项分析即可求出答案.【详解】由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故A 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA PC ⊥，PA PB ⊥，且PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故B 正确；PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以,,⊥⊥⊥PH AB PH AC PH BC ，又因为PA PB PC ==，所以≅≅Rt PAH Rt PBH Rt PCH ，因此AH BH CH ==，所以H 是ABC 的外心，故C 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，又H 是AC 的中点，所以PA PC =，当12BH AC =时，有PA PB PC ==，当12≠BH AC ，PA PC PB =≠， 故D 不一定成立；故选：ABC.11．（2022·云南师大附中高一期中）已知m ，n 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m α⊂，n ⊂α，m n P =，//m β，//n β，则//αβB ．若m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n βC ．若//m α，//m β，n αβ=，则//m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD【解析】【分析】A 根据面面平行的判定判断；B 由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C 过m 作平面l γα⋂=，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D 由面面垂直的判定判断.【详解】A ：由//m β，//n β且,m n α⊂，m n P =，根据面面平行的判定知：//αβ，正确；B ：m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n β或n β⊂，错误；C ：过m 作平面l γα⋂=，而//m α，则//m l ，又//m β则l β//，n αβ=，故//l n ，所以//m n ，正确；D ：由m α⊥，m β⊂，根据面面垂直的判定知：αβ⊥，正确.故选：ACD12．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC CD ⊥，AB CD ∥，3BC =12AA AB AD ===，点P ，Q ，R 分别在棱1BB ，1CC ，1DD 上，若A ，P ，Q ，R 四点共面，则下列结论正确的是（ ）A ．任意点P ，都有AP QR ∥B ．存在点P ，使得四边形APQR 为平行四边形C ．存在点P ，使得BC ∥平面APQRD ．存在点P ，使得△APR 为等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱1111ABCD A B C D -，//AB CD ，所以平面11//ABB A 平面11DCC D ，又因为平面APQR ⋂平面11ABB A AP =，平面APQR ⋂平面11DCC D QR =， 所以//AP QR ，故A 正确；对于B ：若四边形APQR 为平行四边形，则//AR QP ，而AD 与BC 不平行，即平面11ADD A 与平面11BCC B 不平行，所以平面APQR ⋂平面11BCC B PQ =，平面APQR ⋂平面11ADD A AR =，直线PQ 与直线AR 不平行，与//AR QP 矛盾，所以四边形APQR 不可能是平行四边形，故B 不正确；对于C ：当BP CQ =时，R 为D 时，满足//BC 平面APQR ，故C 正确.对于D ：假设存在点P ，使得APR △为等腰直角三角形，令BP x =，过点D 作DE AB ⊥，则3DE BC ==DR 上取一点M 使得DM BP x ==，连接,BD PM ，则四边形BDMP 为矩形，所以2MP BD ==，则()2224PR PM MR DR x =+=+- 2224AP PB AB x +=+2224AR DR AD DR =+=+显然,AR PR AP PR ≠≠，若由AP AR =，则BP DR x ==且//BP DR ⇒四边形BPDR 为平行四边BPDR ， 所以2222228282RP BC CD AP BP x +=++D 错误； 故选：AC.【点睛】关键点睛：运用假设法进行求解是解题的关键.三、填空题13．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________． 66a 【解析】【分析】过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，即可证明平面//PQM 平面SAD ，根据面面平行的性质得到//MQ SD ，再分别求出PM 、QM ，利用余弦定理求出cos ADS ∠，由此利用余弦定理能求出线段PQ 的长．【详解】 解：如图，过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上， :1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，因为//PM BC ，//AD BC ，所以//PM AD ，PM ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ， 所以//PM 平面SAD ，又PM PQ P =，,PM PQ ⊂平面PQM ，所以平面//PQM 平面SAD ，平面PQM平面SDC MQ =，平面SDC 平面SAD SD =， //MQ SD ∴，2233PM BC a ∴==， //QM SD ∴，1233QM SD a ∴==， //SD QM ，//AD MP ，PMQ ADS ∴∠=∠，222222441cos 2224AD SD SA a a a ADS AD SD a a +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 22222244162cos 299492233a PQ PM QM PM QM PMQ a a a a =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 6PQ ∴=． ∴线段PQ 6．6 14．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E 、F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则EF 的长=___________.6【解析】【分析】连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，得到//OP QC ，再由//EF 平面PBD ，利用线面平行的性质得到//EF OP ，进而得到//EF QC 求解.【详解】解：因为长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，所以底面边长为1AD =，高为14AA =，如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，则//OP QC ，因为//EF 平面PBD ，且EF ⊂平面1A ACC ，平面11A ACC ⋂平面BPD OP =，所以//EF OP ，则//EF QC ， 又//QE CF ，所以四边形QEFC 是平行四边形，所以26EF QC OP ===615．（2022·浙江浙江·高一期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为线段AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的的周长等于________.【答案】32【解析】【分析】分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，易证AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，从而1QE BD ⊥，同理1QF BD ⊥，由线面垂直判定定理得到1BD ⊥平面ENMGFG ，进而得到所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG 求解.【详解】如图所示：分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，则//QE AC ，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，又1DD BD D =， 所以AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，所以1QE BD ⊥，同理 1QF BD ⊥，又1QE QF Q ⋂=，所以1BD ⊥平面ENMGFG ，即所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG ，因为正方体的棱长为1，所以正六边形ENMGFG 2，所以正六边形ENMGFG 2632= 故答案为：3216．（2022·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE 3求出线段B 1F 的长.【详解】设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又11AB A S =122＝221222+ ，所以h 23DE 3 在Rt △DB 1E 中，B 1E 2223623⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得：2216212222x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：x ＝12.即线段B 1F 的长为12.故答案为：12四、解答题17．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.(1)求证1AC B C ⊥；(2)求证：1//AC 平面1CDB .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由侧棱与底面垂直可得1CC AC ⊥，结合AC BC ⊥，可得AC ⊥平面11BCC B ，即可得证；（2）连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，利用中位线的性质可知1//DE AC ，进而即可证明结论.(1)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥.(2)证明：连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，因为点D 是AB 的中点，所以1//DE AC ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB .18．（2022·广东·广州六中高一期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)//BE 平面PAD ；(2)CD ⊥平面BEF ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明//BE 平面PAD ；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ．(1)因为E 是CD 的中点，2CD AB =，所以AB DE =，因为//AB CD ，所以//AB DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//BE AD ，BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ；(2)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB 底面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以，CD AD ⊥，CD PD ⊥，因为//BE AD ，所以CD BE ⊥，因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF DP ，又CD PD ⊥，所以CD EF ⊥，BE EF E =，,BE EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ．19．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝BC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起、得到四锥P －DEBC ，F 为PC 的中点，M 为EB 的中点(1)证明：FM //平面PDE ；(2)证明：DE ⊥PC ；(3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，求三棱锥E －DCF 的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.【解析】【分析】（1）连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，在△CPG 中//FM PG ，根据线面平行的判定即可证结论.（2）H 为DE 中点，连接,PH CH ，易得DEBC 为平行四边形、△PDE 为等边三角形且60EDC ∠=︒，进而可得PH DE ⊥、CH DE ⊥，再根据线面垂直的判定、性质证明结论. （3）首先确定四棱锥P －DEBC 的体积最大时面PDE ⊥面DEBC ，再确定P －DEBC 的体高，并求得F 到面DEBC 的距离，由E DCF F DEC V V --=及棱锥的体积公式求体积.(1)连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，则G 在面PDE 内，M 为EB 的中点，则M 为CG 中点，在△CPG 中//FM PG ，又PG ⊂面PDE ，FM ⊄面PDE ，所以FM //平面PDE .(2)若H 为DE 中点，连接,PH CH ，由题设//CD EB 且2CD EB ==，即DEBC 为平行四边形，则2DE BC ==， 所以△PDE 为等边三角形，故PH DE ⊥，又ABCD 为等腰梯形，则60EBC ∠=︒ 所以60EDC ∠=︒，又1DH =，2CD =，易知：CH DE ⊥，又PHCH H =，则DE ⊥面PHC ，PC ⊂面PHC ，故DE ⊥PC . (3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，面PDE ⊥面DEBC ，则△PDE 的高PH 即为四棱锥P －DEBC 的体高，又F 为PC 的中点，所以F 到面DEBC 的距离32PH h ==，由（2）易知DEBC 为边长为2的菱形， 又132DEC DEBC S S =1132E DCF F DEC DEC V V hS --===. 20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一期中）已知正方体1111-ABCD A B C D ．(1)求证：AD1//平面1C BD ；(2)求证：1AD ⊥平面1A DC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明11//AD BC ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质证明1CD AD ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.(1)在正方体1111ABCD A B C D -中，1111////C D A B AB ，1111C D A B AB ==，则有四边形11ABC D 是平行四边形，有11//AD BC ，而1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ，所以1//AD 平面1C BD ．(2)在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ，则1CD AD ⊥， 在正方形11A ADD 中，11A D AD ⊥，又1A D CD D =，1,A D CD ⊂平而1A DC ， 所以1AD ⊥平而1A DC ．21．（2022·云南昆明·高一期中）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1AA 中点，12AA AB ==.(1)求证：1AC ∥平面11B D E ；(2)求三棱锥11A B D E -的体积；(3)在1AC 上是否存在点M ，满足1AC ⊥平面11MB D ？若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 3(3)32【解析】【分析】 （1）连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可； （2）过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由线面垂直的判定证明1B H ⊥平面11AA D D ，最后由1111113AED B AED V S B H =⋅三棱锥-△得出体积； （3）由线面垂直的性质证明111AC B D ，作1⊥FM AC ，垂足为M ，由线面垂直的判定证明1AC ⊥平面11MB D ，最后得出AM 的长.(1)证明：连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，∵1111D C B A 是菱形，∴F 是11A C 中点，∵E 是1AA 中点，∴1∥EF AC ，∵EF ⊂平面11B D E ，1AC ⊄平面11B D E ，∴1AC ∥平面11B D E .(2)解：过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由1AA ⊥底面ABCD 知1AA ⊥平面1111D C B A ，则11⊥AA B H ，又1111=⋂AA A A ，1B H ⊥平面11AA D D .由11160∠=∠=︒A B C ABC 知1160︒∠=A H B ，又112A B =，则13B H =1111111113123332AED A B D E B AED V V S B H --==⋅=⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥 (3)解：∵1AA ⊥平面ABCD ，平面1111∥A B C D 平面ABCD ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，∵11B D ⊂平面1111D C B A ，∴111⊥B D AA ，∵菱形1111D C B A 中1111B D A C ⊥，1111A C AA A =，11A C ，1AA ⊂平面11AA C ，∴11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，∴111AC B D ， 过F 在11Rt AAC △中，作1⊥FM AC ，垂足为M ，则由11⋂=M B F D F ，FM ，11B D ⊂平面11MB D 知1AC ⊥平面11MB D ，∴存在M 满足条件，在11Rt AAC △中，1112AA AC ==，122AC =F 是11A C 中点， ∴12==C M FM 23222==AM 22．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，3PC =E 是线段PC 上的一点，()R PE EC λλ=∈．(1)试确定实数λ，使//PA 平面BED ，并给出证明；(2)当2λ=时，证明：PC ⊥平面BED ．【答案】(1)1λ=，证明见解析。
