2011-2012年上海高考数学卷 理科
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
理科数学
一、填空题（56分）
1．函数1()2fxx的反函数为1()fx 。
2．若全集UR，集合{|1}{|0}Axxxx，则UCA 。
3．设m为常数，若点(0,5)F是双曲线2219yxm的一个焦点，则m 。
4．不等式13xx的解为 。
5．在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为 。
6．在相距2千米的A．B两点处测量目标C，若0075,60CABCBA，则A．C两点之间的距离是 千米。
7．若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为 。
8．函数sin()cos()26yxx的最大值为
。
9．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯
定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E 。
10．行列式abcd（,,,{1,1,2}abcd）的所有可能值中，最大的是 。
11．在正三角形ABC中，D是BC上的点，3,1ABBD，则ABAD 。
12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
13．设()gx是定义在R上．以1为周期的函数，若()()fxxgx在[3,4]上的值域为[2,5]，则()fx在区间[10,10]上的值域为 。
14．已知点(0,0)O．0(0,1)Q和0(3,1)R，记00QR的中点为1P，取01QP和10PR中的一条，记其端点为1Q．1R，使之满足11(||2)(||2)0OQOR；记11QR的中点为2P，取12QP和21PR中的一条，记其端点为2Q．2R，使之满足22(||2)(||2)0OQOR；依次下去，得到点12,,,,nPPP，则0lim||nnQP 。
二、选择题（20分）
15．若,abR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）
A．222abab B．2abab C．112abab D．2baab ?!?321P(ε=x)x16．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数为 （ ）
A．1ln||yx B．3yx C．||2xy D．cosyx
17．设12345,,,,AAAAA是空间中给定的5个不同的点，则使123450MAMAMAMAMA成立的点M的个数为（ ） A．0 B．1 C．5 D．10
18．设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为
A．{}na是等比数列。
B．1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列。
C．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列。
D．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同。
三、解答题（74分）
19．（12分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，12zz是实数，求2z。
20．（12分）已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab。
（1）若0ab，判断函数()fx的单调性；
（2）若0ab，求(1)()fxfx时x的取值范围。
21．（14分）已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O是11AC和11BD的交点。
（1）设1AB与底面1111ABCD所成的角的大小为，二面角111ABDA的大小为。
求证：tan2tan；
（2）若点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高。
22．（18分）已知数列{}na和{}nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN），将集合
**{|,}{|,}nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc。 O1DCBAD1C1B1A1（1）求1234,,,cccc；
（2）求证：在数列{}nc中．但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa；
（3）求数列{}nc的通项公式。
23．（18分）已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作(,)dPl。
（1）求点(1,1)P到线段:30(35)lxyx的距离(,)dPl；
（2）设l是长为2的线段，求点集{|(,)1}DPdPl所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段12,ll距离相等的点的集合12{|(,)(,)}PdPldPl，其中
12,lABlCD，
,,,ABCD是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD。
② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。
③ (0,1),(0,0),(0,0),ABCD。
参考答案 一、填空题
1．12x；2．{|01}xx；3．16；4．0x或12x；5．25arccos5；6．6；7．33；
8．234；9．2；10．6；11．152；12．0.985；13．[15,11]；14．3。
二、选择题 15．D；16．A；17．B；18．D。
三、简答题
19．解： 1(2)(1)1zii12zi„„„„„„（4分）
设22,zaiaR，则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai，„„„„„„（12分）
∵ 12zzR，∴ 242zi „„„„„„（12分） 20．解：⑴ 当0,0ab时，任意1212,,xxRxx，则121212()()(22)(33)xxxxfxfxab
∵ 121222,0(22)0xxxxaa，121233,0(33)0xxxxbb，
∴ 12()()0fxfx，函数()fx在R上是增函数。
当0,0ab时，同理，函数()fx在R上是减函数。
⑵ (1)()223xxfxfxab
当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；
当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb。
21．解：设正四棱柱的高为h。
⑴ 连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，
∴ 1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA
∵ 11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，
∴ 11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA
∴ 111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDCh
11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC
设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，
∵ 111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh
∴ 点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h。
22．⑴ 12349,11,12,13cccc；
⑵ ① 任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即 2132nnab
② 假设26627nkanbk*132knN（矛盾），∴ 2{}nnab
∴ 在数列{}nc中．但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa。
⑶ 32212(32)763kkbkka，
3165kbk，266kak，367kbk A1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1C1D1ABCDO1∵ 63656667kkkk
∴ 当1k时，依次有111222334,,,bacbcacbc，„„
∴ *63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk。
23．解：⑴ 设(,3)Qxx是线段:30(35)lxyx上一点，则
22259||(1)(4)2()(35)22PQxxxx，当3x时，min(,)||5dPlPQ。
⑵ 设线段l的端点分别为,AB，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，
则(1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成
12:1(||1),:1(||1)lyxlyx，222212:(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx
其面积为4S。
⑶ ① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)ABCD，{(,)|0}xyx
② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)ABCD。
2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}xyxyxyyxyxyxyx
③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。
{(,)|0,0}{(,)|,01}xyxyxyyxx
2{(,)|21,12}{(,)|4230,2}xyxyxxyxyx
1-1-11yxOBAODCBA31-1yx-2xy-113ABCDODB=CA122.5yx
