2000年上海高考数学理科卷

2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( )(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(2) 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是( )(A) 23(B) i 32-(C)i 33- (D) 3i 3+(3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是( )(A) 23(B) 32(C) 6(D)6(4) 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )(A) 若α、β是第一象限角，则βαcos cos > (B) 若α、β是第二象限角，则βαtg tg > (C) 若α、β是第三象限角，则βαcos cos > (D) 若α、β是第四象限角，则βαtg tg > (5) 函数x x y cos -=的部分图像是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )(A) 800~900元(B) 900~1200元(C) 1200~1500元(D) 1500~2800元(7) 若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则( )(A) R <P <Q(B) P <Q <R(C) Q <P <R(D) P <R <Q(8) 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ(B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ(C) ()1cos 2-=θρ(D) ()1sin 2-=θρ(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( ) (A)ππ221+ (B)ππ441+ (C)ππ21+ (D)ππ241+ (10) 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )(A) x y 3=(B) x y 3-=(C) x y 33=(D) x y 33-= (11) 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )(A) a 2(B)a 21 (C) a 4(D)a4 (12) 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为( )(A) 321arccos(B) 21arccos (C) 21arccos(D) 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)(14) 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________(15) 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______(16) 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上) 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分) 已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；C 1CDABD 1B 1A 1(III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明． (19) (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数． (20) (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ； (II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．(21) (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) (22) (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B(8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 =41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sin x cos x )＋1 =41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π)＋45 =21sin(2x ＋6π)＋45——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ， 即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换：(i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π，得到函数y =sin(x ＋6π)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y =21sin(2x ＋6π)的图像；(iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图像． ——12分 (18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分 但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ． 作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23， OHGC 1CDA BD 1B 1A 1所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ， 由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C 平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分 当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ， 又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即OHGC 1CDA BD 1B 1A 112+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212aax -≤≤}； 当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2．f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0， ∴ f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以，当a ≥1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f (x 1)=1，f (x 2)=1，即f (x 1)=f (x 2)，所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=( c n +2－pc n+1)(c n －pc n －1)， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p (2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p (2n +1＋3n +1)]·[2n +3n －p (2n －1＋3n －1)]， ——3分即[(2－p )2n +(3－p )3n ]2=[(2－p )2n+1+(3－p )3n+1][ (2－p )2n －1+(3－p )3n －1]，整理得61(2－p )(3－p )·2n ·3n =0， 解得p =2或p =3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3． 事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A (－c ，0)，C (h c ，h )，E (x 0, y 0)，其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ． 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =.由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-bh e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ， 故 2312+-=e λ． ——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ． 所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

（1）已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。

（2）函数，x x y --=312log 2的定义域为 。

（3）圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。

（4）计算：nn n )2(lim += 。

（5）已知b x f x+=2)(的反函数为)(),(11x fy x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。

（6）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）（7）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥， 命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥 （8）设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。

（9）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）（10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。

（11）在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

(12)在等差数列{}n a 中，若=n a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若1=b ，则有等式 成立。

2000年年全国普通高等学校招生统一考试上海 物理试卷考生注意：1．全卷共8页，24题，在120分钟内完成。

2．第21、22、23、24题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分，有数字计算的问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一、（50分）选择题，本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个答案中，至少有一个是正确的，把正确的答案全选出来，并将正确答案前面的字母填写在题后的方括号内，每一小题全选对的得5分；选对但不全的，得部分分；有选错或不答的，得0分，填写在方括号外的字母，不作为选出的答案。

1．下列关于光的说法中正确的是（A ）在真空中红光波长比紫光波长短。

（B ）红光光子能量比紫光光子能量小。

（C ）红光和紫光相遇时能产生干涉现象（D ）红光照射某金属时有电子向外发射，紫光照射该金属时一定也有电子向外发射。

[ ]2．关于α、β、γ三种射线，下列说法中正确的是（A ）α射线是原子核自发放射出的氦核，它的穿透能力最强。

（B ）β射线是原子核外电子电离形成的电子流，它具有中等的穿透能力。

（C ）γ射线一般们随着α或β射线产生，它的穿透能力量强。

（D ）γ射线是电磁波，它的穿透能力最弱。

[ ]3．一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球，考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程。

（A ）小球在水平方向的速度逐渐增大。

（B ）小球在竖直方向的速度逐渐增大。

（C ）到达最低位置时小球线速度最大。

（D ）到达最低位置时绳中的位力等于小球重力。

4．如图所示，两根平行放置的长直导线a 和b 载有大小相同方向相反的电流，a 受到的磁场力大小为1F ，当加入一与导线所在平面垂直的匀强磁场后，a 受到的磁场力大小变为2F ，则此时b 受到的磁场力大小变为（A ）2F ， （B ）21F F -， （C ）21F F + （D ）212F F -[ ]5．行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流，上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（A ）物体克服阻力做功。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到 集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 52. 在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的 复数是 （ ） A ．23B ．i 32-C ．i 33-D ．3i 3+3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角 线的长是 ( ) A ．23B ．32C ． 6D ．64．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 ( )A ．若α、β是第一象限角，则βαcos cos >B ．若α、β是第二象限角，则βαtg tg >C ．若α、β是第三象限角，则βαcos cos >D ．若α、β是第四象限角，则βαtg tg >5．函数x x y cos -=的部分图像是 ( )6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元7．若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则 ( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ． Q <P <RD ． P <R <Q 8．以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρC ． ()1cos 2-=θρD ． ()1sin 2-=θρ9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A ．ππ221+ B ．ππ441+ C ．ππ21+ D ．ππ241+ 10．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )A ．x y 3=B ．x y 3-=C ． x y 33=D ． x y 33-= 11．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与 FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 ( )A ．a 2B ．a 21C ． a 4D ．a412．如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( ) A ．321arccosB ．21arccosC ． 21arccos D ． 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13． 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14． 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________15． 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1，2，3，…)，则它的通项公式是n a =_______16． 如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都．填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ． (I) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？18． (本小题满分12分)如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．(I) 证明：C C 1⊥BD ； (II) 假定CD=2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； (III) 当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．19． (本小题满分12分)设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ． (I) 解不等式()1≤x f ；(II) 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．20． (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．21． (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天)22． (本小题满分14分)如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252 (14)－5353<<x (15)n1(16)②③ 三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ) y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1=41(2cos 2x －1)＋41＋43(2sinxcosx)＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21(cos2x·sin 6π＋sin2x·cos 6π)＋45=21sin(2x ＋6π)＋45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ， 即 x=6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x|x=6π＋kπ，k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx 依次进行如下变换： (i)把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x ＋6π)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x ＋6π)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=21sin(2x ＋6π)的图像； (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x ＋6π)＋45的图像；综上得到函数y=21cos 2x ＋23sinxcosx ＋1的图像． ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD=CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B=C 1D ， ∵ DO=OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分 但AC ⊥BD ，AC∩C 1O=O ， ∴ BD ⊥平面AC 1， 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC=2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋(23)2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O=23即C 1O= C 1C ． 作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH=23， 所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC=CD= C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ， 由此可推得BD= C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC=2∶1， ∴ C 1G ∶GO=2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 证明二：由(Ⅰ)知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分 当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，OHGC 1CDA BD 1B 1A 1又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0． 所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x|0212aax -≤≤}； 当a ≥1时，所给不等式的解集为{x|x ≥0}． ——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f(x 1)－f(x 2)=121+x －122+x －a(x 1－x 2) =1122212221+++-x x x x －a(x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a)． ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a<0，又x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)－f(x 2)>0， 即f(x 1)>f(x 2)．所以，当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分 (ii)当0<a<1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f(x 1)=1，f(x 2)=1，即f(x 1)=f(x 2)，所以函数f(x)在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≥1时，函数f(x)在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{c n+1－pc n }是等比数列，故有 （c n+1－pc n ）2=( c n+2－pc n+1)(c n －pc n －1)， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p(2n ＋3n )]2=[2n ＋2+3n ＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n +3n －p(2n －1＋3n －1)]， ——3分 即[(2－p)2n +(3－p)3n ]2=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n －1+(3－p)3n －1]， 整理得61(2－p)(3－p)·2n ·3n =0， 解得p=2或p=3． ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ． 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =(a 1p ＋b 1q)2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=(a 1＋b 1)(a 1 p 2＋b 1q 2)= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)． 由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ， ——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-300200210252720012000217521200122t t t t t t ，， ——6分 当0≤t ≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t －350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分 综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A(－c ，0)，C(h c ，h)，E(x 0, y 0)，其中c=21|AB|为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++-12c c = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ac e =． 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e ， ①1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b he λλλλ． ②——7分 由①式得 14222-=e b h ， ③将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故 2312+-=e λ．——10分 由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ． 解得107≤≤e ． 所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000年上海市高中理科班试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题8分，满分80分）1．（8分）=30．=2+=）﹣）﹣））（（﹣7+4=﹣2．（8分）已知关于x的方程2x2﹣4x+a﹣1=0至少有一个正实数根，则a的取值范围是a≤3．3．（8分）在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AC=AD=，BC=，则BD=．BC==，4．（8分）已知a2﹣a﹣1=0，且，则x= 5.1．﹣5．（8分）在凸四边形ABCD中，AD=，AB+CD=2，∠BAD=60°，∠ADC=120°．M是BC的中点，则DM= 1.5．，点AD=AF=EF=6．（8分）在平面直角坐标系中，点P的坐标是（+m，+n），这里m，n都是有理数，过点P作y轴的垂线，垂足为H，已知△OPH的面积为，其中O为坐标原点，则满足条件的有序数对（m，n）有4对．=+m+n±，然后根据=（（±±，））或，，；7．（8分）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用50千克．8．（8分）已知实数x，y满足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1）=，则x+y=﹣．，，﹣9．（8分）已知AB是半径为1的圆O的直径，CD是过OB中点的弦，且CD⊥AB，以CD为直径的圆交AB于E，DE的延长线交圆O于F，连接CF，则CF=．r=．10．（8分）已知二次函数y=ax2（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是﹣1、2，点O是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB的周长为2+2或4+2．a==+1=AO=，+12=AB=+2++2，OB=2AB=3AO+OB+AB=4；+2．二、解答题（共3小题，满分50分）11．（14分）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．12．（16分）在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO与CD交于Q点，求证：．=÷所以要证=．==÷14．（20分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=1，AB=AC，CD＜1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的长．=①=z×=的长为﹣。

2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷 1 至2 页。

第II 卷 3 至9 页。

共150 分。

考试时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线其中S′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12 分，每小题5 分，共60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A 和B 都是自然数集合N，映射f：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素，则在映射f 下，象20 的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y＝－xcosx 的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

全月应纳税所得额税率不超过500 元的部分5%超过500 元至2000 元的部分10%超过2000 元至5000 元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900 元（B）900～1200 元（C）1200～1500 元（D）1500～2800 元（7）若，则（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1 为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p、q，则等于（A）2a （B）（C）4a （D）（12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）第II 卷（非选择题共90 分）注意事项：1．第II 卷共7 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

(详细解析)2000年上海高考数学(理)2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r，若OA AB⊥u u u r u u u r ，则m =．【答案】4 【解析】(4,2)AB m =-u u u r，42(2)0OA AB OA AB m ⊥⇒⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴4m =．2．函数221log3x y x-=-的定义域为 ．【答案】)3,21( 【解析】2110(21)(3)0(21)(3)0332x x x x x x x ->⇒-->⇒--<⇒<<-．3．圆锥曲线4sec 13tan x y θθ=+⎧⎨=⎩的焦点坐标是 ． 【答案】(4,0),(6,0)-【解析】参数方程化为普通方程22(1)1169x y --=，∴焦点为(15,0),(15,0)-+，即(4,0),(6,0)-．4．计算：lim()2nx nn →∞=+ ． 【答案】2-e【解析】2222212lim()lim()lim[(1)]221n nn x x x n e n n n⨯--→∞→∞→∞==+=++．5．已知bx f x+=2)(的反函数为1()fx -，若1()y fx -=的图象经过点)2,5(Q ，则 b =．【答案】1 【解析】若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则bx f x+=2)(过点(2,5)P ，将点P 的坐标代入得252b=+，∴1b =．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万） 【答案】9【解析】由题设条件可得4035(19)403521300(10.08)1300n n +≥⨯+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数)(x fy=是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上()f x=．【答案】x【解析】由题设(1,1)B'-关于点B对称，由周期性将B A'向右平移两个单位得BA'，BA'所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x=．9．在二项式11)1(-x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）【答案】462-【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C-=-．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．【答案】141【解析】本小题考查等可能事件的概率．39321114P C ⨯⨯==．11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B两点，则=AB ．【答案】32【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =代入得3y = ∴23AB =12．在等差数列{}na 中，若10a=，则有等式121219nna a a a a a -+++=+++L L(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}nb 中，若91b=，则有等式 成立． 【答案】121217(17,)nn b b bb b b n n N -=<∈L L【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理． ∵91b =，根据等边数列的性质和类比有121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈L L ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数3(cos sin )55z i ππ=--（i 是虚数单位）的三角形式是A ．3[cos()sin()]55i ππ-+-B ．3(cos sin )55i ππ+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+【答案】C【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+．14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a 其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A 【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,xS y y x R T y y xx R ==∈==-∈，则s T I 是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集 【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S =I ．16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则25sin α=B ．同时满足13sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D ．三角方程tan()33x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()3tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分） 已知椭圆C 的焦点分别为1(22,0)F -和2(22,0)F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB的中点坐标． 【解】设椭圆C的方程为22221x y a b +=， ……………（2分）由题意3,22a c ==，于是1b =， ∴椭圆C的方程为2219x y +=． ……………（4分）由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270xx ++=，因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x+=-，故线段AB的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积．【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-u u u r u u u r，……（6分）设BE u u u r 与ADu u u r 所构成的角为θ，则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-u u u r u u u r．且AD与BE所成的角的大小为10arccos，∴2221cos 410z θ==+，得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分） 又16ABCDVAB BC BD =⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积83． ……（12分）解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，222AF BE ==．……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==． ∴DF DA=． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ，故422=-=AB AD BD ， ……（10分） 又16A BCDVAB BC BD -=⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积是38． ……（12分）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞．（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分）)(x f Θ地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分）（2）解法一：在区间),1(+∞上，22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x x y ， 1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，ay +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min30ya =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-．……（14分）（2）解法二：()2,[1,)af x x x x=++∈+∞， 当≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分） 当a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a=+， ……（12分）于是当且仅当min()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-．……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤oo ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ． （1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）． 【解】（1）ο45,24==θr ，得指令为(42,45)o ， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分） 则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5(ο-． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),nnnP a b P a b P a b L L ，对每个自然数n ，点nP 位于函数2000()(010)10xa y a =⋅<<的图象上，且点nP 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以nP 为顶点的等腰三角形．（1）求点nP 的纵坐标nb 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,nn n b bb ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围． （3）设12()nn Bb b b n N =∈L ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}nB 的最大项的项数． 【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10xay a =⋅<<递减，∴对每个自然数n ，有12nn n bb b ++>>，则以21,,++n n nb bb 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n nb b b +++>，即2()()101010a a+->，……（7分） 解得5(15)a <-+或5(51)a >-，∴5(51)10a <<．……（10分）（3）∴51)10a <<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分）数列{}nb 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥nb时，1-≥n nB B，当1nb<时，1nn BB -<，因此，数列{}nB 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b+<．由1272000()110n n b+=≥，得20.8n ≤，20n ∴=．……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知复数01(0)zmi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ． 当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 【解】（1）由题设，02w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且m >，得3m = ……（3分）因此由iy x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式3,3.x x y x y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（5分）（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(13)3,31)1,x x y x x ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（7分） 消去x ，得232)32(+-'-='x y ， 故点Q的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴by x k y x ++=-)3(3，即bx k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分） 当0=b 时，由31)31k k k-+-=，得3232=-+k k ，解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）解法二：取直线上一点)0,(kb P -，其经变换后的点)3,(kb k b Q --仍在该直线上，∴b kbk k b +-=-)(3，得=b ， ……（14分） 故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上．∴)31(3k k k +=-，……（16分）即3232=-+k k ，得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2000 年高考数学试题（全国旧课程）理科2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷 1 至 2 页．第 II 卷 3至 9 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ，映射 f : A B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n n ，则在映射 f 下，象 20 的原象是A ．2B ． 3 C． 4 D． 5【答案】 C【解析】 2n n 20 ，解得 n 4 ．2．在复平面内，把复数 3 3i 对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是3A ． 2 3 B． 2 3i C． 3 3i D． 3 3i【答案】 B【解析】所求复数为(3 3i )[cos( ) i sin()] (3 3i)( 13 i )2 3i ．3 3 2 23．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2, 3, 6 ，这个长方体对角线的长是A ． 2 3B． 3 2 C． 6 D． 6【答案】 D【解析】设长、宽和高分别为a,b, c ，则 ab 2, bc 3, ac 6 ，∴ abc6 ，∴ a 2, b 1, c 3 ，∴对角线长l 2 1 3 6 ．12000 年高考数学试题（全国旧课程）理科4．已知sin sin ，那么下列命题成立的是A ．若, 是第一象限角，则cos cosB ．若, 是第二象限角，则tan tanC．若, 是第三象限角，则cos cosD ．若, 是第四象限角，则tan tan【答案】D【解析】用特殊值法：取60 , 30 ，A 不正确；取120 , 150 ， B 不正确；取210 ,240 ， C 不正确； D 正确．5．函数 y x cos x 的部分图像是【答案】 D【解析】函数y x cos x 是奇函数， A 、 C 错误；且当x (0, ) 时， y 0 ．26．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过800 元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元 B ．900~1200 元C．1200~1500 元D． 1500~280 0 元【答案】 C【解析】当月工资为1300 元时，所得税为25 元； 1500 元时，所得税为25 20 45元，所以选 C．22000 年高考数学试题（全国旧课程）理科7．若 a b 1 ， Plg a lg b,Q 1 lg a lg b ,R lg a b，则2 2A ． R P QB ． P Q RC ． Q P RD ． P R Q【答案】 B【解析】 方法一 ：1lg a lg b 1(2 lg a lg b)lg a lg b ； lg a b lg ab22 21lg a lg b ，所以 B 正确． 2方法二 ：特殊值法：取 a100, b 10 ，即可得答案．8．以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， 1 为半径的圆的方程是 A ．2cosB ．2sin44C ．2cos1D ．2sin1【答案】 C【解析】设圆上任意一点M ( , ) ，直径为 2，则 2cos(1) ，即2cos1 ．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是1 2 1 4 1 2 1 4A ．B ． 4C ．D ．2 2【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高 h 2 r ， S 全 2 r 2 (2 r )21 2 ． S 侧 (2 r )2210．过原点的直线与圆x 2y 24x 3 0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ． y 3xB ．y 3x C ． y 3 x D ． y3 x3 3 【答案】C【解析】圆的标准方程为( x 2) 2 y 21，设直线的方程为 kx y 0 ，由题设条件可得2k，解得k 3 ，由于切点在第三象限，所以 k3y313 ，所求切线x ．1 k23 332000 年高考数学试题（全国旧课程）理科11 y ax (a 0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段 PF与FQ的．过抛物线 2长分别是 p, q ，则11 等于p qA ． 2 a1C． 4a4 B．D．2a a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y 轴，即将y1 1代入抛物线方程得x ，4a 2a∴ 1 1 4a ．p q【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图， OA 是圆锥底面中心 A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为1 1A ． arccos 32B． arccos 2C． arccos 1D． arccos 12 4 2【答案】 D【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为 h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过 A 向轴作垂线 AC ，垂足为 C ，OA r cos , CA OA cos r cos2，∴ V11( r cos2 ) 2 h ，原3圆锥的体积为V 1 r 2h 2V12r2h cos4，解得cos 4 2 ，∴arccos41．3 3 2第II 卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛． 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】 25242000 年高考数学试题（全国旧课程）理科【解析】不同的出场安排共有 A 33 A 72252 ．14．椭圆 x 2 y 2F 1PF 2 为钝角时，点 P 横9 1的焦点为 F 1, F 2 ，点 P 为其上的动点，当4 坐标的取值范围是 ． 【答案】 ( 3 , 3)5 5【解析】 方法一 ：（向量法） 设 P( x, y) ，由题设 PF 1 PF 2 0 ，即( x c,y) ( x c,y) 0，x 2 2 y 2 0 ，又由 x 2 y 2 1得y2 4x 2 ，代入 x 2 c 2 y 2 0 并化简得 c 94 4 95x 2 c 24 1 ，解得 3 x3 ．9 5 5方法二 ：（圆锥曲线性质）设P( x, y) ，∵ a 3,b 2 ，∴ c 5 ，又 PF 13 5x ，3 PF 2 35x ，当22F 1F 2 23x 33 F 1PF 2 为钝角时， PF 1PF 2 ，解得 5 ．515．设 a n 是首项为 1的正项数列，且 (n 1)a 2 na 2 a a 0(n 1,2,3,...) ，则它 n 1 n n1 n 的通项公式是 a n ．【答案】 1n【解析】条件化为 (a n1 a n )[( n 1)a n 1 na n ] 0 ，∵ a n 0 ∴ ( n 1)a n 1 na n0 ，即 an1 n ，累成得 a n 1 ．a n n 1 n16．如图， E, F 分别为正方体的面ADD1A1、面 BCC1 B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都．52000 年高考数学试题（全国旧课程）理科填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12 分）已知函数y 1 cos2 x 3 sin xcos x 1, x R ．2 2（ I）当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ II ）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分 12 分．（Ⅰ） y 1 cos2 x 3 sin x cosx 11 (2cos 2x1) 1 3 (2sin x cos x) 12 2 4 4 41 cos2x3 sin 2 x 5 1 (cos2x sin sin 2xcos ) 54 4 4 2 6 6 41 sin(2x) 5 ．—— 6 分2 6 4y 取得最大值必须且只需2x6 2 2k , k Z ，即 x k , k Z ．6所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为x|x k , k Z—— 8分6（Ⅱ）将函数y sin x 依次进行如下变换：（ i）把函数y sin x 的图像向左平移，得到函数y sin( x ) 的图像；6 6（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数2 y sin(2x ) 的图像；662000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 1 倍（横纵坐标不变），得到函数1 sin(2 x 2y) 的图像；2 65 个单位长度，得到函数1 sin(2 x 5（ iv ）把得到的图像向上平移)的图像；4 2 6 4综上得到函数y 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 的图像．—— 12 分2 218．（本小题满分 12分）如图，已知平行六面体1 11的底面 ABCD 是菱形，且 1 ABCD A1BC D C CBC1CD BCD 60 ．（I）证明： C1C BD ；（II ）假定CD 2,CC13，记面 C1BD为，面 CBD 2为，求二面角BD 的平面角的余弦值；（Ⅲ）当CD的值为多少时，能使AC1平面 C1BD ？请给出证明．CC1【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12 分．（Ⅰ）证明：连结 AC1 1 , AC ， AC 和 BD 交于 O ，连结 C1O ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC BD ,BD CD ．又∵BCC1DCC1, C1C C1C ，∴C1BCC1DC ，∴ C1 B C1D ，∵DO OB ，∴C1O BD ，—— 2 分但 AC BD, AC C1O O ，∴ BD 平面 AC1，又 CC1平面 AC1，∴CC1BD ．—— 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC BD ,C1O BD ，72000 年高考数学试题（全国旧课程）理科∴C1OC 是二面角BD的平面角．在C1 BC 中， BC 2, C1C 3 ,BCC160 ，( 3)2 3213∴ C1B222 2 2 cos 60 ．—— 6 分2 24∵OCB30 ，∴OB 1 BC1．2∴ C1O 2C1B2OB213 19 ，34 4∴ C1O，即 C1O C1C ．2作 O1H3 OC ，垂足为 H ．∴点 H 是 OC 的中点，且OH ，2所以 cos C1OC OH 3．—— 8分C1O 3（Ⅲ）当CD 1时，能使AC1平面C1BDCC1证明一：∵CD1，∴BC CDC1C，CC1又BCD C1CBC1CD ，由此可推得BD C1 B C1D ．∴三棱锥C C1BD 是正三棱锥．—— 10分设AC1与 C1O 相交于G ．∵AC11// AC ，且 AC11 :OC2:1 ，∴ C1G :GO 2:1 ．又 C1O 是正三角形 C1BD 的 BD 边上的高和中线，∴点 G 是正三角形 C1BD 的中心，∴CG 平面 C1BD ．即 AC1平面 C1BD ．—— 12 分证明二：由（Ⅰ）知，BD 平面 AC1，∵ AC 平面 AC ，∴ BD AC ．—— 10 分1 1 1当CD 1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC182000 年高考数学试题（全国旧课程）理科同 BD AC 1 的证法可得BC 1AC 1 ，又 BC 1 B AC C 1BDBD ，∴ 平面 ．—— 12 分1 19．（本小题满分12 分）设函数 f xx 2 1 ax ，其中 a 0 ．（I ）解不等式 fx 1；（II ）求 a 的取值范围，使函数 f x 在区间 [0, ) 上是单调函数．【解】 本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识， 分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分 12分．（Ⅰ）不等式f x 1 即 x 2 1 1 ax ，由此得 1 1 ax ，即 ax 0 ，其中常数a 0 ．x 2 1 (1 ax) 2 , x 0,所以，原不等式等价于即 —— 3 分 (a 2 1)x 2ax 0. 0.所以，当 0 a 1时，所给不等式的解集为 | x 2a ；x 0 1 a 2当 a 1 时，所给不等式的解集为x|x 0 ． —— 6 分 （Ⅱ）在区间 [ 0,) 上任取 x , x ，使得 x x ． 1 2 1 2f ( x 1 ) f (x 2 ) x 12 1 x 22 1 a(x 1 x 2 ) x 12 x 12 x 22 a( x 1 x 2 ) 1 x 22 1 (x x )( x 1 x 2 a) ．—— 8分1 2 x 12 1 x 22 1（ⅰ）当 a 1 时，∵x 1 x 21，∴x 1 x 2a 0 ，x 12 1x 22 1x 12 1x 22 1又 x 1 x 2 ，∴ f(x 1)f (x 2 ) 0 ，即 f( x 1 )f (x 2 ) ．所以，当 a1 时，函数 f x 在区间 [ 0, ) 上是单调递减函数． —— 10分92000 年高考数学试题（全国旧课程）理科（ ii ）当 0 a 1 时，在区间[0, ) 上存在两点 x 1 0, x 2 2a ，满足 f (x 1 ) 1， 1 a 2f ( x 2 ) 1 ，即 f( x 1 ) f ( x 2 ) ，所以函数 f x 在区间[ 0,) 上不是单调函数．综上，当且仅当 a 1 时，函数 fx 在区间 [0, ) 上是单调函数． —— 12分20．（本小题满分 12 分）（ I ）已知数列 c n ，其中 c n 2n 3n，且数列 cn 1 pc n 为等比数列，求常数 p ；（ II ）设 a n , b n 是公比不相等的两个等比数列， c n a n b n ，证明数列 c n 不是等 比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12 分．（Ⅰ）因为cn 1 pc n 是等比数列，故有 (c n 1pc n )2(c n 2 pc n 1 )(c n pc n 1) ， 将c n 2n 3n 代入上式，得[2 n 1 3n 1 p(2n 3n )]2[2n 2 3n 2 p(2n 13n 1)][(2 n 3n p(2 n 13n 1 )] ，—— 3 分即[(2 p)2 n (3 p)3n ]2 [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1 ] [(2 p)2n 1 (3 p)3n 1] ，整理得 1 (2 p)(3 p) 2n 3n 0 ，6解得 p2 或 p3 ．—— 6 分（Ⅱ）设 a n, b n 的公比分别为 p, q, p q ， c n a n b n ． 为证 c 不是等比数列，只需证 c 2c c ． n 2 1 3 事实上，c 22 (a 1 p b 1q)2 a 12 p 2 b 12q 2 2a 1b 1 pq ，c 1 c 3 ( a 1 b 1 )(a 1p 2 b 1q 2 ) a 12 p 2 b 12q 2 a 1b 1( p 2 q 2 ) ．由于 p q, p 2 q 2 2 pq ，又 a 1 ,b 1 不为零，因此c22c1c3，故c n不是等比数列．—— 12 分102000 年高考数学试题（全国旧课程）理科21．（本小题满分 12 分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市 场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P f (t ) ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q g(t) ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题， 考查运用所学知 识解决实际问题的能力，满分 12 分． （Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为，t 200,f (t ) 300 t 0—— 2分2t 300,200 t 300;由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t ) 1 (t 150)2 100,0 t 300 ．—— 4分200 （Ⅱ）设 t 时刻的纯收益为 h(t) ，则由题意得 h(t ) f (t) g(t )1 2 1 175 ， t 200t 2 t 0即 h(t ) 200 2—— 6分1 2 7 1025 ，t 300t 2t200200 2 当 0 t 200 时，配方整理得h(t) 1(t 50)2 100 ，200112000 年高考数学试题（全国旧课程）理科所以，当 t 50 时， h(t ) 取得区间 [0,200] 上的最大值 100；当 200 t 300 时，配方整理得 h(t )1 (t 350) 2100 200所以，当 t 300 时， h(t) 取得区间 [200,300] 上的最大值87.5 ．—— 10分综上，由 100 87.5可知， h(t) 在区间 [0,300] 上可以取得最大值 100，此时 t 50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大．—— 12 分22．（本小题满分 14 分）如图，已知梯形 ABCD 中 AB 2 CD ，点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ，双曲线 过 C, D , E 三点，且以 A, B 为焦点．当 23 时，求双曲线离心率 e34的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性 质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14 分．如图，以 AB 的垂直平分线为y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立直角坐 标系 xOy ，则 CD y 轴．因为双曲线经过点 C , D ，且以 A, B 为焦点，由双曲线的对称性知 C , D 关于 y 轴对称．—— 2 分依题意，记 A( c 1 c,0), C ( , h), E( x 0 , y 0 ) ，其中 c AB 为双曲线的半焦距， h 是梯 2 2形的高．由定比分点坐标公式得cc( 2)ch2x 02( , y 0 ．11) 1 设双曲线的方程为x 2 y 2c ．a2 b 21，则离心率 ea由点 C , E 在双曲线上，将点c代入双曲线方程得C , E 的坐标和 ea122000 年高考数学试题（全国旧课程）理科e2h 21，①4 b2e2 2 2 2 h21．②—— 7分4 1 1 b 2由①式得h 2e2 1 ，③b 2 4将③式代入②式，整理得e 24 1 2 ，44故3．—— 10分1e2 2由题设2 3 得，2 1 323 ．3 4 3 e2 4 解得7 e 10 ．所以双曲线的离心率的取值范围为[ 7,10] ．—— 14分13。

(详细解析)2000年上海高考数学(理)2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA AB⊥，则m =．【答案】4【解析】(4,2)AB m =-，42(2)0OA AB OA AB m ⊥⇒⋅=-+-=，∴4m =．2．函数221log3x y x-=-的定义域为 ．【答案】)3,21( 【解析】2110(21)(3)0(21)(3)0332x x x x x x x ->⇒-->⇒--<⇒<<-．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万） 【答案】9【解析】由题设条件可得4035(19)403521300(10.08)1300n n +≥⨯+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数)(x fy=是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1,2]上()f x=．【答案】x【解析】由题设(1,1)B'-关于点B对称，由周期性将B A'向右平移两个单位得BA'，BA'所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x=．9．在二项式11)1(-x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）【答案】462-【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C-=-．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．【答案】141【解析】本小题考查等可能事件的概率．39321114P C ⨯⨯==．11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B两点，则=AB ．【答案】32【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =代入得3y = ∴23AB =12．在等差数列{}na 中，若10a=，则有等式121219nna a a a a a -+++=+++(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}nb 中，若91b=，则有等式 成立． 【答案】121217(17,)n n b bb b b b n n N -=<∈【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理． ∵91b =，根据等边数列的性质和类比有121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数3(cos sin )55z i ππ=--（i 是虚数单位）的三角形式是A ．3[cos()sin()]55i ππ-+-B ．3(cos sin )55i ππ+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+【答案】C【解析】443(cos sin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+．14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a 其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A 【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,xS y y x R T y y xx R ==∈==-∈，则sT是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集 【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S=．16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则25sin α=B ．同时满足13sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D ．三角方程tan()33x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()3tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分） 已知椭圆C 的焦点分别为1(22,0)F -和2(22,0)F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB的中点坐标． 【解】设椭圆C的方程为22221x y a b +=， ……………（2分）由题意3,22a c ==，于是1b =， ∴椭圆C的方程为2219x y +=． ……………（4分）由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270xx ++=，因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x+=-，故线段AB的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积．【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-，……（6分）设BE 与AD 所构成的角为θ， 则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-．且AD与BE所成的角的大小为10arccos，∴2221cos 410z θ==+，得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分） 又16ABCDVAB BC BD =⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积83． ……（12分）解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，222AF BE ==．……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==． ∴DF DA=． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ，故422=-=AB AD BD ， ……（10分） 又16A BCDVAB BC BD -=⨯⨯，因此四面体A BCD-的体积是38． ……（12分）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞．（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f 在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分）)(x f 地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分）（2）解法一：在区间),1(+∞上，22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x x y ， 1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，ay +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min30ya =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-．……（14分）（2）解法二：()2,[1,)af x x x x=++∈+∞， 当≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分） 当a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a=+， ……（12分）于是当且仅当min()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-．……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． 根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ． （1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）． 【解】（1）45,24==θr ，得指令为(42,45)， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分） 则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5( -． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b ，对每个自然数n ，点nP 位于函数2000()(010)10xa y a =⋅<<的图象上，且点nP 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以nP 为顶点的等腰三角形．（1）求点nP 的纵坐标nb 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,nn n b bb ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围． （3）设12()nn Bb b b n N =∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}nB 的最大项的项数． 【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10xay a =⋅<<递减，∴对每个自然数n ，有12nn n bb b ++>>，则以21,,++n n nb bb 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n nb b b +++>，即2()()101010a a+->，……（7分） 解得5(15)a <-+或5(51)a >-，∴5(51)10a <<．……（10分）（3）∴51)10a <<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分）数列{}nb 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥nb时，1-≥n nB B，当1nb<时，1nn BB -<，因此，数列{}nB 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b+<．由1272000()110n n b+=≥，得20.8n ≤，20n ∴=．……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知复数01(0)zmi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ． 当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 【解】（1）由题设，02w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且m >，得3m = ……（3分）因此由iy x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式3,3.x x y x y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（5分）（2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(13)3,31)1,x x y x x ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩……（7分） 消去x ，得232)32(+-'-='x y ， 故点Q的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴by x k y x ++=-)3(3，即bx k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分） 当0=b 时，由31)31k k k-+-=，得3232=-+k k ，解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）解法二：取直线上一点)0,(kb P -，其经变换后的点)3,(kb k b Q --仍在该直线上，∴b kbk k b +-=-)(3，得=b ， ……（14分） 故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上．∴)31(3k k k +=-，……（16分）即3232=-+k k ，得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或xy 3-=， ……（18分）。

2000上海高考数学试卷（理）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果， 个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向 OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m=。

2．函数，x x y --=312log 2的定义域为。

3．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是。

4．计算：n n n )2(lim +=。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象 过点)2,5(Q ，则b =。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口 年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f =。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在 种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。

11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=z a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++≺⋯⋯成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若10=b ，则有等式成立。