导数及其应用知识点总结
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x
x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '= 000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆ 2.
导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000
()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，
()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.=()y f x =的导函数有时也记作y ',即
()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；===============2=若()f x x α=,则
1()f x x αα-'=; 3=若()sin f x x =,则
()cos f x x '====================4=若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5=若()x f x a =,则()ln x f x a a '======================6=若()x f x e =,则()x f x e '=
7=若()log x a f x =,则1()ln f x x a '=
===================8=若()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则
1.=
[()()]()()f x g x f x g x '''±=±===================== 2.=
[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+• 3.=2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x ==,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
==一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：=在某个区间(,)a b 内
(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.=======
求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>=,右侧()0f x '<=,那么0()f x 是极大值
（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数==============
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：=======（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的
是最小值.
推理与证明
考点一=合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类事物的相似性或一致性;
(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同
或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越
可靠.
考点二=演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三=数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法.
2. 步骤:A.命题在n 1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n k 时命题成立；=C.证明n k+1时
命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n> 0n ,且n N ∈)结论都成立。
