【免费】高中数学2.2用样本估计总体2.3变量的相关性

教学内容：

2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性

教学目的

1、在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，初步体会样本频率分布的随机性。

2、能够根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数，标准差），并作合理的解释。

3、通过观察问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的关系。

4、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

教学重点、难点

重点是用样本估计总体和理解两个变量的相关关系；

难点是对方差意义的理解以及统计知识在实际问题的应用。

知识分析

1、什么是频数、频率、众数、中位数、平均数？

将一批数据按要求分若干组，各组内数据的个数叫做该组的频数；

每组频数除以全体数据的个数所得的商叫做该组的频率，频率反映了数据在每组中所占比例的大小；

一组数据中，出现次数最多的数据叫做该组数据的众数；

将一组数据从小到大依次排列，把最中间的数据（或中间两数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

将一组数据求和，再用数据个数去除这个和，所得的商叫做这组数据的平均数。即对n个数x1, x2,

„„， xn来说，它的算术平均数x＝12n1(xxx)n，读做“x拔”。它描述了数据的平均水平。

众数、中位数和平均数是三种最常用的数字特征，它们都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”。

它们各自的特点如下：

（1）用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用；但计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响。

（2）用众数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数表示这组数据的“集中趋势”。

（3）用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，并且选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”。

2、如何用样本估计总体？

数理统计学的核心是如何根据样本情况对总体情况作出一种推断。用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法，抽样是手段，是前提，对总体估计是目的，是结果。

用样本估计总体，包括用“形”与用“数”两个方面。

用“形”就是利用样本数据列出频率分布表、画出频率分布直方图和频率折线图。它们是同一组数据的频率分布的不同表现形式，前者准确，后两者直观。

用“数”就是用样本的数字来反映总体的某个方面的特征，最常用的是借助平均数、众数、中位数、标准差和方差等数字特征来估计数据的平均水平和离散、波动的程度。平均数、众数、中位数前面已经介绍过。标准差和方差就反映了数据的离散、波动的程度。如果标准差（或方差）较大，表明数据的波动程度较大，数据离散程度很高；如果标准差（或方差）较小，表明数据的波动程度较小，数据离散程度较小。

3、列频率分布表，画频率分布直方图的步骤有哪些？

（1）计算极差，即最大值与最小值的差。

（2）决定组距与组数。分组是统计学中整理资料的基本步骤，组距是指每个小组的两个端点之间的距离。极差、组距、组数有如下关系：

①若极差组距是整数，则极差组距＝组数；

②若极差组距不是整数，则极差组距+1＝组数。

注意：（Ⅰ）[x] 表示不大于x的最大整数。例如教材P61中， 2103极差组距 ，于是样本数据分成2[10]1101113组。

（Ⅱ）分组时，一般情况下，样本容量为40～60，可分组6～8；样本容量为60～100，可分组数7～10；样本容量为100～200，可分组数10～13；样本容量为200～500，可分组数13～17；样本容量为500以上，可分组数17～20。

（3）决定分点。为使分点与样本数据不重合，可使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减少一点。

（4）列频率分布表。要注意频率分布表的结构，包括分组、个数累计、频率、频率几项。

（5）画频率分布直方图。画图时，应以横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值。以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，这样得到的直方图叫做频率分布直方图。

注意：（Ⅰ）图中每个小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；

（Ⅱ）各组频率的和等于1，因此，各小矩形面积的和等于1。

4、如何形成频率分布折线图？

把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图。（如

右图中红线）为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连（在左右两端点处），所以横轴上的左右两端点没有实际的意义。

5、理解总体密度曲线及其反映总体的哪些特性？

如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线yf(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律。

6、怎样用茎叶图表示数据并会加以分析？

茎叶图是用来表示样本数据分布的一种方法，茎叶图中数据的茎和叶的划分，可根据数据的特点灵活地决定。例如数据是由整数部分和小数部分组成的，可以把整数部分作为茎，小数部分作为叶，注意：如果茎叶图上每个枝上的叶数都不超过1，我们就不能从图中发现数据的特点了。所以应当准确地划分茎和叶，会画频率分布表，频率分布直方图和频率分布折线图。了解横、纵轴所表示的意义。

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且还可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。

画茎叶图的步骤如下：

（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，此例中茎为十位上的数字，叶为个位上的数字。

（2）将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧。

（3）将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧。

（4）当数据是由整数部分和小数部分组成时，可以把整数部分作为茎，小数部分作为叶。

（5）比较时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来比较。

7、怎样用特征数字估计总体？

前面我们从概念上对几个常用的特征数做了比较，有了一定的认识，下面我们将通过实例分析进一步理解特征数字在分析估计总体时的应用：

（1）小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93分，但最近的一次成绩只有45分，原因是他带病参加了考试。这样他的平均成绩只有83.5分，只能算是“良”，这用来评价小明的数学水平显然不够合格。

把观测值从小到大排列，最中间的数称为这组观测值的中位数，考虑到观测数为偶数或奇数的情况，我们用如下的方法确定中位数。若观测值有n个数据，将它们从小到大依次排列为：x1, x2, …, xn，则中位数M为：n121x,M12nn22若n为奇数，（x+x）,若n为偶数对小明的数学成绩，若按从小到大的次序排列，则为45<93<95

<96<98.所以中位数成绩为95。这样中位数表示小明的数学成绩的“位置特征”可以认为比较合理地反映了他的实际数学水平。

（2）在体操比赛中，规定有四个裁判员给一个运动员打分。例如分数为：9.30，9.35，9.45，9.90。它的中位数是当中两项的平均值12（9.35+9.45）=9.40(分)。这相当于去掉最低分9.30分和最高分9.90分而得出的平均分。体操比赛规定这样给分，就避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于4个裁判分的中间位置，不偏不倚，十分公正。

（3）某班有30人，所穿鞋子的尺寸为：33号的5人，34号的15人，36号的3人和37号的7人，如取平均数得34.63，此数没有多大意义，鞋厂不生产34.63号码的鞋。如取众数，则为35号，该班穿35号鞋的人最多。通常评“最佳”、“最受欢迎”、“最畅销”等往往都和众数有关系。

（4）从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲： 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4

乙： 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

<2>计算甲、乙两个射击命中环数的平均数和标准差；

<2>比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参加比赛。 [分析]平均数x＝12nxxxn，其中x1，x2，„，xn为样本数据，

标准差s＝22212()()()nxxxxxxn

根据上述两个公式计算出甲、乙两人的标准差，然后大小比较。

[解析]

<1>78686591074710x甲

9578768677710x乙

甲s＝2222(77)(87)(67)(47)1.7310

乙s＝2222(97)(57)(77)(77)1.1010

<2>由<1>知，甲、乙两人的平均成绩相等，且s乙

8、怎样利用散点图分析两个变量间的相关关系？

把两个变量作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论，这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论，这两个变量不具有相关关系。

9、怎样理解两个变量间的相关关系？它与函数关系有何联系与区别？

1）变量之间存在着两种关系：函数关系和相关关系。

函数关系是一种确定性关系，例如圆的面积S＝πr2, 面积S与半径r之间是一种确定关系，对于自变量半径的每一个确定的值，都有唯一确定的面积值与它对应；

相关关系是一种非确定性的，它包括两种情形：

（1）两个变量，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，例如教材的例1；

（2）两个变量均为随机变量。例如当研究一个学生的数学成绩和物理成绩的关系时，这两个变量都是不可控制的随机变量。

2）两种关系在一定条件下可以相互转化。例如，正方形面积S与边长x之间虽然是一种确定性关系，但在每次测量面积S时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性。在现实生活中，相关关系是大量存在的。从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为普遍的情况，因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度。

3）判断两个变量有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图。

10、怎样用最小二乘法求回归直线方程？

对于线性相关的两个变量x，Y，通过观察发现x，Y的所有数据点都分布在一条直线附近。我们知道，这样的直线有很多条，而只有一条“最贴近”已知数据点，这条直线上与每一个x值对应的Y（12nˆˆˆy,y,,y）与Y的实际值（12ny,y,,y）的所有离差的和（即总离差）niii1ˆ(yy)最小。这种找回归直线的方法叫做最小二乘法。