函数单调性、奇偶性、周期性
◆知识点梳理
一函数的奇偶性：
1、定义域关于原点对称 奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f；
2、)(xf是奇函数)()(xfxf)(xf图像关于原点对称；
3、)(xf是偶函数)()(xfxf)(xf图像关于y轴对称；
4、一些判断奇偶性的规律:
①奇±奇=奇,偶±偶=偶
②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶
二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法;
1、单调性的定义：)(xf在区间M上是增减函数,,21Mxx
当21xx时)0(0)()(21xfxf
2、采用单调性的定义判定法应注意：
一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负；
3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法：
①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；
②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解;
4、一些判断单调性的规律:
①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；
②1()()()fxfxfx与、的单调性相反；
三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑
1、首先将原函数)]([xgfy分解为基本初等函数： )(xgu与)(ufy；
2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；
3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性;
四函数的周期性
1、周期性的定义：若有)()(xfTxf,则称函数)(xf为周期函数,T为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期; 2、三角函数的周期
①Txy:tan,||:tanTxy ②||2:)cos(),sin(TxAyxAy
3、与周期有关的结论：
①)()(axfaxf或(2)()fxafx )(xf的周期为a2；
②)()(xfaxf)(xf的周期为a2；③1()()fxafx)(xf的周期为a2；
1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
答案
B
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 B
解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数．故选B.
3．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－54 C.54 D．3
答案 A
解析 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f53成立的x的取值范围是( )
A.－13，43 B.－13，43
C.13，43 D.13，43
答案 B
解析 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增，若f(2x－1)>f53，则－53<2x－1<53，解得－13
5．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
6．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
2019年高三文科数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性知识总结与习题演练
2019年高三文科数学：函数的奇偶性与周期性知识总结与题演练
一、考纲指导
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
2.运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，能够判断和应用简单函数的周期性。
二、知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性是指函数在定义域内的某个点x和点-x处函数值的关系。如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x) =
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。
2.周期性
周期性是指函数在某个区间内的函数值具有重复性。如果对于函数y=f(x)，存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T) = f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。最小正周期是指在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
三、知识拓展
1.函数奇偶性常用结论
1) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|)。
2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
3) 在公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
2.函数周期性常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量的值x：
1) 若f(x+a) = -f(x)，则T = 2a(a>0)。
2) 若f(x+a) = f(x)，则T = 2a(a>0)。
3) 若f(x+a) = -1/f(x)，则T = 2a(a>0)。
四、基础检测
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
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专题06
函数的奇偶性与周期性
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义
2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性
热点题型一 函数奇偶性的判定
例1、【2017课标1，理5】函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的x的取值X围是
A．[2,2] B．[1,1] C．[0,4] D．[1,3]
【答案】D
【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断fxf－x(f(x)≠0)是否等于±1等。
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称。
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【举一反三】
若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则( )
A．函数f(g(x))是奇函数 word
B．函数g(f(x))是奇函数
C．函数f(x)g(x)是奇函数
D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
解析：根据函数奇偶性的定义可知，
f(g(－x))＝f(g(x))，
所以f(g(x))是偶函数，同理可以判断g(f(x))是偶函数，函数f(x)＋g(x)的奇偶性不确定，而f(－x)g(－x)＝[－f(x)]g(x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数。
答案：C
热点题型二函数奇偶性的应用
例2、 (1)若函数f(x)＝sinxx＋2x＋a是奇函数，则实数a的值等于______。
