二面角的基本求法例题及练习

二面角的作与求

求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：

1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

5异面直线距离法：

EF2=m2+n2+d2－2mncos

例1：若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，

故采用定义法

解：取BC的中点E，连接AE、PE

 AC=AB，PB=PC

 AE BC，PE BC

PEA为二面角P-BC-A的平面角

在PAE中AE=PE=3，PA=6 P

C

B A

E

PEA=900

二面角P-BC-A的平面角为900。

例2：已知ABC是正三角形，PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角

来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作

平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点

间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）

取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF

PA平面ABC，PA平面PAC

平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC

第1页 共22页 ◎ 第2页 共22页 高中数学《二面角的平面角及求法》练习

1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中.

证明：平面平面；

若是的中点，求二面角的余弦值．

3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝．

（1）求证：平面；

（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值．

4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．

（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．

（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；

（2）求二面角的余弦值．

6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示．

（1）试判断与平面的位置关系，并给出证明；

（2）求二面角的余弦值．

7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

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8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面上的投影为直线与的交点．

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值．

9. （

（1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为． 证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

1 / 7 二面角专项练习

班级_____________姓名_____________

一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.

例1 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的正切。

三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角

例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

四、投影面积法:一个平面上的图形面积为S，它在另一个平面上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为，则S'=Scos或cos=/SS.

例4 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

pABCDLHjABCDPHlABCDPPC1A1B1CDPABCD

方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下：

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，AB=5，.,4,53cos1的中点是点ABDAACAB。

（Ⅰ）求证：1BCAC；

（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；

正四⾯体⼆⾯⾓8种求法（教师版）

⼆⾯⾓求法

例题1：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底⾯正⽅形的中⼼，求⼆⾯⾓O 1-BC-O 的⼤⼩。

解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，

易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三⾓形。 ∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，

∴∠OEO 1是⼆⾯⾓O 1-BC-O 的平⾯⾓， 连OO 1，OO 1⊥平⾯ABCD ， ∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=2

1

∴tan ∠OEO 1=22

1

11==OE OO

∴所求⼆⾯⾓θ=arctan2。 例题2：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平⾯EFCA 与底⾯ABCD 所成的⼆⾯⾓。 解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂⾜，连GO ，易证GO ⊥AC ，⼜BD ⊥AC

∴∠GOH 是所求⼆⾯⾓的平⾯⾓， GH=1，OH=42

∴tan ∠GOH=224

2

1

==OH GH ∴所求⼆⾯⾓θ=arctan 22。

利⽤平⾯⾓定义法求⼆⾯⾓⼤⼩，在棱上取⼀点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。

例题3：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求⼆⾯⾓B-AC-B 1的⼤⼩。

解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1， ∵BB 1⊥平⾯ABCD ，BO ⊥AC ∴B 1O ⊥AC ， ∠BOB 1是⼆⾯⾓B-AC-B 1的平⾯⾓，tan ∠BOB 1=

22

2

1

1==BO BB ∴所求⼆⾯⾓θ=arctan 2. 例题4：已知正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平⾯ACD 1与平⾯BDC 1所成的⼆⾯⾓。

解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求⼆⾯⾓B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平⾯BDC 1，垂⾜为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G