二面角大小的求法（例题）
二面角的类型和求法可用框图展现如下:
可见槻型I解法• f三垂线法
I -
slffi 片+—*■垂面法
化
不见播型
、定义法:
直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作
棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；
例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB 丄
B ,B .求/ APB的大小.
做OB 交线，交于点O,连接OA
PB 平面
+
PB 交线
同理PA 交线
又:OB 交线
交线面PAOB
交线OA
即可得AOB为面的二面角，AOB=120
所以APB=60
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面ABCD , PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小
P
提示：§PAB jpCD，而且是直角三角形
B
、三垂线定理法:
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD , PA=AB=a，/ ABC=30，求二面角P-BC-A 的tag 大小。
过A做AH BC,交BC于H，连接PH ''PA 面ABCD
+
PA AB , PA BC
BC 面PHA
PHA为二面角
在ABH 中
ABH=30 , AB=a
AH=a/2
tag PHA 2
例：如图,ABCD-ABGDi是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值.
提示：CO DE，而且是长方体！ ! !
A B
图4
例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平 面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。 求（1） 二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小
提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角! 射影，那么PM 为面ABC 的垂线！
直线I 上的射影为A i ,点B 在I 的射影为B i ，已知AB=2 , AA i = 1,
BB i = 2，求：二面角A i - AB - B i 的大小.
提示：AA1与BB1互相垂直
AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB
例、如图4,平面丄平面
n =l , A € , B € ，点 A 在
B
D
i'
M
四、射影法：（面积法）
利用面积射影公式S射=S原cos ,其中为平面角的大小，此
方法不必在图形中画出平面角；
例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，P』平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
例、如图，设M为正方体ABCD-A i CD的棱CC的中点，求平面BMD 与底面ABCD所成的二面角的大小。
C
i
M
C
五、平移或延长（展）线（面）法
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA丄平面ABCD , PA= AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
