第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系 几何法 代数法
相交 d__<__r Δ__>__0
相切 d__＝__r Δ__＝__0
相离 d__>__r Δ__<__0
知识点二 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
公切线
条数
外离 __d>r1＋r2__ __无解__ 4
外切 __d＝r1＋r2__ 一组实数解 3
相交 __|r1－r2|
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __一组实数解__ 1
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) __无解__ 0
重要结论
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程． 两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋(12l)2．
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
组 基础关
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，圆O的半径为1，圆O的圆心到直线ax＋by－1＝0的距离d＝1a2＋b2<1，所以直线ax＋by＝1与圆O相交．
2．若直线x－y＋1＝0与圆C：(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆C的圆心为(a,0)，半径为2，因为直线x－y＋1＝0与圆C有公共点，所以有|a＋1|2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
3．圆心为(2,0)的圆C与圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( )
A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0
C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圆心为M(－2,3)，半径r＝3，|CM|＝2＋22＋－32＝5，∴圆C的半径为5－3＝2，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
4．(2020·安徽定远中学月考)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－m)2＋(y－m－6)2＝2与圆C2：(x＋1)2＋(y－2)2＝1交于A，B两点，若|OA|＝|OB|，则实数m的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为|OA|＝|OB|，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，O(0,0)，C1(m，m＋6)，C2(－1,2)三点共线，所以m＋6m＝－2，得m＝－2.
5．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
1 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法
位置关系 几何法：圆心距d与r1，r
2的关系 代数法：联立两个圆的方程
组成方程组的解的情况
相离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r2－r1|
内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )
[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17. 2 ∵3－2
3．(2017·嘉兴调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
第四讲 直线、平面垂直的判定及性质
1.[多选题]下列说法正确的是( )
A.垂直于同一个平面的两条直线平行
B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行
D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直
2.[2020合肥市调研检测]已知m,n为直线,α为平面,且m⊂α,则“n⊥m”是“n⊥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2019全国卷Ⅲ]如图8 - 4 - 1,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
4.[2017全国卷Ⅲ]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
5.[2020湖南省岳阳市三校第二次联考]如图8 - 4 - 2,在三棱锥V - ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是( )
A.AC=BC
B.AB⊥VC
C.VC⊥VD
D.S△VCD·AB=S△ABC·VO
6.[2019北京高考]已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m; ②m∥α; ③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .
7.[2019北京高考]如图8 - 4 - 3,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.
