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利用导数求参数的取值范围方法归纳

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1 利用导数求参数的取值范围

一．已知函数单调性，求参数的取值范围

类型1．参数放在函数表达式上

例１． 设函数Raaxxaxxf其中86)1(32)(23．

的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若axfaxxf,)0,()()2(.,3)()1(

二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围

类型１．参数放在不等式上

例3.已知时都取得极值与在132)(23xxcbxaxxxf

（1）求ａ、ｂ的值及函数)(xf的单调区间．

（2）若对2)(],2,1[cxfx不等式恒成立，求ｃ的取值范围．

__________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数mmxfxxxxxf

类型2．参数放在区间上

例４．已知三次函数dcxxaxxf235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(xf在x=3处有极值.

（1）求)(xf的解析式.（2）当),0(mx时, )(xf>0恒成立,求实数m的取值范围.

分析:(1)935)(23xxxxf

]3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,31(9)0()()(,0)()31,0(3,310)()3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由mmxfm，mxfmfxfxfxfxfxf，xfxfxxxxfxxxxxf

基础训练：

.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a，xaxx

2

三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．

例5.已知函数1,13)(23xxxbxaxxf在处取得极值

(1) 求函数)(xf的解析式.

(2) 若过点)2)(,1(mmA可作曲线y=)(xf的三条切线,求实数m的取值范围.

略解(1)求得xxxf3)(3

(2)设切点为33)(),3,(2'0300xxfxxxM因为

0200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(xxxgmxxxgxAmxxxxmxxMxxmy则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由mmggxxxxgxgxxxg

总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数

.基础训练：

轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设xxfyaxfaxxxxfa)(,)2()()1()(,.523

变式2：若函数5)(23xxaxxf在),(上单调递增，求a的取值范围。

变式3：已知函数]1,0(,12)(2xxaxxf，若)(xf在区间]1,0(上是增函数，求a的取值范围。

变式4：已知函数32()1fxxaxx，aR．

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；

3 （Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．

变式1：已知mxfxxxxxf)(],2,1[,5221)(23恒成立，求实数m的取值范围

★高考真题演练

(2017年理21)已知函数xeaaexfxx)2()(2

（1）讨论)(xf的单调性；

（2）若)(xf有两个零点，求a的取值范围。

(2017年文21)已知函数xaaeexfxx2)()(

（1）讨论)(xf的单调性；

（2）若0)(xf，求a的取值范围。

（2017年文科14）曲线xxy12在点)2,1(处的切线方程为 。

（2016年文、理21） 已知函数2)1()2()(xaexxfx

（1）讨论)(xf的单调性； v1.0 可编辑可修改

4 （2）若)(xf有两个零点，求a的取值范围.

（2014年文科21） 设函数21ln12afxaxxbxa，曲线11yfxf在点，处的切线斜率为0

（1）求b;

（2）若存在01,x使得01afxa，求a的取值范围。

（2014年理科21）设函数1(0lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为(1)2yex. (Ⅰ)求,ab；

（Ⅱ）证明：()1fx.

（2013年理科21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kgf(x)，求k的取值范围。

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高中数学破题致胜微方法(函数的单调性)：已知函数在某区间上单调求参数范围

高中数学破题致胜微方法(函数的单调性)：已知函数在某区间上单调求参数范围

1

我们学习过用导数讨论函数的单调性，今天我们继续用导数的方法研究含参函数的单调性，并求得参数的取值范围。

先看例题：

例：已知函数2()21fxaxx在区间[1,2]上是单调函数，求实数a的取值范围.

注意：用导数的方法讨论，可以避免分类讨论a是否为0的情况。

规律整理：

可导函数f(x)在某区间上单调

（1）可以转化为0(0)fxfx（）（）在给定区间上恒成立；

（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解

练：已知函数f(x)=(x2+ax－2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.

当23a时,若函数f(x)在区间(－ 1 ,1)上是增函数,求a的取值范围.

解：

先对函数求导得：22[224]xfxxaxaae－

令0,2,2fxxaxa解得－或

又因为222.3aaa,－－所以两根不相等，即0fx有两个不等的实根.

进而按a的大小，分类讨论：

21,22.3aaa若则－－

x (－∞,－2a) －2a (－2a,a－2) a－2 (a－2,+∞)

f′(x) + 0 － 0 +

f(x) ↗ ↘ ↗

所以f(x)在(,2),(2,)aa－－－内是增函数，在(2,2)aa－－内是减函数.

因为函数在(－ 1 ,1)上是增函数，所以有2121aa或

解得：213a

22,22.3aaa若则－－

x (－∞, a－2) a－2 (a－2,－2a) －2a (－2a,+∞)

f′(x) + 0 － 0 +

f(x) ↗ ↘ ↗

所以f(x)在(,2),(2,)aa－内是增函数，在(2,2)aa内是减函数.

因为函数在(－ 1 ,1)上是增函数，所以有2121aa或 解得：12.23a

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

一．含参数导数问题的分类讨论问题

求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★例1已知函数axxaxxf2)2(2131)(23（a>0）,求函数的单调区间

★★例2已知函数xaxaxxfln)2(2)(（a>0）求函数的单调区间

★★★例3已知函数22211axafxxRx，其中aR。

（Ⅰ）当1a时，求曲线yfx在点2,2f处的切线方程；

（Ⅱ）当0a时，求函数fx的单调区间与极值。 。

练习：已知函数

当时，讨论的单调性.

二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；

．例4.已知函数f(x)＝ln a＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．

练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.

(1)求a的值；

(2)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

恒成立分参

例1：设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．

练习： 当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．[－5，－3] B．[－6，－98]C．[－6，－2] D．[－4，－3]

高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

参数取值问题的题型与方法

一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+45a恒成立，求实数a的取值范围。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45aa+5，要使上式恒成立，只需45aa+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,∴45aa+5>3即45a>a+2，上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa，解得54a<8.

另解：a+cos2x<54sinx+45a即a+12sin2x<54sinx+45a,令sinx=t,则t[1,1],整理得2t24t+4a+45a>0,( t[1,1])恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+45a则二次函数的对称轴为t=1,

 f(x)在[1，1]内单调递减。 只需f(1)>0,即45a>a2.(下同)

例3．设直线l过点P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于A、B两点，试求APPB的取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：APPB=BAxx，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

思路1: 从第一条想法入手，APPB=BAxx已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将BAxx,转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l垂直于x轴时，可求得51PBAP；当l与x轴不垂直时，设)(,,2211yxByxA，，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk，解之得 .4959627222,1kkkx因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑0k的情形.当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以

专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练

专题8 导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练

1 专题8：导数中已知单调性求参数的范围经典例题与练习（解析版）

已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例1：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．

（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

解：)14()1(41)(2axaxxf.

（Ⅰ）∵ ()fx是偶函数，∴ 1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，

令0)(xf，解得：32x.

列表如下：

x (－∞,－23) －23 (－23,23) 23 (23,+∞)

)(xf + 0 － 0

+

)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增

可知：()fx的极大值为34)32(f， ()fx的极小值为34)32(f.

（Ⅱ）∵函数)(xf是),(上的单调函数，

∴21()(1)(41)04fxxaxa，在给定区间R上恒成立判别式法

则221(1)4(41)204aaaa， 解得：02a.