小学奥数经典专题点拨：最大与最小问题
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数字和与最大最小问题
【数字求和】
例1 100个连续自然数的和是8450，取其中第1个，第3个，第5个，„„„，第99个（所有第奇数个），再把这50个数相加，和是______。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：第50、51两个数的平均数是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50个数是84。则100个连续自然数是：
35，36，37，„„„，133，134。
上面的一列数分别取第1、3、5、„„、99个数得：
35，37，39，„„131，133。
则这50个数的和是：
例2 把1至100的一百个自然数全部写出来，所用到的所有数码的和是_____。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析；可把1至100这一百个自然数分组，得
（1、2、3、„„、9），（10、11、12、„„、19），（20、21、22、„„29），„„，（90、91、92、„„99），（100）。
容易发现前面10组中，每组的个位数字之和为45。而第一组十位上是0，第二组十位上是1，第三组十位上是2，„„第十组十位上是9，所以全体十位上的数字和是（l+2+3+„„+9）×10=450。故所有数码的和是45×10+450+l=901。
续若干个数字之和是1992，那么a=____。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
例4 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106。那么，原来四个数的平均数是
（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：每次所选的三个数，计算其平均数，实际上就是计算这三个数中
原来四个数的平均数为（86+92+100+106）÷2=192。
【最大数与最小数】
例1 三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数，要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数是
（全国第四届《从小爱数学》邀请赛试题）。
讲析： 20以内的质数有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
要使三个分数尽量大，必须使每个分子尽量大而分母尽量小。且三个真
例2 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分成三组，分别计算各组数的和。已知这三个和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。问：最小的和是多少？
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题） 讲析；因为1+2+3+„„+8=36，又知三组数的和各不相同，而且最大的
例3 把20以内的质数分别填入□中（每个质数只用一次）：
使A是整数。A最大是多少？
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：要使A最大，必须使分母尽量小，而分子尽量大。
分母分别取2、3、5时，A都不能为整数。当分母取7时，
例4 一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。问：这组数之和的最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
（全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题）
析：观察自然数1、2、3、4、5、„„、25这25个数，发现它们除1之外，每个数都能用其中某一个数的2倍，或者某两个数之和表示。因此，这组数之和的最大值是1+2+3+„„+25=325。
下面考虑数组中各数之和的最小值。
1和25是必取的，25不能表示成一个数的2倍，而表示成两个数之和的形式，共有12种。我们取两个加数中含有尽可能大的公约数的一组数（20+5）或者（10+15）。当取1、5、20、25时，还需取2、3、10三个；当取1、10、15、25时，还需取2、3、5。经比较这两组数，可知当取1、2、3、4、5、10、15、25时，和最小是61。
