浙江专用202x版高考数学大一轮复习第九章解析几何9.5椭圆

9.5 椭圆

必备知识预案自诊

知识梳理

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.

(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;

(2)若a c,则点M的轨迹为线段;

(3)若a c,则点M不存在.

2.椭圆的标准方程及性质

标准方程

x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0)

图

形

性

质 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:点(0,0)

顶点 A1(-a,0),A2(a,0)

B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a)

B1(-b,0),B2(b,0)

焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)

轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b

离心率 e=ca,且e∈(0,1)

a,b,c

的关系 c2=a2-b2

(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1. (2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.

(3)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P为短轴端点;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时,P为长轴端点.

(4)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,则a-c≤|PF|≤a+c.

(5)椭圆的焦半径公式

设M(x0,y0)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).

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2018版高考数学大一轮复习

第九章

平面解析几何 9.5 椭圆教师用书 文 新人教版

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性质 X围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca∈(0,1)

a，b，c的关系 a2＝b2＋c2

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【知识拓展】

点P(x0，y0)和椭圆的关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )

(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ )

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × )

(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ )

(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( × )

word 1 / 9 第9讲 曲线与方程

[基础达标]

1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )

A．一条直线和一条双曲线

B．两条双曲线

C．两个点

D．以上答案都不对

解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0

⇔x－y＝0，xy－1＝0.故x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.

2．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )

A．y＝16x2 B．y＝－16x2

C．x2＝16y D．x2＝－16y

解析：选C.由条件知：动点M到F(0，4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.

3．(2019·某某模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA→＝AP→，则点P的轨迹方程为( )

A．y＝－2x B．y＝2x

C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4

解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA→＝AP→知，点A是线段RP的中点，所以x＋x12＝1，y＋y12＝0，即x1＝2－x，y1＝－y.

因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，

所以y1＝2x1－4，

所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.

4．(2019·某某一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过word 2 / 9 一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )

A．相交直线 B．双曲线

C．抛物线 D．椭圆弧

解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，

所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2，

所以2ax－y2＋z2－a2＝0，

若被平面xOy所截，则z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，则y＝0，z2＝－2ax＋a2，故选C.

椭圆练习题

A基础巩固训练

1.【2018年新课标I卷文】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

2.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点是椭圆上的一点， ， 是焦点，若取最大时，则的面积是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】∵椭圆方程为

因此，椭圆的焦点坐标为 ．

根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时， 取最大值，则此时的面积

故选B.

3.【2018届南宁市高三摸底】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.

4.【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

【答案】5

5.【广东省广州市仲元中学2018届七校联合体考前冲刺】已知椭圆的左右焦点是、，设是椭圆上一点， 在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】

∵在上的投影的大小恰好为||，

∴PF1⊥PF2，

B能力提升训练

1.【2018届河北省定州市定州中学高三上第二次月考】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）

A. B. C.

D.

【答案】A

【解析】分焦点在x轴上和y轴上两种情况：

①0＜k＜4时，C上存在点P满足∠APB=120°，

假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，

要使椭圆C上存在点M满足

∠AMB=120°，

∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，