2020年江西省南昌市七校高二(下)期中数学试卷(理科)

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题号 一 二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在下列命题中，不是公理的是（ ）

A. 平行于同一个平面的两个平面平行

B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面

C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内

D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2. 一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定（ ）

A.

一个平面 B.

两个平面 C.

三个平面 D.

四个平面

3. 下列命题中，错误的是（）

A. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

C. 圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

4. 下列命题正确的是（ ）

A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h＝( )

A. B. C. 3 D. 5

6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于（ ）

A. 90° B. 60° C. .45° D. .30°

7. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为（ ）

A. B. C. D. 第2页，共14页 8. 一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（ ）

A. 5 B. C. 6 D.

9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

10. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()

A. B. C. D.

11. 在直线坐标系中，设A（3，2），B（-2，-3），沿y轴把直角坐标平面折成1200的二面角后，AB的长为（ ）

A. B. C. D.

12. 已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为，若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为（ ）

A. B. C. π D. 2π

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．

14. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．

15. 圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为______．

16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的线面角正切值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A1C∩平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线．

18. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1． 第3页，共14页

19. 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．

（1）求正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；

（2）判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；

（3）当BC1⊥B1P时，求二面角C-B1P-C1的余弦值．

20. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．

（1）证明：平面PBC∥平面ODM；

（2）求点A到平面PCD的距离． 第4页，共14页

21. 如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图2．

（1）求证：NC∥平面MFD；

（2）若EC=3，求证：ND⊥FC；

（3）求四面体NEFD体积的最大值．

22. 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；

而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．

故选：A．

根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．

本题考查了公理的意义，比较简单．

2.【答案】B

【解析】解：∵两条相交的直线可以确定一个平面，

一条直线和两异面直线b，c都相交，

∴它们可以确定2个平面．

故选：B．

利用两条相交线能确定一个平面的性质直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查平面的基本性质及其推论等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.【答案】B

【解析】对于A，圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，是2rl，∴A正确；

对于B，用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，∴B错误；

对于C，圆台的所有平行于底面的截面都是圆，C正确；

对于D，圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形，D正确．

故选：B．

根据题意，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

本题考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题．

4.【答案】C

【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；

C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．

故选：C．

利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题． 第7页，共14页 5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力，是基础题．

三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．

【解答】

解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，

所以四棱锥的体积为：，所以h=．

故选：B．

6.【答案】A

【解析】解：如图：取AB的中点N，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为棱CC1上任意一点，

故ON⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴ON⊥BM．

再由Rt△ABM≌Rt△BCN，且两个直角边对应垂直，可得CN⊥BM．

而CN和ON是平面CNOP内的两条相交直线，故BM⊥平面CNOP．

再由OP⊂平面CNOP，可得BM⊥OP．

故异面直线OP与BM所成的角等 90°，

故选：A．

取AB的中点N，由ON⊥平面ABCD得到ON ⊥BM，再由Rt△ABM≌Rt△BCN，且两个直角边对应垂直，可得CN⊥BM．

再由线面垂直的判定定理可得BM⊥平面CNOP，从而证得BM⊥OP，从而得到异面直线OP与BM所成的角．

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线和平面垂直的判定与性质，得到BM⊥平面CNOP，是解答本题的关键，属中档题．

7.【答案】B

【解析】解：作AE⊥BD，连接PE，

∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，

∴BD⊥面PAE，∴BD⊥PE，即PE就是P到BD的距离．

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

PA⊥平面ABCD，且PA=1，

∴AE•BD=AB•AD，AE==，