第五讲参数估计

dp
p
1 p
解得p的最大似然估计值
pˆ

1 n
n i 1
xi

x
p的最大似然估计量为
pˆ

1 n
n i 1
Xi

X
已知例2.总体服从参数为λ的普阿松分布，x1 , x2 ,, xn 为 的
一组样本观测值，求参数λ的最大似然估计.
解：X的分布律为：
P{X k} k e , k 0,1
0
0 x ( 0)
x0
今从中抽取了容量为10的一个样本，数
据为：1050、 1100、 1080、 1200、 1300、1250、 1340、
1060、 1150、 1150 ,求参数 的最大似然估计值
解:似然函数为
n
e L( ) exi
n n x
i 1
)

D( X
2
)

2 2n
所以lim P(| X | ) 0 n
即X 是总体均值E(X)= μ的相合估计量.
总体数学期望和方差的点估计
在实际中,常常以样本均值作为总体均值的
点估计,以样本方差作为总体方差的点估计.
期望的点估计
(1)无偏性
X

1 n
n i1
Xi
(2)样本容量越大,估计值 越 有效
验结果出现的可能性最大
(1).若总体X是离散型，其分布律P{X x} p(x; ), 的形式为已知，为待估参数，是可能取值
的范围。
设X1,, X n是来自X的样本；则X1,, X n的联合分布律：
n
p(xi ; )

统计学第五章参数估计目录2第五章参数估计3第一节统计推断的基本问题、概念和原理3一、简单随机抽样和抽样误差6二、统计量及其抽样分布8三、参数估计的主要内容9第二节总体参数的点估计9一、矩估计10二、极大似然估计11三、点估计的评价标准12第三节正态总体均值的区间估计12一、总体参数的区间估计的概念和基本思想13二、单正态总体均值的区间估计17三、两正态总体均值之差的区间估计19*四、单侧区间估计问题21第四节一般总体均值和成数的大样本区间估计21一、非正态总体均值的大样本区间估计22二、总体成数(比例)的大样本区间估计24*三、单侧区间估计25*第五节正态总体方差的区间估计25一、单正态总体方差的区间估计26二、两正态总体方差之比的区间估计28第六节样本容量的确定28一、总体均值估计的必要样本容量29二、总体成数估计的必要样本容量30三、影响必要样本容量的因素31英文摘要和关键词32习题第五章参数估计通过本章的学习，我们应该知道：统计推断的基本问题、概念与原理参数点估计的方法与评价正态总体均值、方差的区间估计一般总体的均值、成数的区间估计参数估计所需的样本容量的确定统计抽样推断是统计学研究的重要内容，它包括两大核心内容：参数估计（Parameter Estimation）和假设检验（Hypothesis Testing）。

两者都是根据样本资料，运用科学的统计理论和方法对总体的参数进行推断；参数估计对所要研究的总体参数，进行合乎数理逻辑的推断；假设检验对提出的关于总体或总体参数的某个陈述进行检验，判断真伪。

2005年中国消费者协会的主题是“健康·维权”。

想象你是中国消费者协会的官员，负责治理缺斤少两的不法行为。

假如你知道可口可乐公司，他们生产的一种瓶装雪碧，包装上标明其净含量是500ml，在市场上随机抽取了25瓶，测得到其平均含量为499.5ml，标准差为2.63ml。

你拿着这些数据可能做两件事：一是你做一个估计：该种包装的雪碧平均含量在498.03-500.97ml之间，然后向消协写份报告；二是你做一个裁决：说“可口可乐公司有欺骗消费者的行为”的证据不足。

(总体方差未知时，以样本方差代替)
1
X 2 t n1 n2 2
2
2 Sp
n1
n2
X
1
X 2 z
2
2 S12 S 2 n1 n2
2 Sp
2 2 n1 1S1 n2 1S 2
n1 n2 2
20
例题：

分别在城市1和城市2中随机抽取n1=400， n2=500的职工进行调查，经计算两城市职工的 平均月收入及标准差分别为X1=1650元，
22
思考题：

一个研究机构做了一项调查，以确定稳定的吸 烟者每周在香烟上的消费额。他们抽取49位固 定的吸烟者，发现均值为20元，标准差5元。
1.总体均值的点估计是多少？
2.总体均值μ的95%置信区间是什么？
23
思考题解答：
1.总体均值的点估计是20元。
2.总体均值μ的95%置信区间： 随机变量X表示每周香烟消费额，由题意可知，X=20， S=5，1-α=0.95，α=0.05；n=49 属于大样本，σ 未知以S估计。总体均值μ的95%置信区间为
P z Z z 1 2 2
P L U 1
X P z z 1 2 2 n
Step3：将上面等式进行等价变换即可。
P L U 1
第五章 参数估计
第五章 参数估计

利用样本数据对总体特征进行推断，通常在以下 两种情况下进行：

当总体分布类型已知(如：正态)，根据样本数据对 总体分布的未知参数进行估计或检验。参数估 计或参数检验。（如：μ或σ为何？） 当总体分布类型未知或知道很少，根据样本数据 对总体的未知分布的形状或特征进行推断。非参 数检验。（如：是否正态分布？是否随机？）

如何根据数据选择合适的模型，以及如何进行有效的假设检验是 参数估计面临的重要挑战。
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等