1、2
2220a ab
a b ab ab ab b =⋅-⋅=
2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αα
ααααααα
α
-=⋅--⋅=+=
3、222()()22()2a bi b
a bi a bi a
b a b ab a b a a bi
+=+--=+-=--
4、3
24
2
123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423
--=-+-+--------- 920321224205=---+++=-
5、123
4
561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789
=++--- 45849648721050=++---=
6、2
21
4
112*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101
-=+-+---- 20240479639880820218=-++--=-
7、2222
34322222
2
1
11
01(1)(1)(1)010
1w w w w w w
w w w w w w w w w w w w +⨯---=-=-++=-⨯--第2行第1行()第3行第1行()
8、33222321
21*2*3322663
x
x
x
x x x x x x x x x x =++---=-+
9、
1430004
004
0043
1(1)0434*******
432
4321
+-=-=-按第行展开
10、公式：
111112111222222122112212
0000000000
00n n nn nn nn
n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
=
=
1
1111,11(1)2,12,2,1212,12
12,111
,1
1
1
00000000(1)
00
0n n n n
n n n n n n n n n n n n nn
n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------===
-
⋅
解：
10100001000010
02000020
10(1)10
080000800900009
10
+-⋅按第行展开
9(19)2
10(1)
128910!+=⋅-⋅⋅⋅=
11、311111111
2111110200311*(2)811110020
4111110002
----=-=------第行第行
第行第行第行第行
12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即
123412
3412342111323411341011310311010222341214120222
111414
12311230111
---=-=-----------第行第行第行第行 第行第行
10*16160==
13、
5042111
11111
210
112111210210143247412041200324
153
111150420153
-----=-=----=----------第，行交换
14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）
36564111111111111111254532545303275032753634
22546
5032870001
225465363420307500200111113656
403297
0002
2
------===--- 根据课本20页公式（1.21），原式0
12
11
2003*41203
022
=
-=-=-（）
15、
1200
340012132*16001334510
051
-==---（）（）=32
16、12345
12345
123678910678910
21
3567810*220000*********
0100002400024
01011
00013
-=-=-=-第，
行对换
17、根据课本20页公式（1.22）
2300112
1120030
2
12
(1)302
12*(5)600024031
240124013125
8
⨯--=-=-=--
18、100
12
01*2*33!123
A ===，
5(51)
200001
00020(1)(1)(2)(3)(4)(5)5!0
30004000500
B ---==------=----
所以
3*5*
(1)||||3!5!0
A
A B B
=-=-
19、证：
21111
1111122222
2222223333
33333111
111122222
22
22333
3
3
3
3
(1)2*1(1)(1)(1)1*2(1)a b x a x b c a b x b x c a b x a x b c x a b x b x c a b x a x b c a b x b x c a b x
b c a b c x a b x b c x x a b c a b x b c a b c +++-=++-+-+++-+=-+--=+左第列第列第列第列右
20、11111111
21111100
31111100
41111100x x x x x y x y y x y
++----=-+-----第行第行
左第行第行
第行第行
14440
11
1
4(1)10(1)()00
00x x x
x
y y x x x
x
y
++--+-⋅⋅-+-⋅-⋅----按第列展开
2222222(1)()x y y x xy xy x x y y x y x x y ⎡⎤=---++-=----==⎣⎦
右
21、3
333
3
3
333
33
1
1111
1
010b a
c a a
b c b a c a b a c a a b c b a c a
--==--=⋅----左
()()()()()()()()()
()()()()()()()2222222222b a c a c ac a c a b a b ab a b a c a c ac a b ab a b a c a c ac b ab b a c a c b a b c =--++---++=--++---=--+--=---++=右
22、解法1：()()()()2
32
322
33223322332
3
22
33
1100
1111a a b
b b a b a b a
c a c a b a c c c a c a =--=------- 整理得()()()()ab bc ca b a c a c b =++---
又根据范德蒙行列式有：()()()2
22
111a a b a c a c b b
b c
c ---= 故原式得证。
解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式 解答：构建新的4阶范德蒙行列式：
2
3232
3
23
11()11a a a b b b f x c c
c
x
x x =
()f x 按第4行展开得：2341424344()f x M M x M x M x =-+⋅-⋅+⋅ (1)
其中，2
32
3422
3
111a a M b
b c c =，22442
111a a M b b c
c =
按范德蒙行列式结论得：
()()()()()()()f x x a x b x c c a c b b a =------
32
()()()()()x a b c x ab bc ca x abc c a c b b a ⎡⎤=-+++++----⎣⎦ (2)
式子(1)和(2)对比，可得
42()()()()M ab bc ca c a c b b a =++---
44()()()M c a c b b a =---
可以看出，4244()M ab bc ca M =++，即2
32
2
322
32
111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++，得证.
23、
1
020
210
21
200140
02235430234554300250000000000a a a b b c a b ac bd abcd c c b c d d d d
-
==⋅=第，列第，行对换对换
24、
21100
10100110
11(1)(1)01011
0101001a b b a c c c d d d
+-=-+------()1a bcd d b cd ++++ 1abcd ad ab cd =++++(1)1(1)(1)ab cd ad cd ab cd ad =++++=+++
25、
2
22222222
2
2
2
2222(1)(2)(3)21(1)(2)(3)31(1)
(2)(3)
41(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d +++-+++-+++-+++第列第列第列第列第列第列
222
2
21446921446921
44
69
214469
a a a a
b b b b c
c c c
d d d d ++++++++++++
2
22
2
212632*22126043*221262126
a a
b b c
b d b +-+=-++第列第列第列第列
26、
1
11
14212
01
114320000
12
2
2
a b c a b c b
c a b c a c a b c
a b b c c a a b -=-+++第行*第行
第行*第行
27、
1
1
1
11122224
4333333444
4
2
2
0000
00000
0000000000
00
a b a b a b a b b a b a b a a b a b b a b a b a -
第2,4列第2,4行对换对换 1133141423234
42
2
()()a b a b a a b b a a b b b a b a =
=--
28、
12
22212222212
2222100002232
21
010
31222121
0030n 12
2
2
21
2
n n n n ------第行第行第行第行第行第行
22221210000
01
320
0030n 20
00
2
n n -----第行第行第行第行第行第行
212
222
010
1(1)12(2)!00300
02
n n n +-⋅⋅
=-⋅---按第列
展开
29、1n +阶范德蒙行列式的计算和n 阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将n 阶范德蒙行列式的n 换成1n +。 本题中1,1,2,1i x a i i n =-+=+，根据范德蒙行列式的计算公式知，
原式()11
i
j
j i n x x ≤<≤+=
-∏
()()()()()()()()213141113242121n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x +++=--------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()()()()()()()()12312311n n =--------+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()()12
1!11!12!1n n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=------⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()()
()()()1
111!1!2!
2!n n n n n -=-----
()
()
()()12
1!1!2!2!n n n n n +=---
()
(1)2
11!n
n n k k +==-⋅∏
30、观察发现，第i 行可提出公因子n i a ，1,2,
,,1i n n =+。所以
原式2
1111112
22212
12222
1111
1111
()1
n
n
n
n n
n n n n n n b b b a a a b b b a a a a a a b b b a a a +++++++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为(1)n +阶范德蒙行列式，
由公式得 原式12112
11111
()()
j j i i j
n
n
i n n j i n j i n i j i j
b a b a b b a a a a a a a a
a a ++≤<≤+≤<≤+⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
∏∏
又
111211111
()()
()()i j n n n n n n j i n a a a a a a a a a a +++-+≤<≤+=∏
121()()
()n n n n a a a a a a -⋅
3132()()a a a a ⋅
21()a a ⋅
12
1()n n a a a +=
所以，原式()12111
()n
n j i
i j
j i n a a a a b a b +≤<≤+=-∏
31、系数行列式
504211111111
210
112114112102103247412041200324
513
111150420513D ----=
-=-=----=----------，行
对换 1304211201120
20111211311
210201
3227112030420322
111011*********
D ----=
-
=-=---=---，行对换 2534210
111011
110
1121141
1210110
1247412041200124
313
1
1
15
3
4
20
313
D =
-=-=---=------，行对换
3503211011101
210
11111411110210
3147411041100314
533
110150320533
D ----=
-=-=---=------，行
对换
4504311101110
21111211411210211
3217412141210321
51311
1
50
4
3051
3
D ----=
-=-=---=-------，行
对换 所以，11717D x D -=
==-，22717D x D ===--，33717D x D ===--，447
17
D x D -===-
32、系数行列式
011111011110111
101110
11110111
11,2110111
101101100111011110101010111101
1110
01
001
D =-=----行
对换
1
01
1
1
21101111
10
12140021101
11200121
00112---=-=----=------------
111111
11
1
1
154201111
100043310111
1100
32411011
011021511101
11
D ---=-----第行第行
第行第行
第行第行
第行第行
21
1
2
41
3
01100011000
1512*41110
01110
01
01101
01101
00111
0011--++------第行第行第行第行 74
110
01100
011000
13*314*2111110
01
1100101101011010
111
11
--++=------第行第行第行第行
21201111
011
11
541111
121111
100
4311001(1)130110
1100111032141010
1110
1011
21151100
10
11
D +---=--------第行第行
第行第行
按第列
展开
第行第行
第行第行
1+444110111
4(1)(1)111(1)(1)(1)1107101111
+--⋅--+-⋅-⋅--=-按第列
展开
21301111
01
111
541111
102111110
4311001(1)113110
1100011032114010
0110
0111
21115100
111
D +---=-------第行第行
第行第行
按第列展开
第行第行
第行第行
11211
1
1
1
1(1)1(1)110(1)1(1)1103111111
++-⋅⋅--+-⋅⋅--=--按第列
展开
21401111
01
111
5411
111012111010
4311101(1)110310
1110
011
32111410
0110
00
11
21111500
0011
D +----=------第行第行
第行第行
按第列
展开
第行第行
第行第行
1121110111
1(1)1(1)110(1)1(1)1101011011
++--⋅⋅-+-⋅⋅-=---按第列
展开
21501111
011
11
54111
1101121
1001
4311011(1)110130
1101
011132111140
0111
001
1
21111050
11
D +----=------第行第行
第行第行
按第列展开
第行第行
第行第行
11211
1
1
1
1
1(1)1(1)1
11(1)1(1)11150
11011
++--⋅⋅--+-⋅⋅--=-按第列
展开
所以，11114D x D =
=，2274D x D ==，3334D x D ==，4414D x D -==，555
4
D x D -==
33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式0D =，即
1111112112110101114131113100410114111001a a
a a
D a a b a a b a b a
----=
-=
--------第行第行第行第行第行第行 2(1)40a b =+-=
所以，2(1)4a b +=
34、设直线方程0ax by c ++=，由于直线过点()()1122,,,x y x y ，所以110ax by c ++=，
220ax by c ++=。问题转化为求齐次线性方程组1122
000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩中不同时为零的,,a b c
满足的条件。因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等于0，可得
112
21
101
x y x y x y =
35、由已知条件，得
01230123
01230123(1)0(1)4(2)2483(3)382716
f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-=⎧⎪=+++=⎪⎨
=+++=⎪⎪=+++=⎩ 其系数行列式
11
1111
11
21202101
111102
02
313392*3*4113124803
39
4828127
411392704828
D -----=
-==-第行第行第行第行第行第行
24*248==
10111
11011101
2113411111410242
34*13248423806312
49*1163
927
936270121636
D -------=
-
--
-第行第行，
列第行第行对换第行第行 2
4
2
121
63122*3*421424*14336121636349
====
2101110
11
21402
141104
02
31339134803
39
16828
41116927016
828
D ---=
-=-第行第行第行第行第行第行
40
2
42*133908824
-=第行第行
311011101
2111410242
3112380339
41131627041628
D -----=--第行第行
第行第行
第行第行
2
4
2
121
3392*3*411324*(10)24041628147
===-=-
4111011
10
21204102
111402
04
313332*3*4111124303
33
4816124
411391604816
D ---=
-==-第行第行第行第行第行第行
24*496==
所以，107D a D ==，210D a D ==，325D a D ==-，432D
a D
==
所以，2
3
()752f x x x =-+
补充题： 36、
(1) 证：记1
2
1111111
1
1n n
a a D a ++=
+.
当1n =时，左11a =+，右1111
(1)1a a a =+=+，左=右，等式成立。 设1n k =-时等式成立，即
1
1
12
111
1
11
1111111
1
1k k k i i i i k a a D a a a ---==-++⎛⎫=
=+⋅ ⎪⎝⎭+∑∏ 当n k =时，
112
2
1
1
1
111111111111
1111
k 1111111111
1
110
k k k k
k
a a a a D a a a a a --++++=
-+++-第行第行
21
111
1
1111111k ()(1)
(1)1
1
11
k k k k k k a a a D a ++--+
--+⋅-+按第行展开
21
11
2131k-111
111000(1)0
k
k k k a a a D a ------
+第行第行第行第行
第行第行
2
31*(2)111
0000
(1)(1)10
k k k k k a a a a D a ---=-⋅-⋅⋅
+
22123
11(1)k k k k a a a a a D ---=-⋅+
1
1123
111
11k k k k i i i i a a a a a a a ---==⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪⎝⎭∑∏
1123
11111
11111k k
k k
k k i i i i i i k i i a a a a a a a a a a --====⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏∏
所以，结论成立。
(2) 略.
(3) 由(1)中过程可得1123
1n n n n D a D a a a a --=+，所以
11231n n n n D a D a a a a --=+
()12123
2123
11n n n n n n n
a a D a a a a a a a a a a ----=++⋅
12123
1111n n n n n n n a a D a a a a a a a ----⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
()123123
3123
1111n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a a a a a ------⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
123123
2121111n n n n n n n n n n a a a D a a a a a a a a a -------⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
121123
212311
1n n n n n n a a a D a a a a a a a a a ---⎛⎫=
=+++
+ ⎪⎝⎭
()1
21123
2123
11
11n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫=++++
+ ⎪⎝⎭
123
21123
111
11n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫=++++
+ ⎪⎝⎭11
11n
n
i i i i
a a ==⎛
⎫=+⋅ ⎪
⎝⎭∑∏
(4) 一般解法：
1
12
121
2131n 111111111101
1
10
n
n
a a a a a a a a ---+++-+
-第行第行第行第行
第行第行
11
1122111000
i
n
n
a a a a a a a a a ⨯++
++
第1列+第i 列(i=2,3,,n)
1
1
122
1111212
(1)()n
n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a =++
++
=+++
+
1212
111
(1)n n
a a a a a a =+
+++
37、解法1：证明由性质3，得
左边=
11
2
2
1
10001000
0100
10
0000100010
n n
n n x x x x x D x x a a a a a x
------+
=+--， 将1D 的第1列乘以1x 加到第2列，再将第2列乘以1x 加到第3列，….，将第1n -列乘以1x
加到第n 列，得
11
1
3
1
2
12
212
23
1211211
22
1211
0000000000
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n
n n k
n n k k x
x D x
a a a a a a a a a a a a a a x x x
x x
x
x x
x
a a a x a x x x a
xa x
a a a x ----------------==
+++++++++++⎛⎫
=⋅++++ ⎪⎝⎭=++
++=∑所以左边=1
n
n
n k
k k x a x
-=+
∑=右边。
解法2：注意到11D x a =+，n D 按第一列展开，得
()()
1
1
11
2
1
1000
10
110001n n n n n n
n n x x D xD a a a a x a +------=
=+---+
()212121n n n n n n n n xD a x xD a a x D a x a -----=+=++=++
()232321321n n n n n n n n x xD a a x a x D a x a x a ------=+++=+++
依此类推
()1
1
112
2
1
n
n
n
n n k
n n k
n
n k n k k k k k k D x D a x
x
x a a x
x a x -----====
=+=++=+∑∑∑
38、解法1：
1231100001000010
0010
n n
a a x a x a x a x
-----
1
32
112213
2
231
3
34
1111211120000000000
0000000
n n n n n n n n n n n n n
n n
n n x
n n x
x
a a a a a x x x x a a a a x x x x a a a x
x x a a x x a x
-----------+
⨯-+
⨯-+
⨯+++++++++++++第行第行
第行第行
第行第行
113211
2232113211n n n n n n n n n n n
n k
k k a a a a x a x x x x a a x a x a x a x a x ---------=⎛⎫
=+++++ ⎪⎝⎭
=+++++=∑ 解法2：按最后一行展开（思路类似于37题解法2）
()211212n n n n n n n n n D a xD a x a xD a a x x D -----=+=++=++ ()223123123n n n n n n n n a a x x a xD a a x a x x D ------=+++=+++ 2211221n n n n n a a x a x a x x D ----=+++
++
2
2
1
12211
n
n n n k n n n k k a a x a x a x
x a a x -----==+++
++=∑
39、记cos 11
2cos 1
1
2cos 112cos n D θθ
θθ
=
，按第n 列展开，则
()()()
11211cos 11
2cos 1
2cos 12cos 1
2cos 1
1n n n n n n D D D D θθ
θθθ----⨯-=-⋅
=⋅-
证法1（归纳法）：
当1n =时，1cos D θ==右，等式成立；
假设当n k ≤时，等式成立，则1cos ,cos(1)k k D k D k θθ-==-； 当1n k =+时，112cos 2cos cos cos(1)k k k D D D k k θθθθ+-=-=⋅--
[]1
2cos(1)cos(1)cos(1)cos(1)2
k k k k θθθθ=⋅
++---=+ 得证。
证法2（递推公式法）：
122cos n n n D D D θ--=⋅-()()12cos sin cos sin n n i i D D θθθθ--=++--⎡⎤⎣⎦ ①
根据式①有
()()112cos sin cos sin n n n n D i D i D D θθθθ----+=--
即 ()()()112cos sin cos sin cos sin n n n n D i D i D i D θθθθθθ----+=--+⎡⎤⎣⎦ ② 根据式①有
()()112cos sin cos sin n n n n D i D i D D θθθθ-----=+-
即 ()()()112cos sin cos sin cos sin n n n n D i D i D i D θθθθθθ-----=+--⎡⎤⎣⎦ ③ 令()1cos sin n n n X D i D θθ-=-+，则②式化为
()()()
2
2
122cos sin cos sin cos sin n n n n X i X i X i X θθθθθθ---=-=-=
=-
()()()()()()
()
()()
[]
2212222
2
1
cos sin cos sin cos sin 2cos 1cos sin cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos(1)sin(1)n n n n n i D i D i i i i i i i i i i n i n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-----=--+⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=---+⎣⎦
=---=--⎡⎤⎣⎦
=--=----
令()1cos sin n n n Y D i D θθ-=--，则③式化为
()()()
2
2
122cos sin cos sin cos sin n n n n Y i Y i Y i Y θθθθθθ---=+=+=
=+
()()()()()()
()
()()
[]
2212222
2
1
cos sin cos sin cos sin 2cos 1cos sin cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin cos(1)sin(1)n n n n n i D i D i i i i i i i i i i n i n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-----=+--⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=+---⎣⎦
=+-+=++⎡⎤⎣⎦
=+=---
所以，12sin sin 2cos(1)n n n Y X i D i n θθθ--=⋅=⋅- 所以，1cos(1)n D n θ-=- 所以，cos n D n θ=.
40、41
52332
5210751245213
1215
520725
13115
294520135247530530732521213
1213
7
777D -
---=
=⨯⨯⨯
------
4112
10
55275
552
75510024011
(1)(1)1002
40
2095241353530035300
95
4135
1000
552
75
4535453511245035(1)215
151********
35300
3530015015
2151
(4535)3530035++---=
=
----⨯⨯------=-=-⋅=⨯--⨯⨯⨯--⨯=
-+=
⨯
41、
1223n-1n 11100111
1
10
10
11
11100
1
1
1
11
1
n n n n n n n n n n ----+------+----第行第行第行第行
第行第行
(1)(1)
1
1
2
2
-12
-11
200
1001001001
1
2
1(1)(1)(1)(1)
(1)n n n n n n n n n n n n n n n n -+--+++--------=----=-
+第列第列第-列第列
第列第列
42、 解法1：将第1行乘以-1加到其余各行，得
原式=11231
2
1
3
1
0000
n n
a a a a λλλλλλλ+---
再将第2列乘以
12λλ，第3列乘以13λλ，…，第n
列乘以
1n
λ
λ均加到第1列，得 原式3
2
111112
32
3
2
3
00
0000
n
n n
n
a a a a a a a λλλλλλλλλλ++
+
+
+
=
1
2
12
1
2
1111n n n n
n
i j i j i a a a a λλλλλλλλ==⎛
⎫=+
+
++
⎪⎝
⎭
⎛⎫⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭∑∏
解法2：记311231
22331
231
2
n n n n n n
a a a a a a a a D a a a a a a a a λλλλ++=++
3
312
1
23
3
1222233331223
3
122
000
n n n n n n n n
n n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ++=+++++
3
12
3
2223323
1
3
2
000
0000
n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλ++=++12311n n a D λλλλ-=+
所以，12311n n n D a D λλλλ-=+[]123
123422n n n a a D λλλλλλλλ-=++
1231234122n n n a a D λλλλλλλλλ-=++
12312341
11n n n a a D λλλλλλλλλ-=
=++
+
12312341
1()n n n n n a a a λλλλλλλλλλ-=++++
123
1234
123
1123
n n n n n a a a λλλλλλλλλλλλλλλ-=++
++
111n n
n
j k k j k k k j a λλ===≠⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭
∑∏∏
43、
解法1：各行元素之和均为(1)
1232
n n n ++++
+=
，把各列元素加到第1列，得
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ B. 100 1 2 00 1 3 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ C. 1 3 00 010 00 1 2 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ D. 1 2 00 1 3 001 ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ⎛ ⎝ ⎫ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…
《线性代数》课程习题 第1章行列式 习 题 1.1 1． 计算下列二阶行列式： （1） 2 345 （2） 2 16 3- （3） x x x x cos sin sin cos - （4） 1 1 12 3++-x x x x （5） 2 2 32ab b a a （6） β β ααcos sin cos sin （7） 3 log log 1a b b a 2． 计算下列三阶行列式： （1）3 4 1 123312 -- （2）00000d c b a （3）d c e b a 0000 （4）z y y x x 0 0002121 （5）369528 7 41 （6）0 111011 1 -- 3． 用定义计算行列式： （1） 4 10670 5 33020010 0 （2） 1 014300211321221--- （3）5 00000000400030 020001000 (4) d c b a 100 1 10011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) ?????=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)??? ??=+-=-+=++2 32120321 321321x x x x x x x x x 习 题 1.2 1． 计算下列行列式：
（1）1 23112 1 01 (2)15 8 10 644372---- （3）3 610285 140 （4）6555655 56 2.计算行列式 （1） 2 341341241231 234（2） 12 11 4 3 51212734201 ----- （3）5 2 4 222 425 -----a a a （4）3 2 213 1399298203 123 - （5）0 53200 4140013202 52 7 1 02135 ---- 3.用行列式的性质证明： （1）32 2 )(1 11 22b a b b a a b ab a -=+（2）3 3 3 222 1113 33 33322222 21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根： （1）022 223 3 56 =-+--λ λλ（2）0913 2 5 1 32 322132112 2 =--x x 5.计算下列行列式 （1） 8 3 6 4 21 3131524273 ------ （2）ef cf bf de cd bd ae ac ab --- （3）2 12 3 5 4 8 67759513 36344 24355---------- （4）1 1 1 1 1 0000000002211 n n a a a a a a ---
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???? ???---d c b a 100 11 0011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
习题答案 习题1（参考答案） 1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？ 程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。 算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。 算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。 2．简述程序设计语言发展的过程 程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。 3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。 “面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。 “面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。 面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。 4．C语言程序的特点是什么？ （1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。 （2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。 （3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。 （4）用C语言可直接访问物理地址，能进行二进制位运算等操作，即可直接同机器硬件打交道。它具有“高级语言”和“低级语言”的双重特征，既能用于系统软件程序设计，又能用于通用软件程序设计。 （5）C语言生成的目标代码质量高、程序执行速度快。一般只比用汇编语言生成的目标代码的效率低20％左右。 （6）可移植性好。 5．源程序执行过程中，有哪些步骤？
线性代数课后习题答案第二版 线性代数课后习题答案第二版 线性代数是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。而对于学习者来说，课后习题是巩固知识、提高能力的重要方式之一。本文将为大家提供线性代数课后习题第二版的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 一、矩阵与向量 1. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置。 答案：矩阵A的转置为A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。 2. 习题：给定向量x = [1; 2; 3]和向量y = [4; 5; 6]，求向量x和y的内积。 答案：向量x和y的内积为x·y = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和向量x = [1; 1; 1]，求矩阵A和向量x的乘积。 答案：矩阵A和向量x的乘积为Ax = [6; 15; 24]。 二、线性方程组与矩阵运算 1. 习题：给定线性方程组： 2x + 3y - z = 1 4x + 2y + z = -2 x - y + 2z = 0 求解该线性方程组。 答案：解为x = 1, y = -1, z = 2。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的乘积。
答案：矩阵A和矩阵B的乘积为AB = [19 22; 43 50]。 3. 习题：给定矩阵A = [1 2; 3 4]和矩阵B = [5 6; 7 8]，求矩阵A和矩阵B的和。答案：矩阵A和矩阵B的和为A + B = [6 8; 10 12]。 三、特征值与特征向量 1. 习题：给定矩阵A = [2 1; 1 2]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 3, λ2 = 1，对应的特征向量为v1 = [1; 1]，v2 = [-1; 1]。 2. 习题：给定矩阵A = [1 2; 2 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 0, λ2 = 5，对应的特征向量为v1 = [-2; 1]，v2 = [1; 2]。 3. 习题：给定矩阵A = [3 -1; 1 3]，求矩阵A的特征值和特征向量。 答案：矩阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = 4，对应的特征向量为v1 = [1; -1]，v2 = [1; 1]。 通过以上习题的解答，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法。线性代数 作为一门基础学科，不仅在数学领域中有广泛应用，而且在物理、工程、计算 机科学等领域也起到了重要的作用。希望本文的答案能够帮助大家更好地掌握 线性代数知识，提高解题能力。
习题三 A 组 1 •填空题. (1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x = _____________ , a v h= _________ ro o> 1 ] (3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n = I 2 3丿 ‘1 0 ⑷设A= 0 2 J o 解0. (5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n 解 k 2(k-2n ). (6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T = _________ , AA ： = _______ 2 (2)设八 1-3 2) ,B = -3丿 1 -1 3 1 3> 则AB = (0 0丿 (—3 -3丿 2 1 3 2 3 2 3 1 1) 0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' = 2“+i 2".
(cos& -sin&\ (7) 、sin& cos& 丿 cos& sin&\ 、一sin& cos& 丿 0 0、 2 0 ,则(A*y = 4 5, 解討 丫2 (10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B <-1 2 (2 0 (11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4 ,2 0 ‘0 0 P 解0 1 0 b o oj (12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* = 16 27 (13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C = °, 则\c\ = (8)设…®?工0 ,则 、\ Z 曾丿 1) a n 1 % ■ ■ 1 1 ■ 色丿丿 a l P (9)设A= 2 2、 0 ,贝= 2丿 /
1、2 222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos ααααααααα α -=?--?=+= 3、222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423 --=-+-+--------- 920321224205=---+++=- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789 =++--- 45849648721050=++---= 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101 -=+-+---- 20240479639880820218=-++--=- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行()
8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 11111211122222212211221200000000000 n n nn nn nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 11111,11(1)2,12,2,1212,12 12,111,1 1100000 00(1) n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a -------= = =-?L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 解： 1010000100 00100200 02010(1)100 8000 80090000 9 10 +-?L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 按第行展开 9(19)2 10(1) 128910!+=?-???=L 11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1
第一章作业参考答案 1-1. 求以下排列的逆序数： （1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10 （2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1) 2(1)2 n n n n -⨯=- 1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a 解：()12(234516)4,•3126454t t t t ==== 128t t t =+=为偶数，故该项带正号。 1-3. 用行列式的定义计算： （1） 0004 0043 0432 4321 （3） 01 2 3 100010001x x x a a a x a ---+ 解：（1） 1241231240 0040 043(1)(1)444425604324 3 21 t q q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3） 1320 1 2 3 1 00010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+ 233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++ 1-4. 计算下列行列式： （1） 1111111111111111--- （3） 120 03 40000130051 - （5）1111111111111111a a b b +-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a =
线性代数课后习题答案(共10篇) [模版仅供参考，切勿通篇使用] 感恩作文线性代数课后习题答案（一）: 高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版 最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实, 这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值 答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）: 求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案
书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）: 线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么? 如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案 应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）: 线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值; 求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了? 再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么? 所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）: 线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则
线性代数第四版课后习题答案 线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域 中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供 了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的 答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。 第一章：线性方程组 1.1 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： 2x + 3y + z = 7 4x + 2y + 5z = 4 3x + 4y + 2z = 5 解得x = 1，y = -1，z = 2。 1.2 习题答案： 1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得： x - 2y + 3z = 1 2x + y + z = 2 3x + 4y - 5z = -1 解得x = 1，y = 0，z = 0。 第二章：矩阵代数 2.1 习题答案： 1. 解：设矩阵A为：
3 4 5 6 则A的转置矩阵为： 1 3 5 2 4 6 2.2 习题答案： 1. 解：设矩阵A为： 1 2 3 4 则A的逆矩阵为： -2 1 3/2 -1/2 第三章：向量空间 3.1 习题答案： 1. 解：设向量v为： 1 2 3 则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。 3.2 习题答案： 1. 解：设向量v为：
2 3 则v的单位向量为v/||v||，即： 1/sqrt(14) 2/sqrt(14) 3/sqrt(14) 第四章：线性变换 4.1 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即： T(x, y) = (y, -x) 4.2 习题答案： 1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即： T(x, y) = (2x, 2y) 通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问 题中的应用。通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。希望本文提供的答案能够帮助读者更好地学 习线性代数，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题 基础课程教学资料 第1章矩阵 习题一 (B) 1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为： A =?? n a a a 00000021, 任何对角矩阵B 设为 n b b b 000 0021 ，则AB=?? n n b a b a b a 000 002 211，而BA =??
n n a b a b a b 000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。再证充分性，设 A =?? nn n n n n b b b b b b b b b 2 1 222 21 11211 ，与B 可交换，则由AB=BA ，得： nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2 21 1222 22111122111= nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2 1 2222 221 21112111 1，比较对应元素，得 0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。
又j i a a ≠，)(j i ≠，所以 0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。 2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T 均为对称矩阵. 证明：(T AA )T =(A T )T A T =AA T ， 所以，T AA 为对称矩阵。 (A A T )T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。 3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设 A =?? nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。 由于O A =2 ，故 A 2=AA T = nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211
线性代数课后习题参考答案(初稿) 习题一 1. 用行列式定义计算下列各题 （1） 424532263 5 -=-⨯-⨯=- （2）12 13011 1110 101(1)(1)21011 110++=-+-= （3） 1312 0010 020 020030(1)3002(1)24300004 0040004++=-=⨯-=- （4） 11 12 13 100 002 3 002346 45(1) 45 62(1) 3(1) 4045 6 810 89 8910 78910 +++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题 （1） 2 1412141312150620123 21 2325 62 5062 -== （2） 28512851105131025319061 9 65 125 1131080512051 2 1 21 1 1 7 609712 --------==---=----=---------- （3）1111 111 1 1 ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adfbce bf cf ef b c e ----=-=----
111 0240 20 adfbce adfbce -== （4） 3 300 011 () ()0 10 a b b b a b b b a b a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -= =--=-------- （5） x a a a a x a a a a x a a a a x =(1)(1)(1)(1)x n a a a a x n a x a a x n a a x a x n a a a x +-+-+-+- =[(1)] x n a +-1111a a a x a a a x a a a x =[(1)]x n a + -1 0010010 01 x a x a x a ---[(1)]x n a =+-1()n x a -- （6） 22222222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325 a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c c c d d d d d d d d ++++++++++++= =++++++++++++ （7） 123110000112 31110001223110200(1)!12321100201 2 3 1 1100 1 n n n n n n n n n n n n n n n -+-+-==--+----+-
第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）⎥⎥⎥⎥ ⎦⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢71 10 025********* 4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26 52321121314 1 2； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦ ⎥⎢⎢⎢ ⎢⎣⎢---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214214 34327c c c c --0 10014 2310202110 21 4---=3 4)1(1431022 11014+-⨯---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 2605 232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1111111 11---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100110011001---21ar r +d c b a ab 1001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+
2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分
习题1.2（第8页） （1)22241354 lim n n n n n →∞ ++-+； 解：原式=222 2(241)(354)1lim 1n n n n n n n →∞++⋅ -+⋅=2 2 2435411 2lim 113 n n n n n →∞+⋅+-⋅+⋅= （2)2221 11 12 lim n n n n n →∞++ + +++⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； 解： 2222211 1121 n n n n n n n n n ≤+++ ≤+++++ 2 2n lim lim 0 1 n n n n n n →∞→∞==++又 所以，原式=0 （3)n ； 解：原式n = n =n →∞ = 1= （4)(1)lim sin n n n n →∞ -． 解： 1sin 1n -≤≤ ∴1(1)sin 1n n -≤-≤ ∴1 (1)1sin n n n n n --≤ ≤ ∴11 lim()lim 0n n n n →∞→∞ -== 所以，原式=0
4.判断下列哪些是无穷小量? 无穷大量?哪些既不是无穷大量也不是无穷小量? （1) ()1n n - ； （2)1 2n ； （3)1ln n ； （4)1 cos n ； （5)sin n ． 解：（1） ()1lim 0n n n →∞ -= ∴ ()1n n -为无穷小量。 （2) 1 11lim 20lim 02 n n n n →∞ →∞≠≠且 ∴12 n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 （3) 11lim lim 01ln ln n n n n →∞→∞==- ∴1 ln n 是无穷大量。 （4) lim n →∞1 cos n =1 ∴1 cos n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 （5) 1 lim sin 0lim 0sin n n n n →∞ →∞≠≠且 ∴sin n 既不是无穷大量也不是无穷小量。 习题1.3（第12页） 3.求下列函数的极限 (1)1 2lim 23++∞→x x x x ; 解：=++∞→x x x x 21lim 3 2 2333 1 (1)lim 01 (2)x x x x x x →∞+⋅ =+⋅ ∴1 2lim 23++∞→x x x x 不存在。 (2)x x x 25tan lim 0→;
线性代数参考题一 一. 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 写出4阶行列式 44 43 42 413433323124 23222114 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a 中含因子2311a a 的项为_________。 2. 行列式01 11222 2=+b b a a b ab a 的充分必要条件为___________。 3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A _________。 4. C B A ,,同阶方阵,0≠A ,若AC AB =,必有C B =,则A 应为_______矩阵。 5. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。 6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=122212 22 1A 相似于对角阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛-α51,则=α_________。 7. 设向量组r A αα,,:1 是向量组T 的一个最大无关组,则A 与T 间关系为 ___________。 8. 由()()()0,1,1,1,0,1,1,1,0321===ααα所生成的线性空间为_________。 9. 二次型xz xy z y x f 444652 2 2 ++---=的正定性为________。 10.若⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且()3=A R ,则=t _________。 二. (8分)计算2n 阶行列式 d c d c d c b a b a b a D n 0 002 = 三. (8分)解矩阵方程
⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X 求?=X 四. (10分)设向量组A: ()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα 求向量组A 的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=++2 321 321 3211λλλλλx x x x x x x x x 六. (16分)求正交变换PY X =,将二次型 3231212 32221222222x x x x x x x x x f ---++= 化为标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关, 证明:n ββ,,1 线性无关. 八. (8分)A 为n 阶方阵,且A 与())1,,2,1(1-=-+n i iE A i 均不可逆. 则A 可否对角化? 线性代数参考题二 一、 填空题(每小题3分,满分30分) 1． 设B A ,都是5阶矩阵,且 2,31=-=-B A ,则=A B 2． 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵) 3． ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣⎡-=12 2 410 31 x A 设,已知矩阵A 的秩r(A)=2,则=x
第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1 ． ()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,1 1,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.41 ,41,41,454321-=-=== k k k k 所以43214 14 14 14 5ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.
判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4.()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=+0650320 321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=++=++=+-=+0 142407203033213212 131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当 0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反， 单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.