江苏省2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题1

淮安市2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}12M x x =+<，{}1N x a x =<<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],3−∞−B. (),3−∞−C. [)3,1−D. ()3,1−2. 已知直线l 的方向向量()1,1,2e −− ，平面α的法向量1,,12n λ=−，若l α⊥，则λ=（ ）A. 52−B. 12−C.12D.523. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ） A.15B.25C.35D.454. 若0x >，0y >，称a =是x ，y 的几何平均数，211b x y=+是x ，y 的调和平均数，则“3a >”是“3b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（ ）A.172B.532C.516D.236. 已知四棱锥P ABCD −的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（ ）A.B.C.D.7. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式 A. 49B. 64C. 66D. 738. 设A ，B 是一个随机试验中两个事件，且()13P B =，()56P B A =，()12P B A =，则（ ）A. ()13P A =B. ()16P AB =C. ()34P A B +=D. ()14P A B =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若0a b c <<<，则下列不等式中正确的有（ ） A. 0a b +>B.c c a b> C.b b ca a c+>+ D. 11a b b a+<+ 10. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉()7,35B 后，下列说法正确的有（ ）A. 决定系数2R 变大B. 变量x 与y 的相关性变弱C. 相关系数r 的绝对值变大D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ） A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次 B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法12. 在正四棱锥P ABCD −中，AB =，PA =，点Q 满足PQ PA x AB y AD =++，其中[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，则下列结论正确的有（ ）的A. PQB. 当1x =时，三棱锥P ADQ −的体积为定值C. 当x y =时，PB 与PQ 所成角可能为π6D. 当1x y +=时，AB 与平面PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 随机变量()25,X N σ∼，()138P X <=，则()37P X ≤<=______． 14. 在三棱柱111ABC A B C 中，点M 在线段1CB 上，且12CM MB =，若以{}1,,AB AC AA为基底表示AM ，则AM =______．15. 已知1x ≠−，且0x ≠，则()()()()2391111x x x x ++++++++ 的展开式中2x 项的系数是______．（用数字作答）16. 已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，当()34E ξ=时，()21D ξ+=______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知()2nx y −展开式中仅有第4项的二项式系数最大．（1）求展开式的第2项；（2）求展开式的奇数项系数之和．18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x1 2 3 4 5 平均收入y （千元） 5961646873的（1）根据表中数据，现有y a bx =+与2y c dx =+两种模型可以拟合y 与x 之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．参考数据及公式：()()1217n iii t t y y =−−=∑，()21374nii t t =−=∑，其中2i i t x=．()()()121nii i nii xx y yb xx==−−=−∑∑ ，a y bx =− ．19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的22×列联表： 有购买意愿 没有购买意愿 合计 男 40 女 60 合计50（1）完成上述22×列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．的()2P K k ≥00500.010 0.001 k3.8416.63510.82820. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 是对角线1BD 上异于B ，1D 的点，记1BPBD λ=．（1）当APC ∠为锐角时，求实数λ的取值范围； （2）当二面角P AC B −−的大小为4π时，求点1B 到平面PAC 的距离．21. 已知函数()22,24,22x mx x f x m x x x −+≤= −+> −，m ∈R ． （1）当2x ≤时，求()0f x >的解集；（2）若()f x 的最大值为3，求的值．22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为13，投入壶耳的概率为16；乙投入壶口的概率为23，投入壶耳的概率为13．假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立．（1）求甲投壶3次得分为3分的概率； （2）求乙投壶多少次，得分为8分概率最大．.的。

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

2019-2020学年上海市闵行区高二上学期期末质量检测数学试题及答案一、单选题1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或4 D ．1或2【答案】A【解析】试题分析：依题意有41,12aa a -==+． 【考点】斜率.2．已知圆()()221221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定3．设满足约束条件则的最小值是（ ）A ．B ．0C ．1D ．2 【答案】C 【解析】约束条件对应的可行域如图所示：平移直线，由图易得，当经过点时，目标函数最小，最小值为1. 故选C.4．若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为()A ．12B ．14C ．18D ．24【答案】C【解析】令x y t +=222，可得44t -．化简原式12|2|t =++，即可得答案．【详解】 令t x y =+，则22224sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，于是|2|[0,6]t -∈，60t +>，60t ->， 从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +-++++--=-+++-=++∈，故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、绝对值不等式的解法、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．椭圆221259x y +=的短轴长为__________.【答案】6【解析】利用椭圆的标准方程，直接求解，即可得答案． 【详解】∵椭圆的方程为：221259x y +=∴短轴长26b =． 故答案为：6． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 6．已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则x =________ 【答案】2-【解析】根据向量共线，得到1(4)20⨯--=x ，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则1(4)20⨯--=x ，解得：2x =-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.7．若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【解析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=． 故答案为：2365x y -+=．【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知平面向量,a b 的夹角为6π，||1,||2a b ==，则a b ⋅=_________.【解析】直接代入向量的数量积公式求解，即可得答案． 【详解】 因为平面向量a ，b的夹角为6π，||1a =，||2b =，∴||||cos 1262a b a b π=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．9．若线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_______.【答案】2【解析】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，即可得出x y +．【详解】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，两个方程相加可得：336x y +=，则2x y +=．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性方程组的增广矩阵及其解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【解析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭， 则l 的斜率tan θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=-⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 【答案】(0,3)【解析】根据题意，将曲线的参数方程变形普通方程，令0x =，即可得答案.【详解】根据题意，曲线的参数方程2cos ,4x y sin θθ=⎧⎨=-⎩，变形可得241x y +-=，即23y x =+，为二次函数，与y 轴的交点坐标为(0,3)； 故答案为：(0,3)． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属于基础题．12．双曲线221169x y -=上一点A 到点（5,0）的距离为15，则点A 到点（−5,0）的距离为_________________. 【答案】7或23【解析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果． 【详解】双曲线221169x y -=，()()28,5,05,0a ∴=-是双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，128PF PF ∴-=，点A 到点()5,0的距离为15，则点A 到点()5,0-是15823+=或1587-=，故答案为7或23.【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．13．以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221259y x -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点；②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若1()2OQ OA OP =+，则动点Q 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③【解析】①根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；②根据双曲线的定义即可得解；③根据平面向量的加法法则，可知点Q 为弦AP 的中点，再判定点Q 的轨迹即可． 【详解】①在双曲线中，22225934c a b =+=+=，在椭圆中，22235134c a b =-=-=，且焦点均在y 轴上，所以①正确；②由双曲线的定义知，只有当||k AB <时，动点P 的轨迹才为双曲线的一支，即②错误；③若1()2OQ OA OP =+，则点Q 为弦AP 的中点，由垂径定理可知，OQ AQ ⊥，所以动点Q 的轨迹是圆，即③正确； 所以真命题为①③. 故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性质、平面向量运算，考查综合运用知识的能力．14．已知数列{}n a 的通项公式为()()20191,12019N 1,20203n n n n a n n *-⎧-≤≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_______. 【答案】12-【解析】分别求得当12019n 时，2020n 时，前n 项和n S ，再由数列极限公式，可得所求值． 【详解】 当12019n 时，1111111n S =-+-+-+⋯-=-；2020n 时，2018201911()11131()2139313n n n S ---=-+++⋯+=-+-，可得131lim 2212213n n S →∞=-+=-+=--，故答案为：12-． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式、数列的极限的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 15．若关于x2kx =-有解，则实数k 的取值范围是____________.【答案】[1)-⋃【解析】由题意画出图形，由于双曲线的对称性，只需求出斜率大于0的情况，同理可得斜率小于0的范围，求出相切时的k 值及与渐近线平行的斜率，介于之间的即可． 【详解】∵y =221(0)x y y -=，∴原问题转化为等轴双曲线221x y -=位于x 轴上方的部分与经过定点(0,2)-的动直线2y kx =-有交点的问题，计算直线与双曲线相切可得k =再结合双曲线渐近线的知识，可得[1)k ∈-⋃.【点睛】本题考查方程的解与函数的交点的互化，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意借助图形进行分析求解. 16．如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.【答案】[35,27]--【解析】求得椭圆的a ，b ，由题意可得||OP 的最小值为3，最大值为5，运用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得||OD ，进而得到||PD 的范围，再由向量的加减运算和数量积的性质，可得所求范围． 【详解】椭圆221259x y +=的5a =，3b =，由椭圆的性质可得P 为长轴的端点时||OP 取得最大值5，P 为短轴的端点时||OP 取得最小值3，由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得1||||62OD MN ==， 所以||||||[1,3]PD OD OP =-∈，从而2()()()PM PN PD DM PD DN PD PD DM DN DM DN =++=+++ 221||||[35,27]4PD MN =-∈--．故答案为：[35,27]--． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直角三角形的性质和向量的加减和数量积的运算，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知直线1:220l x y +-=和2:10lmx y -+=.(1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【解析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果．（2）直接利用夹角公式的应用求出结果． 【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10lmx y -+=．所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ． 所以2112tan||141k k k k π-==+，解得3m =或13-． 【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．已知向量32a i j b i j =-=+，，其中,i j 是互相垂直的单位向量.(1) 求向量a 在向量b 方向上的投影；(2) 设向量,m a b n a b λ=-=+，若m n ⊥，求实数λ的值. 【答案】（1）5；（2）0λ=【解析】（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果；（2）根据m n ⊥，得到()()0a b a b λ-⋅+=，得出220λλ+⋅-⋅-=a a b a b b ，进而求解，即可得出结果.【详解】（1）因为32,=-=+a i j b i j ，,i j 是互相垂直的单位向量， 所以()()32615⋅=-+=-=a b i j i j ，()23391===--+a i j i j ()2224=+=+=+=b i j i j所以向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,5⋅<>===a b a a b b（2）因为,m a b n a b λ=-=+，m n ⊥， 则()()0a b a b λ-⋅+=，即220λλ+⋅-⋅-=aa b a b b ，即105550λλ+--=，解得0λ=. 【点睛】本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. 19．已知三点(3,1)M 、(0,2)N -、(3,5)T -都在圆C 上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为，求直线l 的方程.【答案】(1)22(3)(2)9x y -++=；(2)3460x y +-=或2x =. 【解析】（1）设出圆的一般方程，把已知点的坐标代入，求解方程组得D ，E ，F 的值，可得圆的一般方程，进一步化为标准方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得k ，则答案可求． 【详解】（1）设圆C 的方程为220xy Dx Ey F ++++=．则9130420925350D E F E F D F F ++++=⎧⎪-+=⎨⎪++-+=⎩，解得6D =-，4E =，4F =．∴圆C的方程为226440x y x y+-++=，化为标准方程：22(3)(2)9x y-++=；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为2x=，满足直线l被圆C所截得的弦长为当直线l的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x=-，即20kx y k--=．1==，解得34k=-．∴直线方程为3460x y+-=．∴若经过点(2,0)P的直线l被圆C所截得的弦长为直线l 的方程为2x=或3460x y+-=．【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分成存在和不存在两种情况讨论．20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>与双曲线22162y x-=的渐近线相同，且经过点(2,3).(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线0(0)x y m m-+=>与双曲线C交于不同的两点,A B，且线段AB的中点在圆2210x y+=上，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线C的右顶点为2A，求2A AB∆的面积.【答案】(1)2213y x -=；(2)2；(3)2.【解析】（1）由题意设双曲线22:(0)62y x C λλ-=≠，把已知点的坐标代入求得λ，则双曲线方程可求；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得AB 的中点坐标，代入圆的方程即可求得m 值；（3）双曲线C 的右顶点为2(1,0)A ，当2m =时，可得122x x +=，1272x x =-，利用行列式计算面积，即可得答案． 【详解】(1)设22:(0)62y x C λλ-=≠，∵C 过点(2,3)，∴941622λ-==-， ∴221:622y x C -=-，即2213y x -=；(2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22013x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(3)0x mx m --+=①．12x x m ∴+=，则AB 的中点坐标为3(,)22m m， 代入圆2210x y +=，得2291044m m +=，解得2(0)m m =>；(3)∵2(1,0)A ，当2m =时，①式即22470x x --=，∴122x x +=，1272x x =-， ∴21122122113|21|2211A AB x x S x x x x ∆+=+=-==.本题考查双曲线方程的求法、直线与圆、直线与双曲线位置关系、三阶行列式的应用，考查计算能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>-.(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值；(2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； (3)若直线:13x y l a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-. 【解析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，所以9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =； （2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -， 2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，所以[24TABA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a-=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a --，所以PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a -， 22229||(3)()a PQ a a-=++，所以以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a----+-=++，整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a---+---++-+=+，即2229(3)30a x a x y y a a ---+--=，整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=， 对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22-++++++恒为0，(3)(3)9x y a x x y a y所以二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2-++=++==，(3)390x y x x y y所以3y=，x=-，0即定点坐标为(3,0)-．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、向量与椭圆的交会、一元二次函数的值域、圆过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．。

上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试卷2020.01一、填空题1.椭圆221259x y +=的短轴长为__________. 2.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =−，若//a b ，则x =_________.3.若直线l 过点(2,3)A −且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________.4.已知平面向量,a b 的夹角为6π，||1,||2a b ==，则a b ⋅=_________.5.若线性方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143−⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y +=_______.6.若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________. 7.参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=−⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 8.已知双曲线221169x y −=上的点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(5,0)−的距离为_________. 9.以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221259y x −=与椭圆22135y x +=有相同的焦点； ②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k −=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支； ③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若1()2OQ OA OP =+，则动点Q 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号）10.已知数列{}n a 的通项公式为()*2019(1),12019120203,n n n n a n N n −⎧−⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_______.11.若关于x2kx =−有解，则实数k 的取值范围是____________.12.如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.二、选择题13.若过点(2,)M a −和(,4)N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ） A.1B.2C.1或4D.1或214.已知圆221:(2)(2)1C x y ++−=，圆222:(2)(5)16C x y −+−=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.相离B.相交C.内切D.外切5.若,x y 满足线性约束条件1,1,0.x y x y x +⎧⎪−⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.1−16.若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +−++++−−的最大值为（ ） A.12B.14C.18D.24三、解答题17.已知直线1:220l x y +−=和2:10l mx y −+=. （1）当12//l l 时，求m 的值； （2）当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值.18.已知向量3,2a i j b i j =−=+，其中,i j 是互相垂直的单位向量. （1）求向量a 在向量b 的方向上的投影；（2）设向量,m a b n a b λ=−=+，若m n ⊥，求实数λ的值.19.已知三点(3,1)M 、(0,2)N −、(3,5)T −都在圆C 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为l 的方程.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>与双曲线22162y x −=的渐近线相同，且经过点(2,3). （1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m −+=>与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线C 的右顶点为2A ，求2A AB ∆的面积.21.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>−. （1）过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； （2）已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； （3）若直线:13x yl a a +=−与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试卷参考答案2020.01一、填空题1.62.2−3.2365x y −+=5.26.7.(0,3)8.7或239.③ 10.12−11.[1)−⋃ 12.[35,27]−−【第9题解析】①：双曲线和椭圆的焦点分别在y 轴上和x 轴上，∴①错；②：0k =时，动点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，||k AB =±时，动点P 的轨迹为一条射线，∴②错误； ③：由1()2OQ OA OP =+可得Q 为AP 中点， 设定圆C 的方程为222()()(0,,)x a y b r r a b R −+−=>∈，(,)A m n ，(,)Q x y ， 则(2,2)P x m y n −−，∵P 在圆C 上，∴222(2)(2)x m a y n b r −−+−−=，即222224m a n b r x y ++⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，说明动点Q 的轨迹仍为圆，∴③正确.【第11题解析】y =221(0)x y y −=，原问题转化为等轴双曲线221x y −=位于x 轴上方的部分与经过定点(0,2)−的动直线2y kx =−有交点的问题，计算直线与双曲线相切可得k =，再结合双曲线渐近线的知识，可得[1)k ∈−⋃.【第12题解析】由椭圆长短轴的相关知识可得||[3,5]PO ∈，又1||||62OD MN ==，∴||||||[1,3]PD OD PO =−∈，从而221()()||||[35,27]4PM PN PD DM PD DN PD MN ⋅=+⋅+=−∈−−. 二、选择题13.A 14.D 15.B 16.C【第16题解析】令t x y =+，则4sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈− ⎪⎝⎭， 于是|2|[0,6]t −∈，60t +>，60t −>，从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +−++++−−=−+++−=−+∈，∴选C. 三、解答题17.（1）2−；（2）3或13−. 18.（1（2）0λ=.19.（1）22(3)(2)9x y −++=；（2）3460x y +−=或2x =.20.（1）设22:(0)62y x C λλ−=≠，∵C 过点(2,3)，∴941622λ−==−， ∴221:622y x C −=−，即2213y x −=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与双曲线方程，得()222230x mx m −−+=，（*）∴12x x m +=，AB 的中点为3,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭代入圆方程，可解得2m =； （3）2(1,0)A ，当2m =时，（*）式即22470x x −−=，122x x +=，1272x x =−，21122122113|21|22211A AB x x S x x x x ∆+=+=−==. 21.（1）6a =；（2）当6a =时，设(,)A x y ，其中[6,6]x ∈−且2213627x y +=， 则22222()||(1)(1)27136x TA BA TA TB TA TA x y x ⎛⎫⋅=⋅−+==−+=−+− ⎪⎝⎭2211228(4)24[24,49]44x x x =−+=−+∈； （3）联立直线l 和椭圆C 的方程，得()2290ay a y −−=，10y =，229a y a−=，从而29(,0),3,a P a Q a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，PQ 中点为239,22a a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，22229||(3)a PQ a a ⎛⎫−=++ ⎪⎝⎭，∴以线段PQ 为直径的圆的方程为2222223919(3)224a a a x y a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−−⎛⎫−+−=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，展开，22222222239939(3)2222a a a a a x a x y y a a a ⎛⎫⎛⎫−−−+−⎛⎫⎛⎫−−++−+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()222222229(3)303930a x a x y y a ax a a x ay a y a a−⇒−−+−−=⇒−−+−−−=()22(3)390x y a x x y a y ⇒−++++++=对于任意的3a >，关于a 的二次三项式()22(3)39x y a x x y a y −++++++恒为零 ∴二次项、一次项和常数项的系数均为零，即2(3)3903,0x y x x y y x y −++=++==⇒=−=，即定点坐标为(3,0)−.。