曲面拼接方法

曲面拼接大作业姓名：孙令飞学号：0909101三维曲面的造型技术在模具造型、飞机、船舶、汽车以及的造型中得到了日益广泛的应用。

在曲面造型领域中, 工程技术界主要采用雍曲面、鹅曲面和双三次样条曲面。

其中的双三次样条曲面构造简单, 具有较好的连续性, 且是局部控制, 因此, 更为使用者所欢迎。

而本论文所采用的双样条曲面除了具有双三次样条曲面的优点外, 更加灵活, 放松了对曲面光滑性的要求, 在参数的特定取值下, 双样条曲面可以退化为一般的双三次样条曲面。

曲面造型中、进行不规则三维曲面的拼接是一个关键环节之二。

作为实用的曲面造型系统, 必须具有建立复杂曲面造型的功能, 对于一些复杂形状的产品, 虽然其外形是“浑然一体”的, 但是它的复杂性决定了它不可能由一张曲面构成, 一般要由几片甚至十几片大小不同的自由曲面拼接而成。

怎样把它们拼接得“天衣无缝” , 是一项艰巨的工作。

我们就曲面拼接问题进行了研究, 并以双样条曲面为例, 用语言开发了自由曲面造型系统衍。

比较理想地解决了自由曲面的造型问题。

这个系统对若干个双样条曲面的拼接做了尝试, 通过一些实例的考核, 得到了比较令人满意的结果1.直线拟合法：直线拟合法可分为两种：第一种是利用相邻的几个点进行拟合；第二种是同一行或列的点进行直线拟合。

由于镜头畸变等因素，网格图像中网格都会在一定程度上扭曲。

第一种方法能较好地保持镜头畸变模型，但在相邻几个点坐标值均异常条件下，矫正坐标能力下降，效率低。

同第一种方法相比，第二种方法效率高，鲁棒性强，对部分异常坐标具有较强的矫正能力，但会改变镜头畸变模型。

本文结合实际情况，选择第一种方法，分四段进行拟合直线。

三、小区域法。

小区域法是对区域内点的横坐标和纵坐标分别加权求和，所得值作为区域中心点的坐标。

该方法算法简单，易实现。

模板大小（区域大小）选择至关重要：太小则鲁棒性差；太大则破坏镜头畸变模型，未矫正图像边缘随之增宽。

另一个难点在于对各个相邻的检测点权值分配。

本文采用3×3模板2.B样条曲线B样条曲线采用分段（片）多项式样条的方法，解决了曲线段、曲面片之间的连续性问题，又使其形状具有可控制性，更适合交互设计的原理。

而且B样条的德布尔____考克斯递推公式具有计算稳定、方便的优点。

非均匀有理B样条（NURBS）曲线。

而后，在此基础上又发展了NURBS（非均匀有理B样条曲线），增加了曲线面的形状控制因素，在很大程度上使曲线、曲面设计的交互性进一步增加，设计更加简单可靠。

具体连续性要求：1）两曲线在P点重合，则两曲线在P 点处有C0，G0 连续；2）两曲线重合于点P，且P 点处的切矢量方向相同。

a）大小不等，则两曲线在P点处有G1 连续；b）大小相等，则两曲线在P点处有C1 连续；。

3）两曲线在点P 处已有C0、C1 连续性。

a）且在P 点处的曲率大小，方向相同，则两曲线在P 点处有C2 连续；b）且在P 点处的曲率方向相同，大小不等，则两曲线在P 点处有G2 连续；。

3. 两代数曲面的拼接设f1( x, y, z) , f2( x, y, z) 是需要拼接的曲面方程, 称之为主曲面方程。

h1( x) , h2( x) 分别为与之对应的辅助曲面, 一般是平面。

过渡曲面B 从S( f1, h1) 处开始过渡到S( f2, h2) , 并将曲面S( f1) 和S( f2) 光滑连接起来。

由同伦方法可知, 设X, Y 是两个弧式连通的Hausdorff 空间, 并且考虑X 到Y 的映射。

如果存在一个映射F: X×I→Y, 其中I 是单位区间0≤t≤1, 使得对于所有的x∈X 有F( x, 0) =f0( x) , F( x, 1) =f1( x) , 则说f0, f1: X→Y 是同伦的。

一般情况下, 被拼接曲面是个曲面或曲面片, 它们之间不存在相交问题。

将两需被接拼曲面考虑为两个Haus-dorff 空间( 如果有三个及以上的曲面需要拼接, 对它们两两考虑) 。

其中的过渡曲面( 即拼接曲面) 认为是两曲面对应点的弧式连通函数, 从而达到过渡曲面的连续性。

这样, 曲面的拼接问题转化为弧式连通函数的计算问题。

根据同伦方法中连续变换的理论, f1在 F 的作用下映射为f2, 辅助曲面h 1映射为h2。

这样, 构造如下方程:F( X, t) =tf1( X) +( 1- t) f2( X)H( X, t) =th1( X) +( 1- t) h2( X)( 1)将t 看作变元, X 作为参数。

上述过程构造包括两个单变元方程的方程组。

根据文献[7]可知, 代数曲面f, 辅助曲面h 与过渡曲面g 有如下定理:定理1 对于代数曲面f1, f2及其对应的过渡曲面h1, h2, 构造如下方程组tf1( X) +( 1- t) f2=0thk+11+( 1- t) hk+12=0利用Sylvester 结式消去变元t 得到的方程B( X) 就是满足Gk的过渡曲面。

证明上述方程可以变为f1- f2) t+f2=0( hk+11- hk+12) t+hk+1=0其中, t 为变元。

上述方程组由两个单变元方程构成, 虽然为线性方程, 仍利用Sylester 结式方法消去变元t 得到:B=f1- f2f2hk+11- hk+12hk+12=f1hk+12- f2hk+11因s 可以表示为B=f1hk+12- f2hk+11=af1+bhk+11其中a=hk+12, b=f2。

根据定理1 可知, 曲面s 沿曲线S( f1, h1) 与f1 Gk连续。

同理可证, 该曲面也与f2Gk连续。

因此, s 是f1和f2Gk连续的拼接曲面。

上述证明是在假定s 不可约的前提下。

若s可约, 不失一般性, 设s 可以表示为两个因式的乘积。

则s 必可表示为下述形式:B′=f1- f2f2hk+11- hk+12hk+12=w( x, y, z)f1′f2h1′hk+12=w( x, y, z)( f1hk+12- f2hk+11) =w( x, y, z)( c′f2+d′hk+12)根据定理1 可知, B′在拼接处与f2满足Gk连续。

在计算过程中, 稍微变形即可表示为关于f1和hk+1式形式。

因此, 有如下定理:定理3 如果所得结式B 可以分解为若干个因式的乘积,则其中必有一项B′是f1, f2分别沿曲线B( f1, h1) , B( f2, h2) Gk连续的拼接曲面。

随之而来的问题是, 这些因式项中究竟哪一项是拼接曲面的方程呢?根据定理1, 拼接曲面B∈I1∩I2 =〈f1, h1k+1〉∩〈f2,h2k+1〉。

为此, 引入Grobner 基的相关方法进一步去判定。

由Grobner 基性质可知, Grobner 基能够判断一个多项式是否属于一个多项式的生成理想。

首先, 计算两个代数曲面f1, f2及其对应辅助曲面的k+1 次方, 即h1k+1, h2k+1的生成理想I 1和I2的Grobner 基G1和G2。

然后, 计算s 中每个因式对G1和G2的规范形( normal form) nf1和nf2。

如果nf1和nf2均为0, 则说明该因式属于I1∩I2, 即可以表示成aifi+bi hk+1, i=1, 2。

只要其中之一不为0, 则说明该因式不属于理想中的元素, 将其筛除。

最终, 得到拼接曲面的代数方程。

和高斯法分配权值，进行实验。

三种方法优缺点：去极值求均值法对每一行和每一列检测点的坐标值都需多次循环才能矫正，算法耗时大，但算法稳定，即使存在一些值过大或过小，都能矫正；直线拟合法和小区域法耗时小，在存在一些太大或太小的异常值时，会影响其它正常检测点的坐标值，使得原本正常检测点的坐标误增大。

本文选用了去极值求均值法。

下表是用三种方法对存在异常检测点的一行标定数据矫正前后的检测点间距方差数据。

造成小区域法检测点间距方差和过大的原因是个别异常值过大，使得小区域内检测点坐标均值较大，相应地检测点间距方差和增大。

中采用的窗口投票机制实现窗口匹配方法，在符号完全解码的条件下，该方法能正确地实现窗口匹配。

一旦有符号被误别，2×2 窗口唯一性遭到破坏，窗口投标机制匹配方法不但会误匹配误识别符号，而且可能将邻近误识别的符号其它正确识别符号误匹配。

尤其是位于模板边界或识别区域边界上的符20号，因为所在的窗口少，可信度低。

图 2.8 为窗口投标机制误匹配局部图，符号上第一个数字表示符号所在的行，第二个和第三个表符号所在的列。

从图 2.8 可以看到，第三行第四十六列的符号没有匹配出来，而将第三行第四十七列的符号误匹配为第三行第四十六列的符号。

同样的情况也发生第八行第四十八列和第九行第四十五列的符号上。

（1）可信窗口。

可信窗口是以该符号为中的5×5 窗口内所有3×3 窗口都与模板内某个符号为中心5×5 窗口内所有3×3 窗口一致，那么以该符号为中心的3×3 窗口为可信窗口，该符号则是可信窗口中心。

存在误识别符号的窗口成为可信窗口只有当整个5×5窗口内所有符号都被误别为另一个5×5窗口内的符号的条件下才会发生，这种可能性极小，可以忽略不计。

当某个符号被误识别时，它所在的5×5 窗口内至少存在 4 个唯一的2×2 窗口，这些窗口的唯一性并没有遭到破坏，即使被误识别符号所在的窗口都能匹配，其它2×2 窗口也不能与误识别符号邻近的窗口实现匹配，使得误识别符号所在的窗口无法成为可信窗口。

当一个窗口为可信窗口时，窗口内所有的符号均与标准模板上的符号实现匹配，即找到该符号在标准模板上行号和列号。

（2）扩展可信窗口。

假定可信窗口中心符号Si,j在标准模板上的行号为p，列号为q，那么以符号Si,j-1为中心的3×3 窗口中的符号Si,j-2标准模板上的行号172.1.2 矫正标定数据的算法检测点坐标由于误识别、误匹配等因素影响，检测点的世界坐标存在很大的误差。

通过求相邻检测点距离均值估计检测点世界坐标方法仍不能很好地矫正标定数据。

如果点P 坐标与正确检测点坐标存在很大误差，误差对检测点距离值影响较大，通过本行检测点距离均值估计点P 世界坐标，估计值与正确值仍存在较大误差。

可见均值方法不适合矫正光线方程。

此外，检测点世界坐标异常是通过相邻检测点世界坐标间距离过大或过小发现，这只能说明相邻两个检测点中至少一个异常，并不能确定是一个还是两个检测点都异常，既使只有一个检测点异常，也不能确定是其中哪一检测点。

在这种情况下如果从第一根光线开始矫正，就可能因为第一个检测点世界坐标误差过大而错误地改变其它正常检测点世界坐标，不仅加大算法时间复杂度，还使得矫正的结果更不准确。