高三数学复习月考试题二理新人教A版

成都石室中学高2014届2013～2014学年度8月月考理科数学一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知幂函数)(x f y =的图象经过点(16,4)，则)641(f 的值为( ) A ．3 B ．13C ．18D ．142．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤,B ={}0x x <,则A B =U （ ）A ．(,0-∞）B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞3．函数1x 11y --=（ ）A ．在),1(∞+ 内单调递增B ．在),1(∞+ 内单调递减C ．在),1(∞+- 内单调递增D ．在),1(∞+- 内单调递减4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A ．()x f x x=B ．()()2lg1f x x x =+-C ．()x xx x e e f x e e --+=-D ．()2211x f x x -=+5．“22a b>”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<7．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=， 若实数a 、b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<8．若函数()()1x f x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e >-，都存在x R ∈，使得()f x m <；B ．对任意21m e <-，都存在x R ∈，使得()f x m <； C ．对任意21m e <-，方程()f x m =只有一个实根； D ．对任意21m e>-，方程()f x m =总有两个实根．9．直线l ：30x y +-=分别与函数3xy =和3log y x =的交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122()y y +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．不确定10．已知函数()lg f x x =.若0a b <<，且()()f a f b =，则23a b +的取值范围是（ ）A ．()+∞ B ．)⎡+∞⎣Ｃ．[)5,+∞ D ．()5,+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．11．计算121(lg lg 25)100=4--÷ _.12．设函数()()x x f x x e ae -=-()x R ∈是偶函数，则实数a = _______.13．已知函数22, 0(), 0x a x f x x ax a x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____ .14.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________.15．设)(x f y =为R 上的奇函数，)(x g y =为R 上的偶函数，且)1()(+=x f x g ，则(2014)f = ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分)设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =，3123b a a a =++,求20T . 17．（本小题满分12分) 已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （Ⅰ）判断函数()x f 的奇偶性；（Ⅱ）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin sin sin cos21A B B C B ++=. (Ⅰ)求证: a 、b 、c 成等差数列； (Ⅱ) 若23C π=，求ab的值.19．（本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，090BAD ADC ∠=∠=，112AB AD CD ===，2PD =．（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； （Ⅱ）求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ） 在线段PC （不包括端点）上是否存在一点Q ，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π？20.（本小题满分13分)已知函数)()(2R a ax e x f x∈-=.（Ⅰ）求函数)(x f 在点()0,1P 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，试求a 的取值范围.21．（本小题满分14分) 设()ln f x x =．（Ⅰ）若[)1,x ∀∈+∞，()1f x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭恒成立，求m 的范围； （Ⅱ）求证：421ln 2141ni in i=+<-∑()n N +∈．成都石室中学高2014届2013～2014学年度8月月考试题理科数学答案一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分． 11．20- 12．113． 4a > 14. 87a ≤-. 15．0三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分)设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =，3123b a a a =++,求20T .解: (Ⅰ)13n n a -=，……2分312n n S -=；……6分(Ⅱ)13b =，313b =，312b b d -=，5d =，……8分202019203510102T ⨯=⨯+⨯=.……12分17．（本小题满分12分) 已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （Ⅰ）判断函数()x f 的奇偶性；（Ⅱ）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围．解: (Ⅰ)当0a =时，()2(0)f x x x =≠，()()f x f x =-，()x f 为偶函数；……2分当0a ≠时，()11f a =+，()11f a-=-Q ()()1120f f +-=≠，∴()x f 不是奇函数； ……4分Q ()()1120f f a --=≠，∴()x f 不是偶函数．……6分（Ⅱ）Q ()x f 在区间[)+∞,2是增函数，∴对[)2,x ∀∈+∞，()220af x x x'=-≥恒成立，……9分 ∴对[)2,x ∀∈+∞，32a x ≤恒成立，∴(],16a ∈-∞……12分18．（本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin sin sin cos21A B B C B ++=. (Ⅰ)求证: a 、b 、c 成等差数列； (Ⅱ) 若23C π=，求ab的值. 解: (Ⅰ)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ……3分因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB ，……3分再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列 ；……6分(Ⅱ)由余弦定理得2222(2)2cos 3b a a b ab π-=+-……9分化简得35a b = ……12分 19．（本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，090BAD ADC ∠=∠=，112AB AD CD ===，2PD =．（Ⅰ）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； （Ⅱ）求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ） 在线段PC （包括端点）上是否存在一点Q ，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π？ 解： （Ⅰ）证明：连结PC ，交DE 与N ，连结MN ，∵△PAC 中，M ，N 分别为两腰PA ，PC 的中点， ∴MN ∥AC…（1分）因为MN ⊂面MDC ，又AC ⊄面MDC ，所以AC ∥平面MDC…（3分）（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，又PD⊂平面PDCE，∴AD⊥PD．…（4分）以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，设面PBC的法向量=（x，y，1），应有即：解得：，所以…（6分）设PE与PBC所成角的大小为θ，∵∴，…（8分）（Ⅲ）解：设设平面QAD的法向量为=（x′，y′，1），即：…（11分）解得：，所以…（10分）∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．∴，32=λ 所以，PC 上存在点Q 满足条件，…（12分）20. （本小题满分13分)已知函数)()(2R a ax e x f x∈-=.（Ⅰ）求函数)(x f 在点()0,1P 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，试求a 的取值范围.解：（Ⅰ）ax e x f x2)(-='Θ，(0)1f '∴=…………………3分所以)(x f 在点)1,0(P 处的切线方程为x f f y )0()0('=-，即1+=x y .……5分 （Ⅱ）由题意02)(≥-='ax e x f x恒成立………………7分0>x 时x e a x ≤2，令x e x g x=)(，则2)1()(xx e x g x -='， 由0)(='x g 得1=x ，1>x 时0)(>'x g ，1<x 时0)(<'x g .e g x g ==∴)1()(min ,2ea ≤∴；…………… 9分 0<x 时x e a x≥2，0<xe x Θ，02≥∴a 则0≥a ；…………… 11分又0=a 0)(≥='xe xf 恒成立；……………… 12分 综上，若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，则20ea ≤≤.………………13分21．（本小题满分14分) 设()ln f x x =．（Ⅰ）若[)1,x ∀∈+∞，()1f x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭恒成立，求m 的范围； （Ⅱ）求证：421ln 2141ni in i=+<-∑()n N +∈．解：（Ⅰ）[)1,x ∀∈+∞，1ln x m x x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭设()1ln g x x m x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，即[)1,x ∀∈+∞，()0g x ≤． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）①若m≤0，g'（x ）＞0，g （x ）≥g（1）=0，这与题设g （x ）≤0矛盾．﹣﹣﹣（4分）②若m ＞0方程﹣mx 2+x ﹣m=0的判别式△=1﹣4m 2当△≤0，即时，g'（x ）≤0．∴g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴g （x ）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 当时，方程﹣mx 2+x ﹣m=0，其根，，当x ∈（1，x 2），g'（x ）＞0，g （x ）单调递增，g （x ）＞g （1）=0，与题设矛盾． 综上所述，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ＞1时，时，成立．不妨令所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）累加可得即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。

湖北省武汉市部分学校2013届高三12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1B．0C．﹣1 D．1或﹣1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．解答：解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）2为纯虚数的概率为（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：按多项式乘法运算法则展开，将（m+ni）2化简为a+bi（a，b∈R）的形式，要求实部为0，虚部不为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．解答：解：因为（m+ni）2=m2﹣n2+2mni，根据复数的基本概念，有实部为0，且虚部显然不为0，所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以P==，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．3．（5分）（2008•西城区一模）设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）A．y=﹣3x B．y=﹣2x C．y=3x D．y=2x考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函数，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴k=f′（0）=﹣3，∴切线方程为y=﹣3x．故选A．点评：本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，难度中等．4．（5分）（2011•浙江模拟）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：计算题．分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s 的值．解答：解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．5．（5分）（2012•广安二模）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．6．（5分）（2010•济南一模）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中不正确的是（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型．分析：由面面平行及线面垂直的几何特征，可判断A的真假；根据三垂线定理，我们可判断B的真假；根据面面平行的判定理，可判断C的真假，根据线面平行，线面垂直的几何特征可判断D的真假；进而得到答案．解答：解：由a∥α，b⊥a可得的位置关系有：b∥α，b⊂α，b与α相交不一定垂直，所以答案D不正确．故选D点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判断、直线与平面平行的判断，其中掌握空间直线与平面位置关系的判定、性质、几何特征是解答本题的关键．7．（5分）（2013•铁岭模拟）已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；压轴题．分析：先设点C的坐标，根据题意和向量的坐标运算，分别用λ表示x和y，再由向量的数量积的坐标表示出∠AOC的余弦值，再求出λ的值．解答：解：设点C的坐标是（x，y），则由得，（x，y）=﹣2（1，0）+λ（1，）=（﹣2+λ，），∴x=﹣2+λ，y=，又∵∠AOC=120°，∴cos120°=，即﹣=，解得，λ=1．故选B．点评：本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用，即通过条件列出关系式，利用向量相等的坐标等价条件进行求值．8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=﹣2的距离之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求出A，B到准线的距离之和的最小值，进而可得A，B到直线x=﹣2的距离之和的最小值，利用条件可得结论．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则A，B到直线x=﹣1的距离之和x1+x2+2设直线方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，则y2=4（my+1），即y2﹣4my﹣4=0，∴x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2∴x1+x2+2=4m2+4≥4∴A，B到直线x=﹣2的距离之和x1+x2+2+2≥6＞5∴过焦点使得到直线x=﹣2的距离之和等于5的直线不存在故选D．点评：本题考查抛物线的定义，考查过焦点弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）（2012•黄山模拟）某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x 1 2 3 4所减分数y 4.5 4 3 2.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25考点：回归分析的初步应用．专题：计算题．分析：先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．解答：解：先求样本中心点，，由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意故选D．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3D．2考点：数列与函数的综合；函数的周期性．专题：综合题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，∴a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知把向量﹦（1，1）向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量，则的坐标为（1，1）．考点：平面向量的坐标运算．专题：阅读型．分析：题目给出了一个平面向量，向量的坐标，指的是以原点为起点的向量终点的坐标，把向量平移后，其起点和终点都随着进行了移动，平移后向量的坐标仍然等于平移后终点的坐标减去起点的坐标．也可直接根据向量相等的概念，向量平移后其长度和方向均未改变，平移后的向量和原向量是相等的向量，坐标不变．解答：解：法一、如图，设，因为，所以O（0，0），A（1，1），向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到起点O′（2，﹣1），终点A′（3，0），即=（1，1）．故答案为（1，1）．法二、根据向量相等的概念，向量在平面内无论如何平移，只要平移过程中模不变，且方向不发生变化，得到的向量与原向量都是相等的向量，相等的向量坐标相等，所以，向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到的向量．故答案为（1，1）．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量相等的概念，向量的坐标，指的是以原点为起点的向量的终点坐标，此题是基础题．12．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是6+（+2）πcm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是一个圆锥的一半，高为3，底面半径为2，如图所示．据此即可计算出表面积．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个圆锥的一半，高为3，底面半径为2，如图所示．∴S表面积==．故答案为．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．13．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B两点，则AB的最小值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．解答：解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小．Q的坐标由确定，Q（1，3），OQ==，所以AB=2=4．故答案为：4．点评：本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键．14．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．解答：解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．15．（5分）（2012•天门模拟）（1）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过点C 作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 4 ．（2）在平面直角坐标系下，曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若曲线C1、C2有公共点，则实数a的取值范围为[，] ．考点：圆的参数方程；弦切角；与圆有关的比例线段；直线的参数方程．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得，∠DCA=60°，所以，DA=6．由切割线定理，求得，可得AE=AD﹣DE 的值．（2）把两曲线的参数方程化为普通方程，可得两曲线分别为直线和园，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得，∠DCA=60°，所以，DA=6．由切割线定理，得DC2=DE•DA，所以，因此AE=6﹣2=4．故答案为 4．（2）化为普通方程，得C1：x+2y﹣2a=0，．由题意得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，即，解得，故答案为[，]．点评：本题主要考查直线和圆的参数方程、与圆有关的比例线段，绝对值不灯似的解法，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（2012•洛阳模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b﹣c，cosC）且∥．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：（I）根据向量平行的充要条件列式：2b﹣c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=，从而得到sinA的值；（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得sin（2C﹣），再根据A=算出C的范围，得到sin（2C﹣）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．解答：解：（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b﹣c），根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴2cosAsinC﹣sinC=0，即sinC（2cosA﹣1）=0∵C是三角形内角，sinC≠0∴2cosA﹣1=0，可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=，得sinA=…（5分）（II）==2cosC（sinC﹣cosC）+1=sin2C﹣cos2C，∴=sin（2C﹣），∵A=，得C∈（0，），∴2C﹣∈（﹣，），可得﹣＜sin（2C﹣）≤1，∴﹣1＜sin（2C﹣），即三角函数式的取值范围是（﹣1，]．…（11分）点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．17．（12分）（2012•钟祥市模拟）在数列{a n}中，．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．数列与不等式的综合；数列递推式．考点：专计算题．题：分析：（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式想减可得=，求得 a2=1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n ．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解解：（1）当n≥2时，由a1=1 及①答：可得②．两式想减可得 na n =﹣，化简可得=，∴a2=1．∴••…==×××…×==．综上可得，．…（6分）（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…（8分）则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…（12分）点评： 本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题． 18．（12分）如图，在四棱锥ABCD ﹣PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1． （Ⅰ）求PD 与BC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC ；（Ⅲ）求二面角A ﹣PC ﹣D 的大小．考点： 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）取的AB 中点H ，易证∠PDH 为PD 与BC 所成角，解三角形可得； （2）由已知结合线面垂直的判定可得：（3）坐标法求得平面的法向量，由向量的夹角可得二面角的大小． 解答：（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH∥CD，且BD=CD …（1分） 所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC∥DH 所以∠PDH 为PD 与BC 所成角…（2分）因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60°…（4分）（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形，∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…（6分）又PA平面ABCD∴PA⊥BC …（7分）∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …（8分）（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），∴=（0，0，1），=（1，1，﹣1）…（9分）设m=（a，b，c）为平面PAC的一个法向量，则，即设a=1，则b=﹣1，∴m=（1，﹣1，0）…（10分）同理设n=（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，求得n=（1，1，1）…（11分）∴所以二面角A﹣PC﹣D为60°…（12分）点评：本题考查立体几何的综合问题，涉及线面角，线面垂直和二面角，属中档题．19．（12分）（2012•天门模拟）某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）；（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率；（II）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为；若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，利用古典事件的概率公式及组合数即可求得；（II）由于学生能默写对的单词数ξ，利用随机变量的定义及题意则随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，在利用独立事件同时发生的概率公式即可求得每一个随见变量取值下的概率，并利用随机变量的定义求出分布列，比北方应用分布列借助期望定义求出期望．解答：解：（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：P（A）=；（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，所以随机变量的分布列为：故随机变量的期望Eξ==．点评：此题重点在与考查学生的理解题意的能力，还考查了古典型随机事件的概率公式及组合数，另外还考查了随机变量的定义及其分布列，此外还考查了随机变量的期望．20．（13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求析：解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求解（1）解：由题意知，，即b=答：又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2分）（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0（4分）设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴（6分）∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E （x 2，﹣y 2） ∴直线AE 的方程为令y=0可得x=∵y 1=k （x 1﹣4），y 2=k （x 2﹣4）∴==1∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）点评： 本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆相交关系的应用，方程思想的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用．21．（14分）（2012•黄州区模拟）（理）（1）证明不等式：ln （1+x ）＜（x ＞0）．（2）已知函数f （x ）=ln （1+x ）﹣在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围．（3）若关于x 的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b 的最大值．考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 综合题． 分析：（1）令h （x ）=ln （1+x ）﹣，证明h （x ）在（0，+∞）上单调递减，即h （x ）＜h （0），从而可得结论；（2）求导函数，令f′（x ）=0，可得x=0或x=a 2﹣2a ，根据函数f （x ）=ln （1+x ）﹣在（0，+∞）上单调递增，可得f′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，从而可求实数a 的取值范围； （3）关于x 的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，当x ＞0时，b≤1+﹣，构造函数g （x ）=1+﹣，利用ln （1+x ）＜（x ＞0），可得g （x ）在（0，+∞）上单调增，从而可求实数b 的最大值．解答：（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，则h′（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0∴ln（1+x）﹣＜0∴ln（1+x）＜（x＞0）．（2）解：求导函数，可得f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=0或x=a2﹣2a，∵函数f（x）=ln（1+x）﹣在（0，+∞）上单调递增∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立∴a2﹣2a≤0∵f（x）在（0，+∞）上有意义∴a≥0∴0≤a≤2；（3）解：关于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，∵0，∴b≥0当x＞0时，b≤1+﹣构造函数g（x）=1+﹣，则由（1）知，ln（1+x）＜（x＞0）．以e x代1+x，可得，∵x＞0，∴﹣＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调增当x＞0且x→0时，g（x）→1∴b≤1∴实数b的最大值为1点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的构造，属于中档题．。

(金榜教程)2022高三总复习人教A 版数学（理）配套练习：4-5第2讲(时刻：45分钟 分值：100分)一、选择题1. 若|a －c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )A. a<b ＋cB. a>c －bC. |a|>|b|－|c|D. |a|<|b|＋|c|答案：D解析：|a|－|c|≤|a －c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|.故选D.2. [2021·鸡西模拟]若实数x 、y 满足1x2＋1y2＝1，则x2＋2y2有( )A. 最大值3＋22 B . 最小值3＋22C. 最大值6D. 最小值6答案：B解析：由题意知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·(1x2＋1y2)＝3＋2y2x2＋x2y2≥3＋22，当且仅当x2y2＝2y2x2时，等号成立，故选B.3. [2021·广东调研]已知a ，b 为实数，且a>0，b>0.则(a ＋b ＋1a )(a2＋1b ＋1a2)的最小值为( )A. 7 B . 8C. 9 D . 10答案：C解析：因为a>0，b>0， 因此a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a ＝33b>0， ① 同理可证：a2＋1b ＋1a2≥331b >0. ②由①②及不等式的性质得 (a ＋b ＋1a )(a2＋1b ＋1a2)≥33b ×331b ＝9.4. [2021·柳州模拟]已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( )A. 12 B . 1C. 32 D . 2答案：C 解析：2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a ＋2a ≥ 22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32. 5. [2021·金版原创]若q>0且q ≠1，m ，n ∈N*，则1＋qm ＋n 与qm ＋qn 的大小关系是( )A. 1＋qm ＋n>qm ＋qnB. 1＋qm ＋n<qm ＋qnC. 1＋qm ＋n ＝qm ＋qnD. 不能确定答案：A解析：1＋qm ＋n －qm －qn ＝qm(qn －1)－(qn －1)＝(qn －1)(qm －1)，①当0<q<1时，qn<1，qm<1.②当q>1时，qn>1，qm>1.∴(qn －1)(qm －1)>0，∴1＋qm ＋n>qm ＋qn ，故选A.6. [2021·湖北高考]设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝( ) A. 14 B . 13C. 12 D . 34答案：C解析：由柯西不等式得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax ＋by ＋cz)2，而由已知有(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝10×40＝202＝(ax ＋by ＋cz)2，故a x ＝b y ＝c z ＝k ，代入得a2＋b2＋c2＝k2(x2＋y2＋z2)＝40k2＝10，解得k ＝12(舍去负值)，因此a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝12.故选C. 二、填空题7. 函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________．答案：3解析：y2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x)2＋(2x ＋1)2]＝3×3，∴y ≤3.8. [2021·许昌模拟]关于任意实数a 、b ，若|a －b|≤1，|2a －1|≤1，则|4a －3b ＋2|的最大值为________．答案：6解析：因为|a －b|≤1，|2a －1|≤1，因此|3a －3b|≤3，|a －12|≤12，因此|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b)＋(a －12)＋52|≤|3a －3b|＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6.9. 已知x ，y ，z 为正实数，且1x ＋1y ＋1z ＝1，则x ＋4y ＋9z 的最小值为________．答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得x ＋4y ＋9z ＝[(x)2＋(2y)2＋(3z)2]·[(1x )2＋(1y )2＋(1z )2]≥(x ·1x ＋2y ·1y ＋3z ·1z)2＝36. 当且仅当x ＝2y ＝3z 时等号成立，现在x ＝6，y ＝3，z ＝2.因此当x ＝6，y ＝3，z ＝2时，x ＋4y ＋9z 取得最小值36.解法二：∵1x ＋1y ＋1z ＝1，∴x ＋4y ＋9z ＝(x ＋4y ＋9z)(1x ＋1y ＋1z )， 即x ＋4y ＋9z ＝14＋4y x ＋9z x ＋x y ＋9z y ＋x z ＋4y z ≥14＋24y x ·x y ＋29z x ·x z ＋29z y ·4y z ＝36.(当且仅当x ＝2y ＝3z 时取“＝”)，即x ＝6，y ＝3，z ＝2时，(x ＋4y ＋9z)min ＝36.故填36. 三、解答题10. 已知a>0，证明： a2＋1a2－2≥a ＋1a －2.解：要证 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只要证 a2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋2，因为a>0，因此只要证( a2＋1a2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋4＋22(a ＋1a )，故只需证 2 a2＋1a2≥a ＋1a ，即证a 2＋1a2≥2，而由差不多不等式可知a2＋1a2≥2成立．故 a2＋1a2－2≥a ＋1a －2.11. [2021·正定模拟]设正有理数x 是3的一个近似值，令y ＝1＋21＋x.(1)若x>3，求证：y<3； (2)求证：y 比x 更接近于 3. 证明：(1)y －3＝1＋21＋x －3＝3－3＋x －3x 1＋x ＝1－3x －31＋x， ∵x>3，∴x －3>0，而1－3<0，∴y< 3.(2)∵|y －3|－|x －3| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3x －31＋x －|x －3| ＝|x －3|(3－11＋x －1)＝|x －3|(3－2－x 1＋x)， ∵x>0，3－2<0，|x －3|>0，∴|y －3|－|x －3|<0，即|y －3|<|x －3|.∴y 比x 更接近于 3.12. [2021·南昌调研]已知x ＋y>0，且xy ≠0.(1)求证：x3＋y3≥x2y ＋y2x ；(2)假如x y2＋y x2≥m 2(1x ＋1y )恒成立，试求实数m 的取值范畴或值．解：(1)∵x3＋y3－(x2y ＋y2x)＝x2(x －y)－y2(x －y)＝(x ＋y)(x －y)2，且x ＋y>0，(x －y)2≥0，∴x3＋y3－(x2y ＋y2x)≥0.∴x3＋y3≥x2y ＋y2x.(2)(ⅰ)若xy<0，则x y2＋y x2≥m 2(1x ＋1y )等价于m 2≥x3＋y3xy x ＋y ＝x2－xy ＋y2xy ， 又∵x2－xy ＋y2xy ＝x ＋y 2－3xy xy <－3xy xy ＝－3， 即x3＋y3xy x ＋y <－3，∴m>－6； (ⅱ)若xy>0，则x y2＋y x2≥m 2(1x ＋1y )等价于m 2≤x3＋y3xy x ＋y ＝x2－xy ＋y2xy ， 又∵x2－xy ＋y2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x3＋y3xy x ＋y≥1，∴m ≤2. 综上所述，实数m 的取值范畴是(－6,2]．。

山大华特卧龙学校复习班月考数学（理科）试题三一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是A ．),3[+∞ B ．),3(+∞ C ．]1,(--∞ D ．)1,(--∞2.设m ,n 是两条不同的直线, α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ①若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是 A ．①③ B．①④ C ．②③④ D ．②③3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为A．m B．m C．mD.2m 4．下列命题中为真命题的是 A ．若21,0≥+≠xx x 则 B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交 C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题p 的否定为：“2R,10x x x ∀∈--≤”5．设23log (),0()2(1),0xx t x f x t x ⎧+<=⎨+≥⎩，且(1)6,f =则((2))f f -的值为 A ．18 B ．12 C ．112 D ．1186.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图 中半圆的半径为1，则该几何体的体积为 A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π-BAC7. 若21(0,),sin cos 2,tan 24παααα∈+==且则A.28.已知变量x ，y 满足约束条件y 10,x y 0,x y 20,-≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则x y z 24=⋅的最大值为A.16B.32C.64D.29.函数ln x xx xe e y e e---=+的图象大致为A. B. C D.10. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则32a b +的最小值为 A 256B 83C 113 D411、如图1所示，正△ABC 中，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、BC 的中点.现将△ACD 沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD （如图2），则下列结论中不正确的是A.AB//平面DEFB.CD ⊥平面ABDC.EF ⊥平面ACDD.V 三棱锥C —ABD =4V 三棱锥C —DEF12.设函数()1121++⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f x，0A 为坐标原点，n A 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n ∈N *）的点，向量∑=-=nk k k nA A a 11，向量)0,1(=i ，设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，满足15tan 3nk k θ=<∑的最大整数n 是 A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.已知函数()|1||23|,f x x x =--+则f （x ）≤1的解是 。