九年级数学中考复习分类专题：勾股定理实际应用(解析)

原型
【等量关系】BC为公共边
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变式
【等量关系】如图①,BF+FC+CE=BE;
如图②,BC+CE=BE;
如图③,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE
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【针对训练】
8.(2024·江西中考)图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建
筑,其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图2,“大碗”的主
2.(2024·济宁三模)如图,已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2,如果它把物
3
体送到离地面3米高的地方,那么物体所经过的路程为_________米.
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3.(2024·淄博二模)如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠
在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面
∠AFE=58°,BF的延长线交AD于点E,求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一
位).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
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【解析】根据题意可知四边形BEDC是矩形,
∴DE=BC=1.5 m.


∵tan∠ABE= ,tan∠AFE= ,
尺.(假设秋千的绳索拉的很直)
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(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA的长度;
(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放,秋千摆动到另一侧与竖
直方向夹角为β的地方OA″,两次位置的高度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千
绳索OA的长度?如果能,请用含α,β和h的式子表示;如果不能,请说明理由.

利用勾股定理求最短路径问题【考法导图】解题技巧：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。

1◎类型1台阶中的最值问题1(2017秋·山东济南·八年级济南外国语学校校考期中)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是()A.12B.13C.14D.15【答案】B【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．【详解】将台阶展开，如下图，因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，所以AB=13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．2(2023·全国·九年级专题练习)一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程为()A.481B.25C.30D.35【答案】B【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长AB．由勾股定理得：AB2=202+2+3×32=252，解得：AB=25．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3(2020·山东淄博·统考一模)地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？()A.50cmB.100cmC.150cmD.200cm【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，则斜边=102+102=102，∴长方形地毯的长为：10×102=1002≈141.4cm，故选C．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，等腰直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．4(2023春·八年级课时练习)如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为()A.5B.3C.13D.25【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=25，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．2◎类型2正方体中的最值问题1(2023·江苏常州·校考一模)如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是()A.3B.2C.5D.3【答案】C【分析】根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将正方体展开，则AC=2，BC=1，∠ACB=90°，∴由勾股定理得AB=AC2+BC2=5，∴需要爬行的最短路程是5，故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键．2(2023秋·陕西西安·八年级统考期末)如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为()A.10B.213C.13D.25【答案】C【详解】先把图中展开，根据两点间线段距离最短，再根据勾股定理求出BM的长即可；【解答】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，∵正方体的棱长为2，M是EH的中点，∴∠Q=90°，MQ=2，BQ=1+2=3，由勾股定理得BM=22+32=13，故选：C．【点睛】本题考查两点间线段距离最短及勾股定理，解题的关键是理解最短路线．3(2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习)如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是()A.10cmB.4cmC.17cmD.5cm【答案】C【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，【详解】解：如图，它运动的最短路程AB=(2+2)2+222=17(cm)，故选：C．【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，掌握两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出是解题的关键．4(2023春·北京大兴·八年级北京市第八中学大兴分校校考阶段练习)如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为()A.23B.13C.14D.17【答案】B【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，∴AD=2，MD=3，∴AM=22+32=13，故选：B．【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．3◎类型3长方体中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为()A.3米B.4米C.5米D.6米【答案】C【分析】分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可．【详解】解：由题意，有以下三个路径：①如图，路径一：则这只昆虫爬行的路程为22+(2+3)2=29(米)；②如图，路径二：则这只昆虫爬行的路程为32+(2+2)2=5(米)；③如图，路径三：则这只昆虫爬行的路程为22+(3+2)2=29(米)；因为29>5，所以这只昆虫爬行的最短路程为5米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键．2(2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为3cm，高为5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是()A.12cmB.74cmC.80cmD.90cm【答案】B【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可.【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=(3+4)2+52=74 cm；如图2所示，(3+5)2+42=45cm，如图3所示，32+(5+4)2=310cm，∵74<45<310，∴蚂蚁所行的最短路线为74cm.【点睛】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题.3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A 出发，沿棱柱外表面到C′点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()A.229cmB.14cmC.(213+4)cmD.10cm【答案】D【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：如图1中，AC =AB2+BC 2=42+102=116=229，如图2中，AC =AC2+CC 2=82+62=10，∵10<229，∴爬行的最短路径是10cm．故选:D【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．4(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点A爬行到点B，则爬行的最短距离是()A.130B.126C.10D.86【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是8和6，则所走的最短线段是82+62=10；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是11和3，所以走的最短线段是112+32=130；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和5，所以走的最短线段是92+52=106；∵10<106<130，三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程=10，故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．4◎类型4圆柱(锥)中的最值问题1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，圆柱的底面半径为6πcm ，AC 是底面圆的直径，点P 是BC 上一点，且PC =4cm ，一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是()A.45cmB.213cmC.56cmD.10cm【答案】B【分析】把圆柱侧面展开后，连接AP ．由已知可求得圆柱底面圆的周长，从而可求得周长的一半，由勾股定理即可计算出AP 的长．【详解】侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面半径为6cm，π∴圆柱的底面周长为12cm，∴AC′=6cm．在Rt△ACP中，AP=42+62=213(cm)．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是把圆柱展开，即把空间问题转化为平面问题来解决，体现了转化思想．2(2022春·全国·八年级假期作业)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．A.15B.20C.18D.30【答案】A【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示：则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm，∴DE=DH-EH=12-4=8cm，∴BE=DE+DB=8+4=12cm，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC=BE2+CE2=122+92=15cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm，故选;：A．【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．3(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离()A.261cmB.234cmC.413cmD.10cm【答案】D【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：BC=10cm，AB=12×12=6cm，CE=2cm，∴BE=BC-CE=8cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AC=AB2+BE2=62+82=10cm，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键．4(2019·全国·八年级专题练习)如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长12m，高5m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要()A.12mB.13mC.17mD.20m【答案】B【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，利用勾股定理求出AB的长即可得到答案．【详解】解：将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，∴由勾股定理可得：AB=AC2+BC2=52+122=169=13m，∴梯子最短需要13m．故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度．。

勾股定理练习选择题：1. 观察下列几组数据：⑴8, 15, 17;⑵7, 12, 15; （3）12, 15, 20;⑷7, 24,其中能作为直角三角形的三边长的有（）组A. 1B. 2C. 3D. 42. 三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）A. 6B.4C. 64D. 83. 已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边为（D.不能确定A. 13B. 119C.13 或.1194. 下列命题①如果a b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12,那么斜边必是13;③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c, （a>b=c）,那么a : b2: c2=2 ：1 ：1。

其中正确的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④5. 三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab则这个三角形是（）A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形.6. 已知等腰三角形的腰长为10, —腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、80C、40 或360D、80 或360解答题:C E EG2. (1在数轴上作出表示 、2的点.(2)在第(1)的基础上分别作出表示1-和、2 +1的点.3•有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4尺， 求竹竿高与门高。

3. —架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，(1)这个梯子的顶端 距地面有多高？ （ 2）如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?1如图1在单位正方形组成的网格图中标有一个直角三角形三边的线段是()AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成(A )CD 、EF 、GH(C ) AB 、CD 、GH(B )AB 、EF 、GH (D )AB 、CD 、EF4. 如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。

A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
7．如图，高速公路上有 A、B 两点相距 10km，C、D 为两村庄，已知 DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB 于 A， CB⊥AB 于 B，现要在 AB 上建一个服务站 E，使得 C、D 两村庄到 E 站的距离相等，则 EB 的长是（ ） km
A．4
B．5
A．
B．
C．
D．
3．如图，有一个水池，水面是一边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺．如 果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10
B．12
C．13
D．14
4．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广 几何？”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D，C 两点到门槛 AB 的距离为 1 尺（1 尺＝ 10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（ ）
C．6
D．
8．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是 2.0 米，高 分别为 2.8 米，3.1 米，3.4 米，3.7 米，则能通过该工厂厂门的车辆数是（ ）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AC＝10km，BC＝24km，则 M、C 两点之间的距离为（ ）
22．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 AB＝AC，由于某种 原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同 一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB＝1.5 千米，CH＝1.2 千米，HB＝0.9 千米． （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？