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2017-2018学年高中数学必修2北师大版 平面直角坐标系中的距离公式 教案

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教学设计
1．5平面直角坐标系中的距离公式
第1课时
整体设计
教学分析
在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．
三维目标
1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．
2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点
教学重点：①平面内两点间的距离公式．
②如何建立适当的直角坐标系．
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？
②求B(3，4)到原点的距离.
③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.
④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).
活动：①可由图形观察得出．
②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．
图1 图2
③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.
在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.
因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，
所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.
由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！
讨论结果：①|AB|＝|x B－x A|，|CD|＝|y D－y C|.
②B到原点距离是5.
③|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
④略．
应用示例
思路1
例1 求下列两点间的距离：
(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．
解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；
(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.
例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭
⎫12，32，试判断△ABC 的形状．
图3
解：如图3，因为
|BC |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1＋34
＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭
⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，
所以△ABC 是直角三角形．
例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形． 解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.
图4
设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．
因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，
所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .
所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．
点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．
思路2
例1 如图5，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(－4,8)，另一个端点B的纵坐标点3，求这个端点的横坐标，并画出这个点．
图5 图6
解：设B点坐标为(x,3)，根据|AB|＝13，
得(x＋4)2＋(3－8)2＝132，解得x＝8或x＝－16.画点B或B′(如图6)．
点评：学生先找点，有可能找不全丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至：到A(－4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)，是以A点为圆心，13为半径的圆上与y＝3的交点，应交出两个点．
变式训练
已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．
解：设所求点P(x,0)，于是有|P A|＝(x＋1)2＋(0－2)2，
|PB|＝(x－2)2＋(0－7)2.
由|P A|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
即所求点P的坐标为(1,0)．
所以|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.
例2 求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．
证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．。

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2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)

2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)


使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于
直线对称的问题，而解决这类问题的方法是设对称 点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．
[通一类] 4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各
找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：设 M 关于 l 的对称点 M1(a，b)， b－5 1 × ＝－1， a－3 2 则由 b＋5 a＋3 2 －2× 2 ＋2＝0，
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式得 |1＋0＋0| d3 ＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0
法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
[悟一法]
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先
将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形 结合的思想方法求解．
[通一类]
2．P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，求 P 点的坐标．
[错因]
本题出错的根本原因在于思维不严密，当
用待定系数法确定直线斜率时，一定要对斜率是否存在 的情况进行讨论，否则容易犯解析不全的错误． [正解] ①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线
方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足 题意．
②当直线过点 A(1,2)且与 x 轴不垂直时， 由题意可设直 线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0， 又由原点到此直线距离等于 1， |－k＋2| 3 所以 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 所以直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
c＋m n m n 可得 D( ， )，E( ， )， 2 2 2 2 c＋m m c 所以|DE|＝| － |＝ ， 2 2 2 1 所以|DE|＝ |AB|， 2 即三角形中位线的长度等于底边长度的一半.
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)

2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 课件(北师大必修2)

x＋2y－7＝0， 由方程组 x－2y＋2＝0，
x＝5， 2 得 9 y＝4.
5 9 ∴P( ， )， 2 4 5 9 7 ∴当 P( ， )，Q(0， )时，△MPQ 周长最小. 2 4 2
求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程．
[错解] ∵所求直线过点 A(1,2)， ∴可设直线方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0. ∵原点到此直线的距离为 1， |－k＋2| 3 ∴ 2 ＝1，解得 k＝ ， 4 k ＋1 3 ∴所求直线方程为 y－2＝ (x－1)， 4 即 3x－4y＋5＝0.
使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于
直线对称的问题，而解决这类问题的方法是设对称 点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得．
[通一类] 4．已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各
找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
解：设 M 关于 l 的对称点 M1(a，b)， b－5 1 × ＝－1， a－3 2 则由 b＋5 a＋3 2 －2× 2 ＋2＝0，
c＋m n m n 可得 D( ， )，E( ， )， 2 2 2 2 c＋m m c 所以|DE|＝| － |＝ ， 2 2 2 1 所以|DE|＝ |AB|， 2 即三角形中位线的长度等于底边长度的一半.
[研一题] 一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直
[例4]
线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线 所在直线的方程．
提示：仍然适用． ①当 A＝0 时，B≠0，直线 l 的方程为 By＋C＝0， C C |By0＋C| 即 y＝－B，d＝|y0＋B|＝ ，适合公式； |B| |Ax0＋By0＋C| d＝ ＝0，适合公式． 2 2 A ＋B
平面直角坐标系中的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式

第二章 解析几何初步第1.5节 平面直角坐标系中的距离公式 本节教材分析（1）三维目标①知识与技能：探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。

利用坐标法证明简单的平面几何问题。

②过程与方法：掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。

培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力。

③情感、态度与价值观：探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。

体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。

（2）教学重点两点间的距离公式及公式的推导过程。

（3）教学难点用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点。

（4）教学建议高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标通过两点间距离公式的推导，使学生对公式加深理解，但还是重在应用。

新课导入设计导入一（一）、提出问题已知：平面上两点()111,y x p ，()2212,y x p ，怎样求两点1p ，2p 间的距离？（二）、探究两点间的距离公式思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离学生能很快地寻找出解决办法 即：5)2(3=--=ABA'（图1） （图2）思考题2、将图（1）中的A 点移到第二象限()2,2'-A 处。

如何求'A 、B 间的距离？ 导入二一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点),(),,(222111y x P y x P ，分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

《平面直角坐标系中的距离公式(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

《平面直角坐标系中的距离公式(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】


若是直线: 上两点，. . .
解：设点的坐标为 ， 由， 得，解得. 所求点为， .
点在x轴上，可设出，再利用距离公式分别表示根据列方程.
解：(1)根据两点间的距离公式，得 ， ， ，，即，所以是直角三角形.
(2) 的中点横坐标，纵坐标.边上中线的长.
已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求.
如果和是直线上得两点，求这两点间的距离.
解析：由题意得知：，所以和两点之间得：，求出的值为或.
已知的三个顶点是，试判断的形状.
解析：由两点间距离公式得： ， ，.因为所以是等腰三角形.
解析： ，，即四边形为平行四边形.，所以，即平行四边形为矩形，,，所以，即矩形为正方形，故四边形为正方形.
1. 两点间的距离公式（1）平面内两点为间的距离：（2）原点与任意一点间的距离.2. 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
教材第25页练习第1、3题，第26页练习第3题．
（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成.（2）平行于坐标轴时，距离公式简化为数轴上的距离公式当直线平行于轴时，；当直线平行于轴时，.（3）原点与任意一点间的距离.
解：在直线上，.由，得.根据两点间得距离公式，得.
点在直线上，点满足直线方程，可以用表示，可以用表示，再代入距离公式即可.
第一章 直线与圆
平面直角坐标系中的距离公式（1）
如右图所示
两点间的距离公式
与轴平行
与轴平行
满足
两点间的距离，
可以理解成向量的长度,即
即
而
，