直线与圆锥曲线的位置关系：相交关系的一种题型解法

题目：直线与圆锥曲线的位置关系：相交关系的一种题型解法 教学目标：1、熟练掌握直线与圆锥曲线相交关系的一种题型解法； 重难点：掌握并会用直线与圆锥曲线相交关系解决问题的两种方法：（1）设点法；（2）设直线法；

课标要求：《普通高中数学课程标准》（2017年版）第46页：能够根据不同的情景，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。

的取值范围。求两点，使得、交于与椭圆作直线过点：椭圆：已知例一、例题展示：,,149),3,0(122DNDMNMClDyxCD

.)3(3),3,(),3,(),,(),,(212122112211yyxx

DNDMyxDNyxDMyxNyxM分析：设

.15511.5512651322265131,0,)1(6)513)(1()1(65181341866994414)33(14)3319,41914)33(9;14933,),3,0(),,(),,(1222222222222222222222222222222222222221212211且又依题意，上述两式相比：（：依题意设解析：法yyyyyyyyy

y

yxyxyxyxyyxxDNDMDyxNyxM

取值范围。的的不等式，进而求出围列出关于的关系，再由椭圆的范与变量，进而找出少代入椭圆的方程通过减两点坐标的关系，分别、找出方法总结：由向量关系2yNM .1151.55110,536)1(4,5364915324495,4915324945324)94(5546194459454)1(,9445,9454950)94(4545454,04554)94(36943.32551NM,01.)3(3),3,(),3,(),,(),,(22222222222222221221221222222212122112211且综上：

且依题意，

又）（①式带入②：②①；：，则为的斜率存在时，不妨设）直线（；或，所以是椭圆短轴的两个端点、：的斜率不存在时，）直线（：设法kkkkkk

k

kxkkxxxkxxkkxx

kkkkkxxkyx

kxy

kxylklxllyyxxDNDMyxDNyxDMyxNyxM



的取值范围。出之间的关系式，从而求与斜率进而求出关于，利用根与系数的关系程，找出隐含条件方法总结：设出直线方k022322333|,|2||4)0)(1(12、；、；、；、的值为（）则两点，且满足、相交于：的抛物线与焦点为：：已知直线变式训练二、变式训练展示：DCBAkBFAFBAxyCFkxkyl 





.322),2,21(2214)12(4)2(4)0,0(212)1(21,2||2||),0,1()0)(1(),0,1(),,(),,(1222222221212121212121212211klAyxxyxyxyyyyyxxxxMABddBFAFddBAlMkxkylFyxByxA上，该点在即

的中点，、是点由抛物线的定义知：，，到准线的距离分别为、。与抛物线的准线的交点是该点过定点：直线：设解析：法

.3222,2112|,|2||,1,4204)2(4,0)42(4)1(),,(),,(22121212221422222222211kxxxxBFAFxxkkxxkkkxkxkxyxkyyxByxA带入①得：与②结合得：②①：设法

的取值范围。出参数利用圆锥曲线的范围求之间的关系式；④与（或比，求出曲线方程；③将两式相坐标关系式的两点代入②将含有两点两点坐标之间的关系；标，代入关系式，求出：①设出曲线上两点坐法三、方法与规律总结：)112yy的取值范围。系，与③结合求出之间的关与斜率系式消去两根求出的关系式；⑤由已知关范围；④列出根与系数的求出斜率）的二次方程；③通过（或联立求出关于②直线方程与曲线方程率是否存在）；线的方程（注意讨论斜：①利用斜截式设出直法2202kkyx

的取值范围。求实数上两点且是椭圆、外一点，为椭圆点：：设椭圆问题类型四、一般结论探究：,),0(),,0,0(112222DNDMCNMCnDbababyaxC。且所以在椭圆外，三点共线，又因为点、、，所以满足、、分析：因为10DNMDDNDMNMD.12)()(10,)1(2)1()()()(1)(111)()(1)(;),,(),,(),,(),(),,0(22222222222222222222222222222222222222122121212122112211且且代入椭圆的方程得：、设解析：依题意，bnbnbnbnbybnbnnb

yynbnnb

ybnnybbyb

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byaxbnnyaxbyax

nnyynynyxxDNDMnyxDNnyxDMyxNyxMnD

的取值范围。求实数上两点且是椭圆、外一点，为椭圆点：：设椭圆问题类型五、一般结论探究：,)0,(),,0,0(122222DNDMCNMCnDbababyaxC

.12)()(10,)1(2)1()()()(1)(111)()(1;);(),,(),,(),,(),(),0,(22222222222222222222222222222222222222122121212122112211且且代入椭圆的方程得：、设解析：依题意，ananananaxananna

xxnanna

xannxaaxa

nnx

byaxbyannxbyax

nnxxyynxnxDNDMynxDNynxDMyxNyxMnD

两个结论仍然适用。时，由椭圆到圆上述的当于轴上的椭圆都适用；对轴或焦点在两个结论对于焦点在六、补充说明：上述的bayx七、高考题展示

。，求）若的方程；（求）若（。轴的交点为，与，为的交点与的直线，斜率为的焦点我为：线课标全国卷）已知抛物（例||32,4||||1233201922ABPBAPlBFAFPxBAClFxyC87231274233)23(223||||3)23(2,03)23(23)(23)0,43()0,(),,(),,(12121222211xylaaxxBFAFaxxaxaxaxylFaPyxByxA的方程为：由椭圆的定义知：

则与椭圆的方程联立得：

的方程为：，直线焦点）依题意设解析：（

31344)()94

1()()(||.1331,3,33),(),,(3203233232),0,(),,(),,(122122122122121212122112121222211yyyyyyxxABaayy

yyyyPBAPyaxPByxaAPayyyyayyxyayxayxlaPyxByxA代入①式：

①的方程为：直线：依题意设）法（

3134)()(||)1,31(),3,3(.123333),3(),3,3(3,3;,3)34(3273)34(3933343)(33),(),,(),0,(),,(),,(22212211122222222221212121212122112211yyxxABBAaaaaakaaBaaAayaxayaxxaxxyxayxyyyxaxyyaxxaPBAPyaxPByxaAPaPyxByxAAB即

：依题设法

的取值范围。出参数利用圆锥曲线的范围求之间的关系式；④与（或比，求出曲线方程；③将两式相坐标关系式的两点代入②将含有两点两点坐标之间的关系；标，代入关系式，求出：①设出曲线上两点坐法八、方法与规律总结：)112yy的取值范围。系，与③结合求出之间的关与斜率系式消去两根求出的关系式；⑤由已知关范围；④列出根与系数的求出斜率）的二次方程；③通过（或联立求出关于②直线方程与曲线方程率是否存在）；线的方程（注意讨论斜：①利用斜截式设出直法2202kkyx