圆锥曲线常见题型归纳
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圆锥曲线常见题型归纳
一、 基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，
如求圆锥曲线的标准方a,b
'c,e,
p 程，求准线或渐近线 方程，求顶
点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半 径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：
（1） 熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来 解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2） 如未指明焦点位置，应考虑焦点在 两种（或四种）情况；
（3） 注意 a,2a,a 2
， b,2b,b 2
， c,2c,c 2
， 2 p, p, p/2 的区别及其
几 何背景、出现位置的不同，椭圆中c 2=a 2-b 2，双曲
线中 C 2
=a 2
+b 2
，离心率 e=c/a ，准线方程
x = ±a 7c ；
二、 定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点
至y 定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的 距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用 面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定 义有深入、细致、全面的理解和掌握。
常用到的平面 几何知识有： 圆的性质，解三角形（正弦
余弦定理、三角形面积公 式），当条件是用向量的形式给出
x 轴和y 轴的
2 2.2 c = a —b
中垂线、角平分线的性质，勾股定理，
时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平
面几何方法处理；
三、直线与圆锥曲线的关系题
（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为y = kx+b的形式，但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；
（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去
x或消去y，得到方程ax2 +bx + c = 0①
或ay2+by+c=0②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。
（3）当方程①或②的二次项系数a=0时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴
行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）
（4）当方程①或②的二次项系数am时，判别式^ <0、
△ = 0、△> 0，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、
相交。
如直线与圆锥曲线有公共点，应用
^ >0来求斜率k的范围；
（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提^0，△〉0），记为AB ,
其中A（x i,y i），B（X2,y2），AB的坐标可由方程①或
②求得，一般是由方程①求出X i,X2,再代入直线方程求
y i,y2，再代入直线方程求X i,X2。
y i,y2，或由方程②求出
(6)涉及弦长问题，可用韦达定理,由方程ax2+bx+c = o
①求出X i + X2 , X i
X2 , 寫
A(x i,y i) , B(X2, y2)在直线y=kx+b y i =kx i +b，y2 =kx2 +b ,
y i -y2 =k(X i -X2), AB| = J(x i -X2)2+(y i -y2)2 = J(1 +k2)(x i -X2)2
=』(1+k2)[(X i +X2)2-4X1X2]斗而石。
请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去X，得到ay2+by+c = 0②，继而
用韦达定理，求出y1+y2,力丫 2 ，打X’一X2 二丄心’一y2)，.
k
|AB I =J(X i -X2 r +(y i -y2 )2 = J(1+占)(y’ - y2)
j(1+H[( y i +y2)2 _4y i y2]=j(1
十加晋；
(7)涉及弦中点冋题，可用韦达定理，由方程
ax2+ bx + c = 0 ①求出X1+X2，设弦A(x i,y i) B(x2,y2)的中点为
X l 十
X2
2
M(x o,y o)，贝U x o =牛严「M点也在直线y = kx + b
y^kx^b。
如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，
而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标(x i，y i), (X2,y2)直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只
有(X i-X2)、(X i +X2)、(y i-y2)、(y i+y2),这些都与弦中点坐
标和弦的斜率k有关。
（8）弦AB 满足有关的向量的条件，如OA.OB=o （ 0为 原点）， 贝U XM + ym = o ，丁 y j = kx j + b ， y^ kx 2
+ b ，
…
四、关于圆锥曲线的最值
（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。
动点的坐标M （x o ，y o ），用两点间的距离公式表示距离 利用点M 的坐标（x o ，y o ）满足圆锥曲线方程，消去 消去X o ），把d 2
表示成X o （或y o ）的二次
函数，因为 y o ）有一个取值范围（闭区间或半开 问题转化为：求二次函数在闭区
间上的最值。
有时须 针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨 论。
（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。
作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点, 切线与定直线的距离即为所求最值。
五、求动点的轨迹方程
（1） 待定系数法。
适用于已知曲线的类型的情况， （2） 五步法（求曲线的基本方法）
2 2 x i X 2 +（kx i +b ）（kx 2 +b ） =（1 +k ）X 1X 2 +kb （x i +X 2）+b =o
.
x 2+2
y 2
=2
的右焦点F i 的直线I 与该椭圆交 两
点，且
又如过椭圆
于M ,N
F i M + F 2M =2码3 ,求直线I 的方程。
（或
（或
闭区间），所以
X o
（3） 定义法（只求轨迹，不求方程，用几何性质及圆 锥曲线定义）
（4） 相关点法（5）交轨法（6）参数方程法
47、 熟悉定比分点的传统定义、向量定义、坐标公式、 在空
间坐标系中的应用；
48、 不重合的两条直线
^2 ： A Q X + B2y +C 2 =0
， q 的法向量为： 为 e i =
（-B i , A i ） = （1,k i ）， q 丄 *2= A I A ? + B i B 2 = 0
q
II J 二 A 1
B^ = B 1
A 2
_且 A 1
C^^C 1
A 2
;
£ : A| X 中 B i y 中 C i = 0
^与。
