2014一模圆切线题

2014年某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 己知集合A ={x|x 2−3x +2<0}，B ={x|log 4x >12}，则（ ） A A ∩B =⌀ B B ⊆A C A ∩∁R B =R D A ⊆B 2. 已知复数z =1+2i i 5，则它的共轭复数z ¯等于（ ）A 2−iB 2+iC −2+iD −2−i3. 命题“∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx >2”的否定是（ ）A ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx <2B ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2C ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2 D ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx <24. 已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α // β的是（ ） ①在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β，③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α． A ①③ B ②④ C ①④ D ②③5. 已知向量m →，n →的夹角为π6，且|m →|=√3，|n →|=2，在△ABC 中，AB →=2m →+2n →，AC →=2m →−6n →，D 为BC 边的中点，则|AD →|=( )A 2B 4C 6D 86. 能够把圆O:x 2+y 2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是（ ） A f(x)=4x 3+x B f(x)=1n5−x 5+xC f(x)=tan x2D f(x)=e x +e −x7. 已知sinα+√2cosα=√3，则tanα＝（ ） A √22B √2C −√22D −√2 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=52，a 2+a 4=54，则S na n=( )A 4n−1B 4n −1C 2n−1D 2n −19. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是（ ）A 78<P ≤1516B P >1516C 78≤P <1516D 34<P ≤7810. 已知实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x −2y −1≤0x +y ≤1，则|3x +4y −7|的最大值为（ ）A 11B 12C 13D 1411. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (2√33,2] B [2√33,2) C (2√33,+∞) D [2√33,+∞) 12. 已知函数f(x)={−13x +16，x ∈[0,12]2x 3x+1，x ∈(12,1]，函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A [−23, 1] B [12, 43] C [43, 32] D [13, 2]二．填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知f(x)=22x +1+sinx ，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=________．14. 已知球的直径PQ =4，A 、B 、C 是该球球面上的三点，∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30∘，△ABC 是正三角形，则棱锥P −ABC 的体积为________．15. 一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如图，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点．下列结论中正确的是________．（填上所有正确项的序号）①线MN与A1C相交；②MN⊥BC；③MN // 平面ACC1A1；④三棱锥N−A1BC的体积为V N−A1BC =16a3．16. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10QUOTE，属于第二档电价的家庭约占40QUOTE，属于第三档电价的家庭约占30QUOTE，属于第四档电价的家庭约占20QUOTE．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得如图的直方图，由此直方图可以做出的合理判断是________①年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档②年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档③年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档④该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数．三、解答题（本大题共5小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17. 若f(x)=√3cos2ax−sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若(A2, √32)是函数f(x)图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．18. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k0 2.706 6.63510.82819. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图2所示．（1）若M是FC的中点，求证：直线DM // 平面A1EF；（2）求证：BD⊥A1F；（3）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20. 已知抛物线x2=2py(p>0)上的一点(m, 1)到焦点的距离为5．点4P(x0, y0)是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M1(0, −1)与P的直线和抛物线交于点P1，过点M2(0, 1)与的P直线和抛物线交于点P2．分别以点P1，P2为切点的抛物线的切线交于点P′．（1）求抛物线的方程；（2）求证：点P′在y轴上．21. 对于函数f(x)(x∈D)，若x∈D时，恒有f′(x)>f(x)成立，则称函数f(x)是D上的J函数．(Ⅰ)当函数f(x)＝me x lnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；(Ⅱ)若函数g(x)为(0, +∞)上的J函数，①试比较g(a)与e a−1g(1)的大小；②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，x n，均有g（ln(x1+x2+...+x n)）>g(lnx1)+g(lnx2)+...+g(lnx n)．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA⋅PD＝PE⋅PC；（2）AD＝AE．选修4─4：坐标系与参数方程选讲．23. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=13xy′=12y得到曲线C′．(1)求C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C′上，点B(3, 0)，当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．选修4─5：不等式证明选讲．24. 已知函数f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16． (1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)=k(x −3)，k ∈R ，若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．2014年某校高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. B3. C4. C5. A6. D7. A8. D9. D 10. D 11. A 12. B 13. 5 14.9√3415. ②③④ 16. ①③④17. 解：（1）f(x)=√3cos 2ax −sinaxcosax =√32−sin(2ax −π3)，由题意，函数f(x)的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m>0，√32−1<0，∴ a=1，m=√32+1；（2）∵ (A2，√32)是函数f(x)图象的一个对称中心，∴ sin(A−π3)=0，又∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，△ABC中，则由正弦定理得：bsinB =csinc=asinA=4sinπ3=8√33，∴ b+c+a=b+c+4=8√33[sinB+sinC]+4=8√33[sinB+sin(B+π3)]+4=8sin(B+π6)+4，∵ 0<B<2π3，∴ b+c+a∈(8, 12]．18. 解：（1）幸福感指数在[4, 6)，[6, 8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；所以K2=1000×(250×300−200×250)2450×550×500×500=10.101>6.635，所以在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关．19. （1）证明：因为D，M分别为AC，CF中点，所以DM // EF ，又EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF 所以DM // 平面A 1EF ．（2）证明：因为A 1E ⊥BD ，EF ⊥BD ，且A 1E ∩EF =E ，所以BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF 所以BD ⊥A 1F ．（3）解：直线A 1B 与直线CD 不能垂直， 因为平面A 1BD ⊥平面BCD ，平面A 1BD ∩平面BCD =BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， 所以 EF ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以A 1B ⊥EF ， 又因为EF // DM ，所以A 1B ⊥DM ． 假设A 1B ⊥CD ，因为A 1B ⊥DM ，CD ∩DM =D ， 所以A 1B ⊥平面BCD ， 所以A 1B ⊥BD ，这与∠A 1BD 为锐角矛盾所以直线A 1B 与直线CD 不能垂直． 20. （1）解：由题意得 1+12p =54，∴ p =12所以抛物线的方程为y =x 2…（2）证明：设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)因为y′=2x 则以点P 1为切点的抛物线的切线方程为y −y 1=2x 1(x −x 1) 又y 1=x 12，所以y =2x 1x −x 12…同理可得以点P 2为切点的抛物线的切线方程为y =2x 2x −x 22由{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22解得x =x 1+x 22… 又过点P(x 0, y 0)与M 1(0, −1)的直线的斜率为k 1=y 0+1x 0所以直线PM 1的方程为y =y 0+1x 0x −1由{y =y 0+1x 0x −1y =x 2得x 2−y 0+1x 0x +1=0所x 0x 1=1，即x 1=1x 0…同理可得直线PM 2的方程y =y 0−1x 0x +1由{y =y 0−1x 0x +1y =x 2得 x 2−y 0−1x 0x −1=0所以x 0x 2=−1，即x 2=−1x 0则x 1+x 2=1x 0+(−1x 0)=0，即P′得横坐标为0，所以点P′在y 轴上…21. （1）由f(x)＝me xlnx ，可得f ′(x)=m(e xlnx +e x x)，因为函数f(x)是J 函数，所以m(e x lnx +e x x)>me x lnx ，即me x x>0，因为e xx >0，所以m >0，即m 的取值范围为(0, +∞)． （2）①构造函数ℎ(x)=g(x)e x,x ∈(0,+∞)，则ℎ(x)=g ′(x)−g(x)e x>0，可得ℎ(x)为(0, +∞)上的增函数，当a >1时，ℎ(a)>ℎ(1)，即g(a)e a>g(1)e，得g(a)>e a−1g(1)；当0<a <1时，ℎ(a)<ℎ(1)，即g(a)e a<g(1)e，得g(a)<e a−1g(1)；当a ＝1时，ℎ(a)＝ℎ(1)，即g(a)e a=g(1)e，得g(a)＝e a−1g(1)．②因为x 1+x 2+...+x n >x 1，所以ln(x 1+x 2+...+x n )>lnx 1， 由①可知ℎ（ln(x 1+x 2+...+x n )）>ℎ(lnx 1)， 所以g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))e ln(x 1+x 2+⋯+x n )>g(lnx 1)e lnx 1，整理得x 1g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 1)，同理可得x 2g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 2)，…，x n g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx n )．把上面n 个不等式同向累加可得g （ln(x 1+x 2+...+x n )）>g(lnx 1)+g(lnx 2)+...+g(lnx n )． (12)22. ∵ PE 、PB 分别是⊙O 2的割线 ∴ PA ⋅PE ＝PD ⋅PB又∵ PA 、PB 分别是⊙O 1的切线和割线 ∴ PA 2＝PC ⋅PB由以上条件得PA ⋅PD ＝PE ⋅PC连接AC 、ED ，设DE 与AB 相交于点F ∵ BC 是⊙O 1的直径，∴ ∠CAB ＝90∘ ∴ AC 是⊙O 2的切线．由（1）知PAPE =PCPD ，∴ AC // ED ，∴ AB ⊥DE ，∠CAD ＝∠ADE 又∵ AC 是⊙O 2的切线，∴ ∠CAD ＝∠AED 又∠CAD ＝∠ADE ，∴ ∠AED ＝∠ADE∴ AD ＝AE23. 解：(1)将{x =3cosθy =2sinθ代入{x′=13x y′=12y， 得C ′的参数方程为{x =cosθy =sinθ∴ 曲线C ′的普通方程为x 2+y 2=1．(2)设P(x, y)，A(x 0, y 0)，又B(3, 0)，且AB 中点为P ， 所以有：{x 0=2x −3y 0=2y，又点A 在曲线C ′上，∴ 代入C ′的普通方程x 02+y 02=1得(2x −3)2+(2y)2=1， ∴ 动点P 的轨迹方程为(x −32)2+y 2=14． 24. 解：(1)∵ f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16 =√(x −3)2+√(x +4)2 =|x −3|+|x +4|，∴ f(x)≥f(4)即|x −3|+|x +4|≥9． ∴ ①{x ≤−43−x −x −4≥9，或②{−4<x <33−x +x +4≥9，或③{x ≥3x −3+x +4≥9．解①得：x ≤−5； 解②得：x 无解； 解③得：x ≥4．∴ f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤−5 或x ≥4}．(2)f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， ∵ f(x)=|x −3|+|x +4| ={−2x −1,x ≤−47,−4<x <32x +1,x ≥3．由于函数g(x)=k(x −3)的图象为恒过定点P(3, 0)，且斜率k 变化的一条直线， 作函数y =f(x)和 y =g(x)的图象如图，其中，k PB=2，A(−4, 7)，∴ k PA=−1．由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，∴ 实数k的取值范围为(−1, 2]．。

25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图，Rt △ABC 中，=ACB ∠90°，4AC =，3BC =，P 是斜边AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AC 的另一个交点为D ，射线PD 交射线BC 于点E ．（1）如图1，若点E 在线段BC 的延长线上，设AP x =，CE y =， ① 求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，求AP 的长；（2）设线段BE 的中点为Q ，射线PQ 与⊙P 相交于点I ，若CI AP =，求AP 的长．解：（1）①∵AP DP =， ∴PAD PD A ∠=∠． ∵PDA CDE ∠=∠， ∴PAD CDE ∠=∠．∵90ACB DCE ∠=∠=，∴△ABC ∽△DEC ． 1分∴ABC DEC ∠=∠，BC DECE AB=． ∴PB PE =．Rt △ABC 中，=ACB ∠90°，4AC =，3BC =， ∴5AB =．又AP x =，∴5PB PE x ==-，52DE x =-．∴3552y x=-． ∴635y x=-502x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．3分（注：其中x 取值范围1分） ②设BE 的中点为Q ，联结PQ ．∵PB PE =， ∴PQ ⊥BE ． 又∵=ACB ∠90°，ACBAPDCB E 图1∴PQ ∥AC ．∴PQ PB BQAC AB BC ==． ∴5454PQ x BQ -==． ∴445PQ x=-，335BQ x =-． 2分当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，434355x x x -=+- ． 1分解得56x =，即AP的长为56． 2分 （2）如果点E 在线段BC 延长线上时，由（1）②的结论可知494455IQ PQ PI x x x =-=--=-． 1分333355CQ BC BQ x x⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．1分在Rt△CQI 中，222223918724165555CI CQ QI x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 1分∵CI AP =， ∴218721655x x x -+=． 解得12013x =，24x =（不合题意，舍去）． ∴AP的长为2013． 1分 同理，如果点E 在线段BC 上时，494455IQ PI PQ x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭．333355CQ BC BQ x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．在Rt △CQI 中，222223918724165555CI CQ QI x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵CI AP =， ∴218721655x x x -+=． 解得12013x =（不合题意，舍去），24x =． ∴AP的长为4． 2分综上所述，AP 的长为2013或4． （注：1．只有答案没有过程时写出2013得1分，写出4得2分； 2．有过程但没有进行分类讨论就得出2013或4得4分．）。

【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版【A 组】一、填空题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：在圆外2．(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －02＋y －32＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －83．(2011·高考某某卷)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：10 24．(2011·高考某某卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值X 围是________．解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m1＋1－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：(－33，0)∪(0，33) 5．(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝06．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a,0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0， 即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2012·高考某某卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．解析：如图所示：解Rt △ACO ，|OC |为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离， |OC |＝|0＋3×0－2|12＋32＝1， |OA |＝r ＝2，|AC |＝|OA |2－|OC |2＝22－12＝3， |AB |＝2|AC |＝2 3 答案：2 3 二、解答题8．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10， 因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2－2－a 2＋－5－b 2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．【B 组】一、填空题1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：12．(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)． 答案：(－13,13)4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝05．(2013·某某模拟)从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)， ∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案：356．直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则m 的值为________．解析：当OA ⊥OB 时，圆心(0,0)到直线2x －y ＋m ＝0的距离等于22r ， ∴|m |5＝22· 5. ∴m ＝±5210.答案：±51027．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ， 圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的 半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案：7 二、解答题8．(2013·某某模拟)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1,23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2， 圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1， 则圆心到直线m 的距离恰为1，由于直线m 经过原点，圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线，即y 轴，所以直线方程为x ＝0.方法二：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1，k 无解． 直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立． 所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33(x －1)， 即3x －3y ＋53＝0，斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或3x －3y ＋53＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0， 过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.9．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值X 围． 解：(1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)． 如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值X 围是[1,5]．。

8．如图，点P 是以O 为圆心， AB 为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P 重合， 当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB 分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D 12．在一次数学游戏中，老师在A B C 、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a ，0b ，0c ，记为0G =（0a ，0b ，0c ）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为n G =（n a ，n b ，n c ）．（1）若0G =（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；（2）小明发现：若0G =（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G =________．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点， DF ⊥AC 于F ． （1）求证：DF 为⊙O 的切线； （2）若3cos 5C =，CF =9，求AE 的长．22．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD 的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°， ①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________； ②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）.请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC 的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点； （2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．24．在△ABC 中，AB=AC ，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α<<，连接AD 、BD ．（1）如图1，当∠BAC =100°，60α=时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC =100°，20α=时，求∠CBD 的大小；（3）已知∠BAC 的大小为m （60120m <<），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．25． 对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P '的坐标为（ba k+，ka b +）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P '为点P 的“k 属派生点”． 例如：P （1，4）的“2属派生点”为P '（1+42，214⨯+），即P '（3，6）． （1）①点P （-1，-2）的“2属派生点”P '的坐标为____________；②若点P 的“k 属派生点” P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标____________；（2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且△OPP '为等腰直角三角形，则k 的值为____________； （3）如图, 点Q 的坐标为（0，），点A 在函数y =0x <）的图象上，且点A 是点B的“，当线段B Q 最短时，求B 点坐标．DCBAABC。