第八讲 波动率的估计

s (u n 1
i 1 i
u)

或
s
n 1 n 2 1 2 u ( u ) i n(n 1) i n 1 i 1 i 1

期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是股 票价格的波动率。
c S(d1 ) Xer (T t )(d2 )

ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t

隐含波动率是从期权价格隐含反推计算出的波动率。

假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为：
ui ln( Si Si 1 )

ui
的波动率如何估计？

假设S是某股票的价格； 取过去的n+1个观测值； 单位时间间隔的长度为 τ ； S表示第i个时间段结束时的观测值，i=0,1,…,n； 第i个区间的收益率为： ui ln( Si Si 1 ) ui 的波动率如何估计？ 无偏估计： _ 1 n 2
◦ 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所关闭时的 波动率要大很多； ◦ 因此，当由历史数据估计波动率时，分析员常常忽略交易 所关闭的天数。

在计算时通常假定每年有252个交易日，因此年波 动率是日波动率的 252 倍。

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波动率的定义 金融资产的收益率是否服从正态分布 从期权价格反推波动率：隐含波动率 采用历史数据来估算波动率 检测日波动率 波动率模型的参数估计 波动率预测

ln(S / X ) (r 2 2)(T t ) , d2 d1 T t 其中， d1 T t

波动率假设的常用方法波动率是衡量金融市场价格变动幅度的指标，是金融市场风险的重要体现。

在金融领域，对波动率的研究和预测对于投资决策、风险管理和衍生品定价等方面具有重要的意义。

波动率假设是关于价格或收益率中的价格波动程度的一种假设，它通常作为金融模型和衡量风险的基础。

以下是波动率假设的常用方法：1. 历史波动率方法（Historical Volatility Method）：历史波动率方法通过观察过去一段时间的价格或收益率数据，计算历史波动率来预测未来的价格波动情况。

这种方法认为未来的波动率类似于过去的波动率水平。

历史波动率方法的优点在于简单易行，但它忽略了市场风险在不同时间周期会变化的情况。

2. 隐含波动率方法（Implied Volatility Method）：隐含波动率方法是通过市场上期权合约的价格，反推出市场对于未来价格波动的预期。

这种方法可以衡量投资者对于市场的风险偏好和不确定性。

隐含波动率方法的特点是能够观察到市场参与者的期望波动率水平，但它也有可能被市场参与者的情绪和市场噪音所影响。

3. GARCH模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）：GARCH模型是一种经济学中常用的时间序列模型，用于研究和预测金融资产的价格波动。

GARCH模型通过引入自回归的条件异方差来描述金融资产收益率的波动性质。

GARCH模型能够捕捉到金融市场中的波动聚集效应，即波动率在时间上表现出一种聚集的特性。

4. 波动率指数方法（Volatility Index Method）：波动率指数方法是通过衍生品市场上的波动率指数来衡量市场波动。

波动率指数是根据期权的价格计算得出的，它衡量了市场对未来波动性的预期。

波动率指数方法通常被用来衡量市场整体的风险程度，比如CBOE 波动率指数（VIX）被广泛认可为衡量美国股市风险的指标。

2
=σ
我们知道，随着样本容量的增大，总体标准差与样本标准差之间的偏差越小，偏差程度 可以表示为： s = b(N)σ 式中：b N =
2 τ (2 ) 就是总体标准差的无偏估计。
通常，为了得到更准确的结果，会使用更多的样本数据进行估计，以尽量减小抽样误差 带来的影响。但是，样本量过多，样本中更可能掺杂与当前市场状态无关的数据。所以一般 有两种方法解决抽样误差的问题， 一是可以通过使用更高频率的估计量， 二是使用没有完全 剔除收盘价以外所有数据的估计量。上述的计算都是基于收盘价-收盘价的关系，为了得到 更好的估计量，需要引入更多的数据信息，从而得到以下四种估计量： ①、Parkinson 估计量： 1 4N ln 2
方差。 λ 越小意味着越早期的波动率对当前波动率的影响越小， 而越近期的波动对当前波动 率的影响越大。这个方法的优点是简单易用，便于理解，缺点是不够灵敏。如果一件事情确 实一个异常事件，比如业绩公告之类的，如果在未来预测期内确定没有类似的事情发生，那 最好将它从数据集中剔除。 该方法另一问题在于它并没有考虑最近的波动率估计量所处的市 场环境，比如波动率的均值回复特性。 2、广义自回归条件异方差（GARCH）模型族 由于这类模型引入了预期回复的长期平均方差水平项， 所以如果当前方差水平处于高位， 我们会期待它在短期内维持高位， 但最终还是会回归到正常水平。 GARCH(1,1)模型表达式如 下： 2 2 σ2 t = γ V + β σ t −1 + α rt −1 式中， V 是长期方差水平项， γ + α + β = 1。 所以 GARCH(1,1)模型表达式一般可表示为： 2 2 σ t =ω +β σ 2 t −1 + α rt −1 所以，V = 1−α

波动率的加权计算方式
波动率的加权计算方式可以根据具体的情况而定，一般来说，波动率的加权计算可以分为两种常见的方式，简单加权平均和加权移动平均。

首先，简单加权平均是一种常见的计算波动率的方法。

在简单加权平均中，每个数据点的权重都是相等的。

这意味着所有数据点对波动率的贡献是相同的。

简单加权平均的计算方式是将每个数据点的平方差加总，然后除以数据点的数量再取平方根，即得到波动率。

这种方法适用于数据点之间的权重相同的情况。

其次，加权移动平均是另一种常见的计算波动率的方法。

在加权移动平均中，不同的数据点可能具有不同的权重，通常是根据某种特定的模型或者规则来确定权重。

常见的加权移动平均方法包括指数加权移动平均和历史波动率加权移动平均。

这些方法可以根据数据的特点和使用的模型来确定不同的权重，以更好地反映数据的波动情况。

总的来说，波动率的加权计算方式可以根据具体的情况和需求来选择。

简单加权平均适用于数据点之间权重相同的情况，而加权
移动平均则可以根据特定的模型或规则确定不同的权重，从而更好地反映数据的波动情况。

在实际应用中，选择合适的加权计算方式对于准确评估波动率非常重要。