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微分几何期末试题

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数信学院2000级数学与应用数学专业
《微分几何》 期终考试题（A）2003/01

班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____

一、 填空题（每空1分, 共20分）
1. 正则曲面在其上任一点处的单位法向量zbyax2//2222=+=n ，
正则曲线在其上任一点处的切线方程为 ⎩⎨⎧=−−=−+11222222zyxzyx.

2. 第一基本形式为
222

22

)(CvudvduI++
+

=
(其中C为常数)的曲面与平面

(选填等距或共形)微分同胚, 该曲面的Gauss曲率为 .
3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大
值和最小值的方向是曲面的 方向.
4. 距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率为 )10(<测地曲率为 .
5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 , 坐标曲线网成为曲率线网
的充要条件是 .
6. 曲面上向量的Levi-Civita平行移动与道路无关的曲面是 曲面，
曲面上测地线的切向量在Levi-Civita平行移动意义下是平行的吗？ .
7. 是否存在曲面分别以()和作为它的第一、第二基本型? 22dvdu−dudv2，
简述理由 .
8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空
间曲线的两个不变量是曲线的 和 .
9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ，脐点
的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .
10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点.
极小曲面上的点是 点.

1
二、 单项选择题（每题2分，共16分）
1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )
A. 曲面上曲线的曲率 B. 曲面上曲线的测地曲率
C. 曲面上测地三角形的内角和 D. 曲面的高斯曲率
2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 ( )
A. 球面与柱面 B. 柱面与平面
C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面
3. 下列曲面不是可展曲面的是 ( )
A.
r
},sin,cos{),(bauuvuvvu+=

B. 曲线r},sin,cos{)(bttatat=的切线曲面
C. 高斯曲率恒为0的无平点曲面
D. 与平面等距等价的曲面
4. 设曲线C的曲率为,挠率为kτ,设是C关于坐标原点的对称曲线,其曲率和
*
C

挠率分别记为和，则 （ ）
*k*
τ

A. k=，*kτ= B. =-，*τk*kτ=
*
τ

C. =，k*kτ=- D. =-，*τk*kτ=-
*
τ

5. 曲线的下列各量中,是参数变换和坐标变换的不变量的是 ( )
A. 曲率 B. 挠率 C. 弧长 D. 以上全是
6. 设曲面的第一,第二基本型分别是,则曲面
2222
,NdvLduIIGdvEduI+=+=

的两个主曲率分别是 ( )
A．GNkELk==21, B. NGkLEk==21,

C. vEGkk∂∂−==ln2121 D. uGEkk∂∂==ln2121
7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 ( )
k
g
k

n
k

A．k=+ B. =+ C. D.
gknkg
k
k

n
k

222ngkkk+=222

ng
kkk+=

8. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为 ( )
A.
2/πθ= B. 0=θ C. πθ=
D. 不确定

2
三、 多项选择题（每题4分，共20分）
1. 下面关于特殊曲面的正确的结论是 ( )
A. 可展曲面(局部地)或为柱面，或为锥面，或为切线面 （等距等价意义下）
B. 常曲率曲面(局部地)或为平面，或为球面，或为伪球面 （等距等价意义下）
C. 全脐点曲面必为球面或平面（或它们的一部分）
D. 极小曲面必为面积最小的曲面
E. 直纹面必与平面等距等价
2. 下面说法正确的是 ( )
A. 欧氏合同的两曲面必等距等价 B. 等距等价的两曲面必欧氏合同
C. 欧氏合同的两曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质
D. 等距等价的曲面具有相同的内蕴量和内蕴性质
E. 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立
3. 下列关于特殊曲线的论断，正确的是 ( )
A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线
B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身
C. 法截线的曲率反映曲面沿法截线方向的弯曲程度
D. 柱面螺线的特征是曲率和挠率成定比
E. 曲面上若含有直线，则直线同时是测地线，渐近曲线，曲率线
4. 下列关于曲面的主方向和渐近方向，正确的说法是 ( )
A. 曲面上任一点处，至少有两个主方向
B. 曲面上任一点处，至多有两个渐近方向
C. 除脐点处外，主方向是正交的
D. 平面上任何方向既是主方向又是渐近方向
F. 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向
5. 下列关于测地线，正确的说法是 （ ）
A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性
C.
旋转曲面的子午线一定是测地线 D. 平面上测地线必是直线
E. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小

3
三、计算题（每题10分，共20分）
1. 求空间正则参数曲线 r)(t={}的曲率和挠率. ttt2cos,sin,cos
33

2. 设单位球面的参数方程为r}sin,sincos,cos{cos),(uvuvuvu=.是球面上由两条纬线Σ
0 ,4/==uuπ和两条经线2/ ,0π==vv
所围成的区域。在区

域上分别计算Gauss-Bonnet公式中各项的值。（Gauss-Bonnet公式如下给出）
Σ

παπ
2)( 41=−++∑∫∫∫=Σ∂ΣiigdskdAK

。

四、证明题（本题满分24分，每题6分）
1. 证明：切线过定点的正则曲线必为直线.

2. 证明：若曲面上存在一条直线, 则该曲面与球面之间不存在等距对应.
3. 证明: 在Gauss曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线。
4. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.

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微分几何期末复习题

微分几何期末复习题

Ｃ. ；Ｄ. 。
5.直线的曲率k为()
Ａ.–１；Ｂ.０；Ｃ.１；Ｄ.２。
6.关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面曲 线的曲率 , 为自然参数,不正确的是()
Ａ. ；Ｂ. ， 为的旋转角 ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.设曲线在P (s)点的基本向 量是 ,则下列论述不正确的是()
Ａ. 均为单位向 量；Ｂ. ；
Ｃ. ；Ｄ. 。
7.曲线在点的 切线与轴关 系为()
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向.
51．距离单位球面球心距离为d(0<d<1)的平面与球面的交线的曲率为，法曲率为。
52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足,把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为。
53．法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率达到最大值和最小值的方向是方向.
29.曲面上一族 坐标曲线是 测地线，另一族为它 的正交轨线的坐标网是。
31.已知曲面的 第一类基本 量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直 的充要条件 是。
32.对曲面 有 ,则曲面上曲 线u=u(t),v=v(t)从 到t(t> )的弧长s=。
33.若曲面 在(0，1)点处的第二 基本形式 ，则在(0，1)点处， 。其中为曲面 的单位法向 量。
微分几何考试题和答案

微分几何考试题和答案

微分几何考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在微分几何中，曲面上的一条曲线被称为测地线，如果它在局部上是长度最短的。

以下哪项不是测地线的性质？A. 测地线是局部最小化距离的曲线B. 测地线是局部最大化距离的曲线C. 测地线是平行传输的路径D. 测地线是曲率最大的曲线答案：B2. 曲面上的高斯曲率K由主曲率k1和k2决定，其计算公式为K=k1*k2。

如果一个曲面的高斯曲率在每一点都为零，那么这个曲面是：A. 平面B. 球面C. 圆柱面D. 双曲面答案：A3. 以下哪个概念不是微分几何中的基本元素？A. 流形B. 切空间C. 向量场D. 复数答案：D4. 曲面的第一基本形式是描述曲面内在几何的一个工具，它涉及到哪些量？A. 度量张量B. 曲率张量C. 外蕴曲率D. 以上都不是答案：A5. 在微分几何中，一个曲面的外蕴曲率可以通过哪种方式来测量？A. 高斯映射B. 测地线曲率C. 法向曲率D. 以上都是答案：D6. 以下哪个是微分几何中常用的坐标系统？A. 笛卡尔坐标B. 极坐标C. 球坐标D. 以上都是答案：D7. 曲面的第二基本形式是描述曲面外在几何的一个工具，它涉及到哪些量？A. 度量张量B. 曲率张量C. 法向量D. 以上都是答案：D8. 以下哪个概念与微分几何中的联络无关？A. 切向量B. 曲率C. 度量D. 复数答案：D9. 微分几何中的Christoffel符号用于描述什么？A. 度量的变化B. 联络C. 曲率D. 测地线答案：B10. 以下哪个定理不是微分几何中的定理？A. 高斯绝妙定理B. 黎曼曲率张量恒等式C. 欧拉特征定理D. 费马定理答案：D二、填空题（每题2分，共20分）11. 曲面上的一条曲线，如果其切向量在每一点都与曲面的法向量正交，则称这条曲线为_________。

答案：测地线12. 曲面上的高斯曲率K和平均曲率H之间的关系可以用公式_________来表示。

大学数学微分几何期末试卷含参考答案

大学数学微分几何期末试卷含参考答案

大学数学微分几何期末试卷含参考答案求曲线的曲率与挠率。

(10分)解：，，， ,,(4分)，(6分) .(10分)二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。

(10分)证明：切线方程为：，不妨设定点为原点，则存在函数使得（4分）求导得：所以，（8分）因此即该曲线是直线。

（10分）三、证明曲线是平面曲线。

(10分)解：设，，，，，(6分)，即平面曲线。

(10分)或，，（这是一次方程，即平面方程，说明曲线22()(sin cos ,cos )r t t t t t =22(2sin cos sin ),2cos sin )(sin 22,sin 2)r t t t t t t t t t '=--=-2(cos 2,2,cos 2)r t t t ''=-4(sin 2,2,sin 2)r t t t '''=-22(1,0,1)r r '''⨯=--||2r '=3||2||r r k r '''⨯=='2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯)()(s T s rλρ+=)(s λ)()()(0s T s s rλ+=)()()()()()(0s N s k s s T s s Tλλ+'+=0)()(,0)(1=='+s k s s λλ0)(,)(0=⇒-=s k s s s λ22,4x z y z⎧=⎨=⎩2(,2,)r t t t =±(1,2,2)r t '=±(0,0,2)r ''=)0,0,0(='''r 0),,(=''''''r r r2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯224x y =2y x =±是平面曲线）曲面是否是可展曲面？说明理由。

微分几何测试题集锦(含答案)

微分几何测试题集锦(含答案)

微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。

1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。

A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。

A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。

?2? ⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。