《函数的单调性和奇偶性》经典例题

要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。

2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。

函数单调性和奇偶性应用【巩固练习】⑴函数y=（2k+1)x+b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围是 ______⑵函数f(x)=2x 2-mx+3当x ∈[2，+∞）时是增函数，则实数m 的取值范围 _____⑶设f （x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7）＝－17，求f(7）的值。

⑷已知f （x)是奇函数，g(x)是偶函数,且f （x ）－g(x ）＝ ,求f(x)、g(x).【学习探究】 一、函数单调性的判断及应用 例1、试讨论函数 上的单调性【变式训练】试讨论函数f(x) 上的单调性，其中a 为非零常数.例2、函数f （x)＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上单调，则（ ）A ．a ∈（－∞，1］B ．a ∈［2,＋∞）C ．a ∈［1，2］D ．a ∈(－∞，1]∪［2，＋∞)【变式训练】 已知函数f （x)＝x 2＋2（a －1)x ＋2在区间（－∞，4]上是减函数,求实数a 的取值范围．例3、已知f （x)是定义在[－1，1]上的增函数,且f （x －2)〈f （1－x ），求x的取值范围二、函数奇偶性的判断和应用例4.判断下列函数的奇偶性(1）f （x)=5x+3 （2）f （x)=x －2+x 4（3） (4）【例5】已知)(x f 是定义域R 为的奇函数，当0<x 时，2)(2-+=x x x f ， 求11+x ),0()0(,)(+∞≠+=在a x a x x f ）在（1,1-12-=x ax 2211)(x x x f -++=⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=)0(32)0(0)0(32)(22x x x x x x x x f的解析式.三、单调性和奇偶性的的综合应用例1： 设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为减函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小顺序练习：1：()y f x =在(0,2）上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则157(),(),()222f f f 的大小关系2：若函数2()f x x mx n =++，对任意实数x ,都有(1)(3)f x f x -=+成立，试比较(1),(2),(4)f f f - 的大小关系3、已知函数21()4f x ax bx a b=+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b4、若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。

热点专题2-2函数单调性与奇偶性15类题型全归纳【题型1】函数的单调性 (2)【题型2】复合函数单调性的判断 (3)【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围 (4)【题型4】利用单调性求最值或值域 (6)【题型5】由单调性求参数的范围 (7)【题型6】结合单调性解函数不等式 (8)【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值 (10)【题型8】函数的奇偶性的判断与证明 (11)【题型9】函数图像的识别 (13)【题型10】利用单调性，奇偶性比大小 (16)【题型11】已知函数的奇偶性求参数 (17)【题型12】解奇函数不等式 (19)1/242/24【题型13】解偶函数不等式.......................................................................................................20【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题...................................................................21【题型15】存在任意双变量问题...............................................................................................22【题型1】函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）几条常用的判断单调性的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x为减函数，1()f x 为增函数．3/241．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，使得()()12120f x f x x x -<-”成立的是（）A ．2()21f x x x =--+B ．1()f x x x=-C ．()1f x x =+D ．2()log (2)1f x x =+【巩固练习1】已知函数()f x 的定义域为R ，则“(1)()f x f x +>恒成立”是“函数()f x 在R 上单调递增”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【巩固练习2】（2024·陕西榆林·一模）已知函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，则对实数0,0a b >>，“a b >”是“()()f a f b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题型2】复合函数单调性的判断复合函数的单调性：“同增异减”判断复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的单调性的步骤，第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。