变分迭代法对热传导系数与温度相关的的对流直翅片的效率分析(翻译)

S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 I 变分迭代法对热传导系数与温度相关的 对流直翅片的效率分析 萨法Bozkurt Coskun， 穆罕默德 阿齐兹 阿塔伊 土木工程系，尼代大学， 51245尼代，土耳其 数学系，尼代大学， 51245尼代，土耳其 收到2007年８月23日;接受2008年1月１７日 网上提供2008年１月26日

摘要 为了增强物体主要表面与环境之间的热量传递，利用辐射延展表面是很普遍的方法。尤其是在有较大温差的情况下，变导热系数对这样的表面的性能有很强的影响。在这种情况下，变分迭代法被用作分析热传导系数与温度相关的对流直翅片的效率。变分迭代法解决了非线性微分方程解析表达式的问题。为了表现出变分迭代法的效果 ，我们把通过变分迭代法（VIM）分析得到的结果与通过Adomian分解法（ADM）所获得的解决方案按照有限元分析的结果进行比较。这项工作确保了变分迭代法在对流直翅片的效率分析上是一种很有效的方法。 ©2008 Elsevier爱思唯尔有限公司保留所有权利。

关键词：直翅;效率;变导热系数;变分迭代法; Adomian分解法;有限元法

1. 导言 位于物体的主要表面与周围介质之间的翅片表面已经强化了传热。Kern和Kraus在这个问题[1]上取得了一个研究进展。Aziz和Hug利用正则摄动法获得了变导热系数直对流翅片的一个封闭形式的解决方案。Yu和Chen [3]解出了导热系数线性变化条件下的导热-对流-辐射传热方程。Yu和Chen [4]还研究了变导热系数对流-辐射直翅片的最佳翅片长的问题。Sohrabpour和Razani [5]研究了变导热系数和变传热系数下的对流翅片最佳化问题。Razelos和Imre [6]引入了一个对流传热系数到翅片问题。Laor和Kalman [7]分析了不同的传热系数依变于温度的翅片。Bouaziz et al.[8]分析了热物理特性依变于温度的纵向翅片的效率。Arslanturk[9]用Adomian分解法获得了无量纲温度和导热系数与温度相关的翅片效率。Arslanturk[10,11]还研究了环形翅片的优化问题。最近Coskun and Atay [12]研究了直翅片和径向翅片的温度变化。 Adomian分解法（ADM）已经广泛应用于各种非线性传热[13–17]问题的分析。这种方法是一种获得非线性微分方程解析表达式的技术，该非线性微分方程[18]很大程度上取决于找到的Adomian多项式,然后使用它们通过Adomian分解法获得一个解析表达式作为解决方法。简言之，这是一个繁琐的过程，尤其是在获得更高精度的近似上。在最近几年一种被称作变分迭代法（VIM）[19]的解决方法展现了其在解决非线性微分方程上的重要作用。VIM是一种基于分析技术的高效率解决非线性微分方程的变分法，包括边界值和初始

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1359-4311 / $ -见前言 2008年Elsevier有限公司保留所有权利。 DOI编号： 10.1016/j.applthermaleng.2008.01.012 S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 II 主要符号表 A 积分常数 CA 翅片的横截面积（平方米） b 翅片长度（米） h 传热系数（瓦每平方米每K） k 翅片材料导热系数（瓦每米每K） ak 常温流体温度下的导热系数（瓦每米每K） bk 基准温度下的导热系数（瓦每米每K） L 线性微分算子 ñ 非线性微分算子 P 翅片周长（米） Q 换热量（瓦） Ť 温度（K） Ta 周围流体温度（K）

bT 带有翅片的基面的温度（K） x 翅片顶端长度（米） 希腊符号 β 描述导热系数不断变化的常量 η 牛顿冷却定律中的翅片效率 ξ 量纲坐标 λ 拉格朗日乘数

λ——

导热系数-温度曲线（每） ψ 翅片热几何参数 τ 可变积分 θ 无量纲温度

值问题，非线性系统微分方程，非线性偏微分方程方程[ 20,21 ] 。在目前许多问题的解决之所以选择VIM是因为该解决方法可以有效的应用于工程问题。VIM直接给出了与方程相 应的解是它与ADM相比的一个优势。VIM的求解方法与分解法相比也是要容易得多。在这方面来说，VIM在工程中的非线性问题的分析中是一个易于适用的方法。尽管ADM是过去使用的分析翅片效率[9]的方法，但是采用这种方法的效率不是用于测试的。在这项研究中，VIM是用于分析的目的，而ADM[9]和FEM（有限元分析）的结果用于测试。FEM对问题的分析采用FlexPDE ver. 5。在有限元分析中，二元基础和牛顿迭代被引用。一个均方根误差标准

用作迭代终止准则并且误差变动范围为710到1010。

2.问题界定 图1的直翅被假设为一个温度与导热系数相关的，任意横截面积为CA,周长为P，长度

为b的直翅。带有翅片的基面的温度为bT,周围液体问题为Ta，翅片的顶端是隔热的，则S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 III 其一维能量方程为

这里的k(T)表示温度与导热系数的相关性。如果假设导热系数为温度的线性函数，它就成为如下的公式：

这里的ak表示翅片在常温液体温度时的导热系数，λ——是一个不随导热系数变化的确定参数。下面介绍无量纲参数：

图1.几何直翅 公式（1）化简为下面的公式：

边界层条件如下：

2. 变分迭代法的求解问题 根据变分迭代法，下列微分方程可被认为是：

其中L是线性算子，和N是一个非线性算子，g(x)是一个变量。基于VIM，修正的函数关系式如下：

λ为拉格朗日乘数，它可以通过变分理论最佳地确定，下标n指n阶逼近，被视为受限制的变量，即 如果上面的推导是基于公式（4），那么相应的可以推出下面的公式： S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 IV

式中： L和N分别定义为线性算子和非线性算子如公式（4）中。拉格朗日乘数λ得到

如下的假设，受限制的变量

对L的选择可以确定λ的值，这也使得方程（8）中的积分方程更简单。

方程（8）中的迭代公式与用ADM解决相同的问题相比较，只是一个简单的近似。这主要是由于这样一个事实，即新的推导方法直接给出了表达式而不是从事总结递归逼近这样一个单调乏味的工作。

3. 翅片的温度分布 为了使VIM方法一开始就近似，θ假定为常数。这种自动开始近似满足方程（5）中的一个特定的边界条件。首先的四个迭代是

在方程（11）～(14)中，系数A使翅片顶端的温度，而且必须位于区间[0,1]。A的值由边界层条件方程确定。 作为一个起点，VIM的结果首先是与ADM的结果[9]和有限元分析的结果进行比较，在β=0的条件下。当导热系数为常数时，即β=0，方程（4）成为一个可以得到分析解的线性S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 V 方程组。无量纲温度分布的分析解θ是

在方程（15）中，当ψ=0.5和ψ=1.0（β=0）时，数值解决方案（ADM，VIM和FEM）进行了比较。在所有情况下，观察通过分析解和数值解获得的θ值的误差小于1×10-6 。这是由于要求解的等式在β=0时是线性的。在[9]中 ，当β=0时，有吻合很好的解析解，通过ADM的方法可以检验下面的计算。然而，目前当β=0该问题是线性的情况下，不能确定VIM或ADM在目前的非线性问题中的有效性。因此，在本研究中的第二次分析里还是通过有限元法进行的，目的是测试。 在图2～4中，无因次温度分布进行比较是为了选取各种变化的ψ值下的β值。这时从数字来看，当该问题变成非线性时，通过VIM得到的结果与通过FEM获得的结果吻合很好。而通过ADM[9]得到的结果却与二者不同。这也可以得出这样的结论，从这些数字上可以看出，在这项研究中VIM表达式的近似给出的解决方案提供了一个比ADM[9]在解相同的方程时更好的近似结果。

4. 翅片效率的解决 翅片效率的计算如下表述：

从方程（16）得到的该效率的一种近似VIM表达式如下：

观察发现，在[ 9 ]中， ADM表达的效率η从开始。这可以被视为一个语法错误，因为θ积分表达式[ 9 ]使得方程的结果从开始。在这项研究中，这一对效率的修正是用ADM的方法解决。 在β=0情况下得到的分析解如下： S.B. Coskun, M.T. Atay / Applied Thermal Engineering 28 (2008) 2345–2352 VI 在图8中，β=0时，方程（18）得到的解析解与VIM得到的解相当的吻合。这是一个预期的答案，因为这样一个事实，即对β=0的情况等式（4）给出的控制方程成了线性的，而VIM能对线性问题给出确切的结果。 为了用VIM方法得到翅片效率，首先，A的值，即翅片顶端温度，应该通过方程（5）对某一特定ψ和边界条件得出。然后翅片效率可选择任意方法决定。牛顿迭代法可用来估算A的值，通过有限元分析解决法得到翅片效率可以使用FlexPDE ver.5。 在图5～7中，通过VIM和FEM得到的翅片效率，在不同的β值下，与通过ADM得到的结果进行了比较。从这些图中可以观察到，与ADM给出的结果相比较，VIM的结果与FEM的结果的吻合度是可以接受的。 在图9和图10中，解自VIM和解自ADM的直翅片效率与FEM得到的结果分别进行了比较，为了表现出所提出的解决方法的效率。从两个图都可以得出VIM给出了比ADM更好的结果的结论。图10对VIM的比较可以用来提高等式（8）中迭代过程的近似阶数。然而，在这项研究中，为了比较的方便需要有相同的近似阶数。

图2.β=-0.5时无量纲温度变化比较 图3.β=-0.3时无量纲温度变化比较