北师大版数学九年级下册第三章圆

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圆知识点与练习
（1）圆是到定点的距离定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离
半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离半径的点的集合
（2）点和圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆 d r 点P在圆 d r 点P在圆 d r
例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系分别为点B在圆A ，点C在圆A ，点D在圆A ，
（3）定理：的三个点确定一个圆
（4）垂径定理：垂直于弦的直径这条弦并且平分弦所对的
推论1 ①平分弦(不是直径)的直径，并且
（注：运用垂径定理进行证明几何问题时，常需做出的辅助线的方法是）
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧
例2：如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
例3：在的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm，油的最大深度
为200mm，则油槽截面的直径为。

（例2图）（例3图）
（5）圆是轴对称图形，其对称轴是；圆也是中心对称图形，对称中心是
（6）定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对的弦的弦心距
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们
所对应的其余各组量都
例4：如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC,
则∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

（7）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是
（注：当问题中有直径时，常需做出的辅助线是）
例5：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35
0

∠BOC =_______°、∠BDC =_______°OABCD


O
B
A
C

A
B
C

D
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例6：如图，AB是⊙O的直径，若AB=AE
①BD 和 CD相等吗？为什么？② BD与 CD的大小有什么关系？为什么？

（8）圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角
例7：⊙O中，弦长等于半径的弦，所对的圆周角的度数为
（9）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，
直线L和⊙O相交 d r ；直线L和⊙O相切d r ；直线L和⊙O相离d r
例8：在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,
①若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系；
②若直线AB与半径为r的⊙C相切，则r的值为。
③若直线AB与半径为r的⊙C相交，则r的取值范围。
（10）切线的性质定理圆的切线垂直于
解有关圆的切线性质辅助线的作法：__________________________________________
切线的判定定理经过半径的外端并且的直线是圆的切线
证明圆的切线的方法：_____________________________
例9：如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，
∠APB＝40°，求∠ACB的度数。

例10：如图在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，
过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F
求证：直线DE是⊙O的切线

例11：
知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，

与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为2，求正方形ABCD的边长．

O
D
C
B

A
E

北师大版九年级数学下册第三章圆单元教学设计

-运用问题驱动的教学方法，激发学生的好奇心和求知欲，引导学生积极思考，提高解决问题的能力。
-采用小组合作学习，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.教学过程：
-导入：通过生活实例或数学故事引入圆的概念，激发学生的兴趣。
-基本性质：引导学生运用圆规画圆，观察圆的性质，如半径、直径、圆周率等，并运用这些性质解决简单几何问题。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们对于圆的基本概念和性质有一定了解，但对于圆的深入性质和综合应用仍需进一步引导和拓展。学生在空间想象力、抽象思维能力上存在差异，因此教学过程中需针对不同层次的学生进行差异化教学。此外，学生在解决实际问题时，可能对圆的相关知识运用不够熟练，需要通过丰富多样的教学活动，提高他们的知识运用和问题解决能力。在此基础上，教师应关注学生的情感态度，激发他们对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神，使他们在圆的学习中收获成就感，为后续数学学习奠定坚实基础。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆的基本性质、周长和面积的计算、圆的位置关系及切线、割线定理。
2.难点：
-圆的对称性质在解决几何问题中的应用；
-圆的切线、割线定理的掌握及在实际问题中的应用；
-学生空间想象力和抽象思维能力的培养。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生通过观察、实践、探索等途径主动发现圆的性质，培养学生的观察能力和动手操作能力。
-结合网络资源，拓展学生的学习视野，提高学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以生活中的圆形物体为例，如车轮、硬币、圆桌等，引导学生观察这些物体的共同特点，引出圆的概念。

北师大版九年级数学下册第三章3.5确定圆的条件课件(共28张PPT)

判断：
1、经过三点一定可以作圆。（× ）
2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（√ ）
3、三角形的外心到三边的距离相等。（× ）
4、等腰三角形的外心一定在这个三角形内。（×）
1、某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，
书P125 练习
小结：
课后日记：今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 有不明白的地方吗？_______ 它是:_________________
A
如图：⊙O是△ABC的
外接圆， △ABC是⊙O
的内接三角形，点O是
O C △ABC的外心
B
外心是△ABC三条边的垂
直平分线的交点，它到三角
形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?
A
O C
B
画出过以下三角形的顶点的圆
A
O ●
B
C
（图一）
A
O ●
┐
B
C
（图二）
A O ●
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（5）外接圆，外心的概念。
巩固新知应用新知
2、如图,
一根 5m 长的绳
于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.

北师大版九年级下册数学第三章圆含答案

A.α+βB. C.180°﹣α﹣βD.
6、如图，将一个半径为3，圆心角为60°的扇形AOB，如图放置在直线l上(OA与直线l重合)，然后将这个扇形在直线l上无摩擦滚动至O’A’B’的位置，在这个过程中，点O运动到点O’的路径长度为
A.4πB.3π+ 3 C.5πD.5π-3
7、如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（）
A.P在圆内B.P在圆上C.P在圆外D.无法确定
二、填空题(共10题，共计30分)
16、如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=12，P为上任意一点（不与点B，C重合），直线CP交AB的延长线于点Q，⊙O在点P处的切线PD交BQ于点D，则下列结论：①若∠PAB=30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6 ；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ=108．其中正确结论的序号为________．
参考答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、D
2、C
3、D
4、B
5、D
6、A
7、B
8、B
9、D
10、B
11、C
12、D
13、B
14、D
15、C
二、填空题(共10题，共计30分)
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
三、解答题(共5题，共计25分)
26、
27、
28、
29、
30、
（1）求证：DE是⊙O的切线
（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长
30、如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．