分式讲义
【思想方法】
1．转化思想
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
2．建模思想
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则
【主要公式】1.同分母加减法则:0bcbcaaaa
2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;
3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn 7.负指数幂: a-p=1pa a0=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
第 1 页 共 13 页 分式方程
概念总汇
1、分式方程的定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
说明：
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
2、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思想
把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（2）解分式方程的一般方法和步骤
第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步：解这个整式方程。
第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
说明：
（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
（2）增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
第 2 页 共 13 页 3、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：
分式方程应用题分类讲解（教师版）
一、【行程中的应用性问题】
例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？
分析：
所行距离 速度
时间
快车 96千米 x千米/小时
慢车 96千米 （x-12）千米/小时
等量关系：慢车用时-快车用时= （小时）
例2 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
解：设普通快车车的平均速度为xkm／h，则直达快车的平均速度为1.5xkm／h，依题意，得
xx6828=x5.1828，解得46x，
经检验，
例3 A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
96x9612x4060分析：
等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）
例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
解： 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：
例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
解： 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，
依题意，得：
例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。 所行距离 速度 时间
（完整版）分式的运算及题型讲解
§17.2分式的运算
一、分式的乘除法
1、法则：
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =?
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0）
2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bc
ad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。
三、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示：
2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd
bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
