分式__知识点_类型题_分类大全

2、下列各式：a-b x+35+y3()a+b1,,,x2-1有意义。

（2）当x=时，分式x-3A.2x+3 B.1x2-2 C.x(4)、（2013黔西南州）分式x2-1x-a无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b的值等于（1．如果把2y(x+y)2=()．3．不改变分式0.5x+0.2b+m=bB．ac-1=b-1a+b=0C．c-1D．2x+4x2-6x+92x2+8x+8；分式整章知识点及练习题1、分式概念a-b x+35+x a+b11．在，2+中，是分式的有（）2xπa-b aA、1个B、2个C、3个D、4个，，，x2+1，，(x-y)中，是分式的共有（）2xπ4a-b mA、1个B、2个C、3个D、4个2、分式有意义（1）当x___时，分式4x-3无意义．（3）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）11D.x2+1x+1的值为零，则x的值为（）A、-1B、0C、±1D、1（5）已知当x=-2时，分式x-bA．－6B．－2C．6D．24、分式的基本性质）2x-3y中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（A扩大5倍B不变C缩小5倍D扩大4倍）2.填空：x2-y2x-y2x()x+3=x2+3x；0.3y+1的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是4、下列各式中，正确的是（）A．a+m a a+b ab-1x-y1x2-y2=x+y5、约分m2-3m+2 m2-m x2-9m2-3m9-m2=1 ．在解分式方程：x - 1, 1 ,- 1 的最简公分母为 + 的结果是 （ ） m - 3 m + 3 2、计算 的正确结果是（ ）⎪ ÷1.化简代数式： m 2 - 2m + 1 m - 1 ÷ (m - 1 - ） 3、计算：-x-1 m + 14、先化简，再求值： 1 +5、若 x+ =2，则 x 2+ =．已知 x 2+3x+1=0，求 x 2+6、已知 a+b=3，ab=1，则 + 的值等于_______。

分式方程知识点复习总结大全分式及其基本性质1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母整式和分式统称有理式, 即有有理式整式，分式.2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.§ 分式的运算1. 分式的乘除法分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.§ 可化为一元一次方程的分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验例2 解方程：730100-=x x. 解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得 100（x-7）=30x. 解这个整式方程，得 x=10.检验：把x=10代入x(x-7)，得 10×（10-7）≠0所以，x=10是原方程的解.§ 零指数幂与负整指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.小结一、知识结构二、注意事项1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解.2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验.学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验.3.由于引进了零指数幂与负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.。

专题09分式的意义及基本性质（2个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义知识点2.分式的基本性质【方法二】实例探索法题型1.分式的概念题型2.求分式的值题型3.分式有无意义的条件题型4.分式值为零的条件题型5.分式的基本性质题型6.分式的约分题型7.最简分式【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件【方法四】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.分式的意义【方法二】实例探索法题型1.分式的概念1．（2020秋•浦东新区期末）在下列式子：﹣5x ，，a 2﹣b 2，，中，分式有（）A ．1个B ．2个C．3个D ．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式．故选：B ．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．2．（2020秋•嘉定区期末）在代数式，，，中，分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：，，，中，是分式的有：，共2个．【点评】此题主要考查了分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．题型2.求分式的值3．（2021秋•浦东新区校级期中）已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为．【分析】根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．【解答】解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴＝＝，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．4．（2021秋•金山区期中）当a＝﹣2时，代数式的值等于．【分析】将a＝﹣2代入分式求值．【解答】解：当a＝﹣2时，＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查求分式的值，熟练掌握求分式的值的方法是解决本题的关键．5．（2020秋•静安区期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是．【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．【解答】解：∵分式的值大于零，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为x＞﹣2且x≠1．【点评】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．题型3.分式有无意义的条件6．（2022春•杨浦区校级月考）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式有意义的条件判断即可．【解答】解：A选项，当m＝﹣1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；B选项，m＝﹣3时，分式没有意义，故该选项不符合题意；C选项，m＝3时，分式没有意义，∵m＜2，∴分式一定有意义，故该选项符合题意；D选项，m＝1时，分式没有意义，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．7．（2022·上海宝山·七年级期末）如果分式21xx+-有意义，那么x的取值范围是________．【答案】1x≠【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得：10x-≠，解得：1x≠．故答案为：1x≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件“分母不为零”是解答本题的关键．8．（2021秋•浦东新区期末）对于分式如果y＝1，那么x的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当x ﹣2y ≠0时，即x ﹣2≠0分式有意义，解得x ≠2，故答案为：x ≠2．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．题型4.分式值为零的条件9．（2022·上海普陀·七年级期末）当x ＝3时，下列各式值为0的是（）A ．43x-B ．293x x -+C ．33x x +-D ．239x x --【答案】B【分析】将3x =代入分式，然后根据分式有意义的条件（分母不能为零）和分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）进行分析判断．【详解】解：A.当3x =时，30x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；B.当3x =时，290x -=，30x +≠，原分式的值为0，故此选项符合题意；C.当3x =时，30x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；D.当3x =时，290x -=，原分式没有意义，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零，且分母不为零）是解题关键．10．（2021秋•浦东新区校级期中）如果分式的值为0，那么x 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【分析】直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x |﹣1＝0且x +1≠0，解得：x ＝1．故选：B ．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键．11．（2022·上海·七年级期末）若分式293x x --的值为零，则x ＝_______．【答案】-3【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x 2-9=0，x -3≠0，解出x 即可．12．（2022·上海宝山·七年级期末）已知分式2aba b+的值为25，如果把分式2aba b+中的,a b同时扩大为原来的3倍，那么新得到的分式的值为（）A．25B．45C．65D．42513．（2022·上海·七年级期末）把分式22x y-中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值…（）A．不变B．扩大到原来的2倍C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的1214．（2021秋•浦东新区期末）下列说法正确的是（）A．若A、B表示两个不同的整式，则一定是分式B ．如果将分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变C ．单项式23ab 是5次单项式D ．若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n ＝【分析】根据分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义即可求出答案．【解答】解：A 、若A 、B 表示两个不同的整式，则不一定是分式，故A 不符合题意．B 、如果将分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值变为原来3倍，故B 不符合题意．C 、单项式23ab 是2次单项式，故C 不符合题意．D 、若3m ＝5，3n ＝4，则3m ﹣n ＝，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题考查分式的定义，分式的基本性质，同底数幂的运算、单项式的定义，本题属于基础题型．题型6.分式的约分15．（2021秋•浦东新区期末）下列约分正确的是（）A ．＝x 3B ．＝x +yC ．＝D ．＝﹣【分析】根据分式的基本性质进行约分计算，然后作出判断．【解答】解：A .＝x 4，故此选项不符合题意；B .的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；C .的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；D .＝＝﹣，正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．16．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）约分：分式3bab b=+________．17．（2020秋•宝山区期末）下列分式中，最简分式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据最简分式的定义计算判断．【解答】解：A 、＝，所以A 选项不符合；B 、＝，所以B 选项不符合；C 、＝＝，所以C 选项不符合；D 、为最简分式，所以D 选项符合．故选：D ．【点评】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．【方法三】差异对比法易错点忽略分母不为0的条件18.当x 取何值时，分式2212x x x -+-的值为0？【答案】x=－1；【解析】依题得221020x x x ⎧-=⎪⎨+-≠⎪⎩，解得1112x x x =-⎧⎨≠≠-⎩或且，所以1x =-.求解此类题目，最易忽略分母不能为零的情况！19.当x 为何值时，下列分式的值为零：⑴4|1|5+--x x ⑵225(1)(5)x x x ---【解析】⑴6x =；⑵5x =-；易错点：忽略分母不为零的条件【方法三】成果评定法一．选择题（共6小题）1．（2022秋•闵行区校级期末）分式中x 的取值范围是（）A ．x ≠2B ．x ≠﹣2C ．D ．【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴2x ﹣1≠0，∴x ≠．故选：D ．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．（2023秋•普陀区校级期中）如果分式的值为零，那么x 、y 应满足的条件是（）A ．x ＝1，y ≠2B ．x ≠1，y ＝﹣2C ．x ＝1，y ≠﹣2D ．x ≠1，y ＝2【分析】根据分子为0，分母不为0时，分式的值为0，得方程求解即可．【解答】解：由于分式的值为0，所以解得，x ＝1，y ≠﹣2故选：C ．【点评】本题考查了分式值为0的条件．解决此类问题，容易只考虑分子为0，而忽略分母不等于0的条件．3．（2022秋•上海期末）如果分式的值为零，那么x 等于（）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．0【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的值即可．【解答】解：∵的值为零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．4．（2022秋•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是（）A．+3B．C．﹣+5D．【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；D．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分母中含有字母的代数式，叫分式．5．（2022秋•上海期末）分式中，当x和y分别扩大3倍时，分式的值（）A．扩大9倍B．扩大6倍C．扩大3倍D．不变【分析】根据分式的基本性质化简即可．【解答】解：＝＝＝4，∴分式的值扩大3倍，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．6．（2022秋•浦东新区校级期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．【解答】解：A、原式＝＝x+2，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝＝x+y，不符合题意；D、原式为最简分式，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．二．填空题（共19小题）7．（2022秋•上海期末）要使分式有意义，则x的取值范围是x≠﹣2．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母x+2≠0，即x≠﹣2时，分式有意义．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．8．（2022秋•青浦区校级期末）如果分式的值为零，那么x＝﹣2．【分析】根据分式值为零的条件可得2﹣x≠0，且x2﹣4＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x2﹣4＝0，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．9．（2021秋•黄浦区期末）当x＝0时，分式的值为零．【分析】令2x＝0，且x+3≠0即可解出结果．【解答】解：由题意可得：，解得：x＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟知分式的值为零时要满足的条件是解题的关键．10．（2021秋•金山区期末）分式中字母x的取值范围是x≠．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0即可算出答案．【解答】解：∵2x﹣3≠0，∴x≠；故答案为：x≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，解题关键：分式有意义的条件为分母不为0．11．（2022秋•浦东新区校级期末）对于分式，如果x＝1，那么y的取值范围是y≠﹣4．【分析】根据分式有意义的条件（分母不为零）列不等式求解．【解答】解：当4x+y≠0时，即4+y≠0分式有意义，解得y≠﹣4，∴y的取值范围是y≠﹣4，故答案为：y≠﹣4．【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题关键．12．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝1时，分式的值为零．【分析】直接利用分式的值为零可得分子为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为零，∴x﹣1＝0，2﹣x≠0，解得：x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．13．（2022秋•宝山区校级期末）当x＝﹣1时，分式的值为0．【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．14．（2022秋•宝山区期末）如果分式有意义，则x的取值范围是x≠±1．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：|x|﹣1≠0，解得：x≠±1，故答案为：x≠±1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．15．（2022秋•宝山区期末）化简：＝．【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质约分即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了约分，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．16．（2021秋•宝山区期末）化简：＝a+3．【分析】先将原式分子部分进行因式分解，再进行约分即可解答．【解答】解：＝＝a+3．故答案为：a+3．【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法进行因式分解是解题关键．17．（2022秋•宝山区校级期中）正整数a与b满足正整数，则b＝18或2．【分析】根据题意可求出b﹣1的值，从而可求出b的值．【解答】解：由题意可知：a与b是正整数，∴b﹣1＝17或1，∴b＝18或2，故答案为：18或2．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确求出b﹣1的值，本题属于基础题型．18．（2022秋•奉贤区期中）当a＝2时，代数式的值为2．【分析】将a＝2代入代数式求解即可．【解答】解：将a＝2代入，得原式＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了求分式的值，熟练掌握求代数式值的方法是解题的关键．19．（2022秋•徐汇区期末）x＝1时，分式无意义，则a＝2．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得当x＝1时，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．20．（2022秋•静安区期中）如果＝，那么＝5．【分析】根据已知条件求得x＝3y，然后代入求值．【解答】解：∵，∴x＝3y，原式＝，故答案为：5．【点评】本题考查分式的求值，利用等式的性质求得x＝3y是解题关键．21．（2022秋•静安区校级期中）已知2x+3y＝0，代数式＝﹣．【分析】将x＝﹣y代入，再化简运算即可．【解答】解：∵2x+3y＝0，∴x＝﹣y，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查分式的值，熟练掌握分式的化简运算，将x＝﹣y整体代入所求的代数式进行化简是解题的关键．22．（2022秋•虹口区校级期中）如果分式无意义，那么分式的值为7．【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，列出x的方程求得x的值，再代入所求代数中进行计算便可．【解答】解：∵分式无意义，∴2+x＝0，解得x＝﹣2，∴＝＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了分式的无意义的条件，求分式的值，关键根据分式无意义列出x的方程．23．（2022秋•静安区期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为零；（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠﹣3；（3）当a＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为（答案不唯一）．【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将a＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数．【解答】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠﹣3，可知当a＝﹣3时，分式的分母等于零；根据（3）当a＝0时，分式的值为﹣1，可知把x＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数．综上可知，满足条件的分式可以是：，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键．24．（2022秋•虹口区校级月考）若分式中的a和b都扩大到10a和10b，则分式的值扩大10倍．【分析】根据分式的基本性质代入化简即可．【解答】解：＝＝，所以把分式中的a和b都扩大到10a和10b，那么分式的值扩大10倍．故答案为：10．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．25．（2022秋•徐汇区期末）当x＝﹣1时，分式的值为零．【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得分式的值为零．【解答】解：由分式的值为零的条件得|x|﹣1＝0，x﹣1≠0．解得x＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，要求掌握．分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0．。

第十六章分式【知识点1】分式1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.【知识点2】有理式有理式的分类：有理式【知识点3】分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：（其中M≠0）【知识点4】约分和通分1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.【知识点5】最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.●知识链接：1分数的意义2.分数的基本性质3.分数基本性质的作用●中考考点本节的常考知识点有：1. 分式的有关概念，分式的意义，分式的值等于零.2. 分式的约分，分式的分子、分母的系数化整化正.3. 求分式的值以及分式与其它题的综合分式方程●学习目标1. 理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根.2. 列出分式方程，解简单的应用题.●重点难点重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法.难点：（1）了解产生增根的原因，并有针对性地验根；（2）应用题分析题意列方程.●知识概要1. 分式方程的概念2. 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；（3）找：找出等量关系；（4）列：列出分式方程；（5）解：解这个分式方程；（6）验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）答：写出答案.●知识链接解分式方程主要是将其转化成整式方程来解.解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零.●中考视点: 本节内容在中考中经常出现，通常是以计算题或应用题的形式出现，并且多与其它章节如函数、方程等知识结合，因此，一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用，切记一定要验根.第二节、教材解读一、约分的根据、实质与关键约分的根据是分式的基本性质；约分的实质是将一个分式化成最简分式——分子与分母没有公因式的分式；约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式.二、确定分子、分母公因式的方法分子与分母的公因式是：分子、分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积.三、约分时应防止的三类错误1．有关分式的概念辨析，字母或分式的取值等问题，一般不用约分，否则会造成错误.2.约分时，分子的整体与分母的整体都要除以同一个（公）因式，当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.等都是错误的.其中（1）中的分式已是最简分式，不需再约分；（2）的正确答案是.为此，必须牢记，只有当分子、分母都是乘积形式时才能约分.3.分式的分子与分母是同底数的幂做因式时，应约去最低次幂，切不可对指数进行约分.就犯了用指数6与2约分的错误，正确的结果是四、掌握解分式方程的步骤解分式方程的一般步骤是：一是方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；二是解这个整式方程；三是检验.如：解方程： .第一步：方程两边都乘以x（x＋6），得90x＋540＝60x；第二步：解这个整式方程，得x＝－18；第三步：检验：把x＝－18代入原方程的左、右两边有左边＝右边，即－18是原分式方程的解.五、列分式方程解简单的实际应用问题列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.如：如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？解：第一步：审清题意；第二步：设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；第三步：王老师现在骑车所用的时间－原来步行所用时间＝20min；第四步：根据题意，得；第五步：解这个方程：去分母，得3+3+0.5－1.5＝x，即x＝5；第六步：经检验x＝5是原方程的解，所以3x＝15；第七步：答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.第三节、错题剖析分式概念是本章学习的基础，由于学生的认知水平和经验的不足，特别容易出现一些常见的通病.下面将通过举例讲解，让同学们少走弯路，更快地学好分式的基础知识.同学们在学习过程中可能会犯以下错误.一、分式概念理解偏差【例1】下列各式是分式的是（）错解1：显然B 式分母中含有字母，又是的形式，所以选B.错解2：显然A 、D 都是整式，经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B.错解分析：前者误认为π是字母.其实π是常数；后者先约分再判断是不行的.正解：选C.反思：（1）把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母.分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.（2）分式的判断是看形式，数的判断是看结果.如数的结果是3，所以是有理数不是无理数.二、分式的值为零的条件混乱【例2】当x 取何值时，的值为0？错解1：因为x无论等于2还是-2，分式的值为0，均无意义，故x没有值可取；错解2：x=±2错解分析：前者误认为分式的值为0属于无意义，后者却忽视分式的值为0的前提条件是分式有意义.正解：x=2.反思：弄清分式的值为零的条件有两个：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零.这两个条件必须同时具备才可.三、分式无意义的条件不清【例3】当x _____ 时，分式无意义.错解：因为当x=1时，分母的值为0，故x=1.错解分析：这个答案只考虑了分母为零时x=1，忽视了-1＝0时x=±1都使分母为零．属于思维习惯上的问题.正解：x=±1.四、分式基本性质理解错误【例4】不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数错解：错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了，违背了分式的基本性质.五、去分母时常数漏乘公分母【例5】解方程错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.六、去分母时，分子是多项式不加括号【例6】解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程两边同除可能为零的整式【例7】解方程 .错解：方程两边都除以3x-2，得，所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=.检验：当x=时，原方程的左边=右边=0，所以x=是原方程的解.第四节、思维点拨【例1】已知且a、b都不等于0，求的值【思考与分析】从题目的条件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值.得（a-b）·（a-2b）=0.所以a-b＝0或a-2b＝0；当a-b＝0时，得a=b≠0，当a-2b＝0时，得a=2b≠0，所以综上可得，【反思】本题是求含字母的分式，利用因式分解，两个因式的积为零，则可转化为两个因式中至少有一个为零，代入分式来求解，注意前提仍然是分式必须有意义.【思考与分析】可以灵活运用这个条件.①要求的分式也可以化成含的形式，整体代入即可；【反思】本题在求值过程中利用了分式的基本性质，并且采用多种方法来利用已知条件使问题简化.【例3】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍，求这两种车的速度.解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程【解法1】：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时.根据题意得：解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根.所以1.5x＝1.5×40＝60答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时.解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程【解法2】设摩托车行30千米所用的时间为x小时，则抢修车所用的时间为（x －）小时，根据“抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍”得：解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程【解法3】设摩托车行30千米所用的时间为x 小时，则抢修车行驶30千米所用的时间为（x－）小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为×1.5千米/时，根据“抢修车的速度×抢修车所用的时间=总路程30千米”得：（×1.5）（x－）＝30解题思路四：列方程组解答【解法4】设摩托车与抢修车每小时分别行驶x千米、y千米，根据题意得方程组：（2、3、4解答过程略）【小结】题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度.前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程的形式.【例5】读下列一段文字，然后解答问题.已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是；方程的解是．【探究一】观察上述方程及其解，再猜想方程的解，并写出检验过程.解：猜想方程的解是．检验：当x＝11时，左边＝，右边＝，所以左边＝右边；当x ＝时，左边＝右边＝.∴x1＝11，x2＝是方程的解.【探究二】你能猜想方程（n为正整数）的解吗？若能请你验证你的猜想是否合理？解：猜想方程（n 为正整数）的解是x1＝n＋1，x2＝－.检验：当x＝n＋1时，左边＝n＋1－＝，右边＝，所以左边＝右边；当x＝－时，左边＝右边＝.∴x1＝n＋1，x2＝－是方程x －＝（n为正整数）的解.【例6】解方程【思考与分析】因为方程中有分母，所以首先应该去掉分母，只是注意，原来整式方程中分母全是数，而分式方程中则是代数式，因而去分母时应该两边同乘一个代数式，这里应该同乘x（x－1）.解：去分母，两边同乘以x（x－1）得:x（x－1）－x（x－1）·＝·x（x－1）化简得：x2－x－（x2－1）＝2x去掉括号，得：3x=1，∴ x=检验：把x=代入原方程的各个分母，都不为0.∴x=是原方程的解.【反思】（1）在解分式方程时，因乘的是同一个代数式，最后求得的根可能使同乘的这个代数式的值为0，这样的根叫做增根，但不是每个方程都有增根.因此，在解完方程之后，一定要检验方程的根，如果是增根，就标出来并且舍去.（2）在去分母时，同乘的是一个代数式，在题目中，可能有的项没有分母，这种项也同样要乘以这个代数式.第五节、竞赛数学当题目中的未知数具有对称关系时，应用基本对称式：x＋y＝a，xy＝b，进行替换，可使解题过程简化.现以部分竞赛题为例，介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用.【思考与分析】首先看题目给的条件似乎没有必然的联系，但是经过化简含有可以利用建立联系解答.【例2】如果a2－3a＋1＝0，那么，的值是 ______ .【思考与分析】这题看起来没有对称关系，但是不要急，我们先从题目中所给的已知条件入手，可解出一个关于a 的新的关系式再将分别换元为x、y，所求的分式经过化简也可以用含有x、y的分式来求.【思考与分析】题目看起来很麻烦，无从下手，大家仔细观察已知分式与要求分式的对应项系数的关系，就可以知道将已知的等式取倒数就可以找到相应的关系了.【例4】若a、b 都是正实数，且求的值【思考与分析】由已知条件入手，可以得出这样就与要求的分式建立联系了，设可求出x与y的关系，代入要求的分式来解即可.【例5】证明恒等式【思考与分析】本题两边如果通分，可见其分母相同，若等式成立，则分子也必定相等，但这样运算量太大;如果把左边的分子灵活变形如b-c=（a-c）-（a-b）则可简化运算.证明: 原式左边=故原等式成立.【例6】使实数a、b、c 满足，求证:.【思考与分析】这里999是奇数，从题目的格式看，应该是对一般的奇数都成立，因而可以考虑由一般到特殊的证明方法.证明: ∵，故（bc+ca+ab）·（a+b+c）=abc.整理可得: （a+b）（b+c）（c+a）=0，故a=-b或b=-c或c=-a．不妨设a=-b，则a2n-1=-b2n-1，令n=500代入上式可得.小结：分式证明题形式多种多样，一般的证明途径有:（1）由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方因式分解换元降次等多种变形，逐步推到另一边；（２）将等式两边同时变形为同一个代数式，从而推出相等的结果.第六节、本章训练基础训练题分式一、细心填一填（共7题,每题４分，共２８分）1.x=3 分式的根（填“是”或“不是”）.2.当x= 时，分式与的值相等.3.试写出一个解为x=2的分式方程 .4.分式方程的根是 .5.已知分式的值是零,那么x的值是 .6.若有增根，则增根为 .7. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程5*（x-1）=3的解为 .二、精心选一选（共９题，每小题５分，共4５分）8.下列方程中是分式方程的是（）A. B. C.y＋2＝3 D.9.把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）A.1＋（1－x）＝x－2B.1＋（1－x）＝1C.1－（1－x）＝x－2D.1－（1－x）＝110.要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（）A.2x－4B.xC.2（x－2）D.2x（x－2）11.方程的解是（）A.1B.-1C.±1D.２12.已知，用含x的代数式表示y，得（）A.y＝2x＋8B.y＝2x＋10C.y＝2x－10D.y＝2x－813.关于x 的方程的解为x=1，则a等于（）A.1B. －3C.－1D. 314.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A. B.C. D.15.用换元法解分式方程，如果设，则原方程可变形为（）A. B. C.D.16.下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）A. B. C.D.三、耐心做一做（第17题１２分，第18题15分）17.解方程:18.八年级（2）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车速度的1．5倍，求慢车的速度.分式方程一、精心填一填（共8题，每小题4分，共32分）二、细心选一选（共8题，每小题5分，共40分）14.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）.A.x>0B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠116.已知两个分式其中x≠±2,则A与B的关系是（）.A. 相等B. 互为倒数C. 互为相反数D. A大于B三.解答题（第17题12分，第18题16分）17.化简求值：其中x=－3.18.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：提高训练题4.解方程5.解方程：6.甲、乙两班参加绿化校园活动.已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？7.已知x2－5x－2000＝0，则代数式的值是（）.A.2001B.2002C.2003D.20048.化简（＝.9.已知，则的值为.10.解关于x的方程：ax－b＝2x－3.强化训练题一、精心选一选1.下列代数式中：是分式的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列判断中，正确的是（）A.分式的分子中一定含有字母B.当B＝0时，分式的值为0C.当A＝0，Ｂ≠０时，分式的值为0（A、B为整式）D.分数一定是分式3.分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是（）A.分式的值为零B.分式无意义C.若a≠－时，分式的值为零D.若a≠时，分式的值为零4.分式中的字母x、y都扩大为原来的4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大为原来的4倍C.扩大为原来的8倍D.缩小为原来的5.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A.10B.9C.45D.906.下列各分式中，最简分式是（）二、细心填一填8.当x 时，分式有意义.9.当x 时，分式的值为零.10.当a＝时，分式无意义.11.约分：＝.三、耐心做一做12.当x 为何值时，分式的值为负？13.把化为整数系数.14.不改变分式的值，把下式分子、分母中最高次项的系数变为“＋”号：.四、应用题15.2008年夏季奥运会将在北京举行.为了支持北京申奥成功，红、绿两支宣传北京申奥万里行的车队在距北京3000千米处会合，并同时向北京进发.绿队走完2000千米时，红队走完1800千米，随后，红队的速度提高20％，两车队继续同时向北京进发.（1）求红队提速前红、绿两支车队的速度比.（2）红、绿两支车队能否同时到达北京？说明理由.（3）若红、绿两支车队不能同时到达北京，那么哪支车队先到达北京？并求出第一支车队到达北京时，两车队间的距离.综合训练题一、选择题（每题５分，共30分）1．下列分式中，一定有意义的是（）2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（）A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.以上都不对3．下列变形正确的是（）4．下列运算正确的是（）5．将分式的分子、分母各项系数都化为整数，正确的结果是（）6．如果从一捆粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a，再称得剩余电线的质量为b，那么原来这捆电线的总长度是（）二、填空题（每题5分，共30分）7．当x= 时，分式的值为零.8．分式约分的结果是 .9．计算：= .10．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时.11．代数式中x的取值范围是 .12.方程＝1的解是 .三、解答题（共40分）13．（11分）计算：－x14．（13分）计算，并把负指数化为正：（2mn－2）－3（－m－2n－1）－215．（16分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、C两城的距离为450km，B、C两城的距离为400km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度.。