高中数学 1.3全称量词与存在量词课件 北师大版选修2-1

1.3．1 全称量词与存在量词

班级 姓名

学习目标：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；

2. 掌握含有量词的命题：全称命题和存在性命题真假的判断.

学习重难点：含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．

一．引入新课

复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：

（1）2是有理数；（2）5不是15的约数

（3）8715 （4）空集是任何集合的真子集

复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：

（1）pq，这里p：是无理数，q：是实数；

（2）pq，这里p：是无理数，q：是实数；

(3) pq，这里p：23，q：8715；

(4) pq，这里p：23，q：8715.

探究问题：

1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？

（1）3x； （2）21x是整数；

（3）对所有的,3xRx； （4）对任意一个xZ，21x是整数.

2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？

(1)213x； (2)x能被2和3整除；

（3）存在一个0xR，使0213x； （4）至少有一个0xZ，0x能被2和3整除.

新知：1.短语“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.

其基本形式为： ，读作：

2. 短语“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做存在性命题.

第1页 共2页 第一章DIYIZHANG常用逻辑用语

§3 全称量词与存在量词

课后篇巩固提升

A.所有的奇函数的图像都关于y轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.空间中不相交的两条直线相互平行

D.存在大于或等于9的实数

答案D

A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(=0时f(使f(=1时,f(=0时,f(x)是偶函数.

答案B

A.[4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,1]

答案C

5.若“对任意x∈[0,π4],都有tan 的最小值为 .

答案1

解析由0≤x≤π4,可得0≤tan的最小值为1.

答案存在k>0,方程x2+x-k=0无实根 第2页 共2页 答案[-2√2,2√2]

解析由题意可知,2x2-3ax+9≥0对一切x∈R恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.

答案存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3

(1)所有正方形都是矩形;

(2)至少有一个实数x使x3+1=0;

(3)存在θ∈R,函数y=sin(2x+θ)为偶函数;

(4)任意x,y∈R,|x+1|+|y-1|≥0.

10.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围.

解因为f(x)的图像的对称轴为直线x=2,

所以f(x)在[-1,1]上是减少的,

欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有{𝑓(1)≤0,𝑓(-1)≥0,

即{𝑎≤0,8+𝑎≥0.所以-8≤a≤0.

故实数a的取值范围是[-8,0].

1.(2012·上饶质检)下列命题是特称命题的是( )

①有一个实数a，a不能取对数；

②所有不等式的解集A，都有A⊆R；

③有些向量方向不定；

④矩形都是平行四边形．

A．①③

B．②④

C．①②

D．③④

解析：选A.找出命题中含有的量词，根据量词的特征即可判断．①中含有存在量词“有一个”；②中含有全称量词“所有”；③中含有存在量词“有些”；④中含有存在量词“都是”．故①③是特称命题．

2.命题“每个二次函数的图像都开口向下”的否定是( )

A．每个二次函数的图像都不开口向上

B．存在一个二次函数，其图像开口向下

C．存在一个二次函数，其图像开口向上

D．每个二次函数的图像都开口向上

解析：选C.所给命题为全称命题，故其否定应为特称命题，即存在一个二次函数，其图像开口向上．

3.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

解析：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0，因为已知命题是特称命题，所以该命题的否定是全称命题．存在量词“存在”的否定是全称量词“任意”，所以该命题的否定是“对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．

答案：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0

4.(2012·阜阳检测)命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)

解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34>0，所以只需m2－m≤0，即0≤m≤1.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．

答案：真

[A级 基础达标]

1.(2012·南阳质检)已知命题p：任意x∈R，sinx≤1，则p的否定为( )

A．存在x∈R，sinx≥1

B．任意x∈R，sinx≥1

C．存在x∈R，sinx＞1

D．任意x∈R，sinx＞1 解析：选C.由全称命题的否定，将“任意”改为“存在”，“sinx≤1”改为“sinx＞1”，可知选C.

1．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[知识梳理]

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．

(2)概念

用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；

对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.

(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

(4)命题的否定与否命题的区别

①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．

②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．

2．全称量词和存在量词

3．全称命题和特称命题

4．复合命题的否定

(1)“綈p”的否定是“p”；

(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；

(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”． [诊断自测]

1．概念思辨

(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．( )

(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( )

(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )

(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．教材衍化

(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是( )

A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0

B．∃x>0，使得x2－x＋3>0

C．∀x>0，都有x2－x＋3>0

D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0

答案 B

解析 命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.

(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则( )