高三数学1.3.1全称量词与存在量词 课件 (北师大选修1-1)

第一章DIYIZHANG常用逻辑用语
§3全称量词与存在量词
课后篇巩固提升
A.所有的奇函数的图像都关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.空间中不相交的两条直线相互平行
D.存在大于或等于9的实数
A.存在m∈R,使函数f(x)=x2+mx(=0时f(使f(=1时,f(=0时,f(x)是偶函数.
A.[4,+∞)
B.[1,4]
C.[e,4]
D.(-∞,1]
],都有tan 的最小值为.
5.若“对任意x∈[0,π
4
0≤x≤π
,可得0≤tan的最小值为1.
4
k>0,方程x2+x-k=0无实根
√2,2√2]
,2x 2-3ax+9≥0对一切x ∈R 恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.
x ∈R,|x-2|+|x-4|≤3
(1)所有正方形都是矩形;
(2)至少有一个实数x 使x 3+1=0;
(3)存在θ∈R,函数y=sin(2x+θ)为偶函数;
(4)任意x,y ∈R,|x+1|+|y-1|≥0.
10.已知函数f(x)=x 2-4x+a+3,a ∈R.若函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,求a 的取值范围.
f(x)的图像的对称轴为直线x=2,
所以f(x)在[-1,1]上是减少的,
欲使f(x)在[-1,1]上存在零点,应有{f (1)≤0,f (-1)≥0,
即{a ≤0,8+a ≥0.
所以-8≤a≤0. 故实数a 的取值范围是[-8,0].。

解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时， g(x)min＝g(2)＝14－m，由题意得 f(x)min≥g(x)min， 即 0≥14－m，所以 m≥14.
引申探究 本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则 实数m的取值范围是__12_，__＋__∞__ _.
D选项中当x1＝0时，结论不成立.
题型二 含有一个量词的命题的否定
1.已知命题p：“∃x0∈R，ex0 －x0－1≤0”，则綈p为 A.∃x0∈R，ex0－x0－1≥0 B.∃x0∈R，ex0－x0－1>0
√C.∀x∈R，ex－x－1>0
D.∀x∈R，ex－x－1≥0
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系， 可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
思维升华
对全称命题、特称命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词， 再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定.
题型三 根据命题的真假命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2 －a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_(_－__∞__，__－__2_]_.
跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是 A.∀x∈R,2x－1>0
√B.∀x∈N*，(x－1)2>0
C.∃x0∈R，lg x0<1 D.∃x0∈R，tan x0＝2
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号， 故B不正确； 易知A，C，D正确，故选B.
1
(2)已知函数f(x)＝x2 ，则
跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R， x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数 m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝__1__.

1.5.1 全称量词与存在量词
[跟进训练]
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数 m 的
取值范围是( )
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B [命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 Δ＜0，即 m＞
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题
的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个 60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于 0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
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(5)存在一个实数 x，使等式 x2＋x＋8＝0 成立．
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[解] (1)真命题，因为 x2≥0，
所以 x2＋1≥1，x2＋1>12恒成立． (2)真命题，例如 α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4 等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
[解] (1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程 ax＋b＝0 恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x 既能被 2 整除，又能被 3 整 除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y 是四边形}，x 不是平行四边形．

[答案 ] 真
12 3 3 [解析] 由于任意 x∈ R， x ＋ x＋ 1＝ (x＋ ) ＋ ≥ >0，因 2 4 4
2
为只需 m2－ m≤ 0，即 0≤ m≤ 1，所以当 m＝ 0 或 m＝1 时，任 意 x∈ R， m2－ m< x2＋ x＋ 1 成立，因此命题是真命题．
7．分别写出下列各命题的“p∨ q”、“p∧ q”和“ ¬p” 的形式，并判断它们的真假． (1)p： 3 是无理数， q： 3是实数； (2)p： 4>6， q： 4＋ 6≤10； (3)p： 8 是 30 的约数， q： 6 是 30 的约数； (4)p： 矩形的对角线互相垂直，q： 矩形的对角线互相平分．
π 2sinx＋ ∈ [－ 4
2 ， 2]知④正确．
1 5．命题“对一切非零实数 x，总有 x＋ ≥2”的否定是 x ________，它是________(填“真”或“假” )命题．
1 [答案] ∃x∈R，x≠0，x＋ <2 真 x
1 [解析] 例如：x＝－2，则 x∈R，x≠0，x＋ <2. x
所以 p、 q 中至少有一个为真命题．
4．给出如下几个结论： ①命题“存在 x∈ R， sinx＋ cos x＝ 2”的否定是“存在 x ∈ R，sinx＋ cos x≠ 2”； 1 ②命题“任意 x∈ R，sinx＋ ≥ 2”的否定是“存在 x∈ sin x 1 R， sinx＋ <2”； sin x ③对于任意
真
假 假 假
真
假
真
假 假 假
假
假
真
真
真
真
假
真
真
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3.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一 个”、“任何一个”、“所有”等． (2)常见的存在量词有：“存在”、“至少有一个”、“有 些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．