MATLAB在机械优化设计中的应用

ＭＡＴＬ ＡＢ中 由 ｌ ｐ ｏ ｉ ｒ ｇ函数来 求 解线 性 规划 问题 。 ｎ
线 性规 划模 型如下 ：
ｍｉｆ Ｘ ｎ
ｘ Ｈｘ＋ ｒｘ Ｔ
（） ３
，
Ａ ＊Ｘ （ 性 不 等 式 约 束 ） 线
ｓｔ ＪＡ ｑ＊ ＝ ｂｑ 线性等式约束 ） ．． ｅ ｅ（ Ｉ 鱼 优化变量 上下界约束） ／ ｂ ｌ（
略） ；
ｅｉ ａ ｚ ｇ为迭 代终 止 条件 （ 省 略 ） 为正 数 时 ， 可 ，
表示 目标 函数 收 敛 于 解 ｚ处 ； 负 数 时 ， 示 目标 为 表 函数不 收敛 ； 为零 ， 则表 示 已经达 到 函数评 价或 迭代 的最大次 数 ；
设 计 中 的问题 不仅方 便 实用 ， 而且 编程 简单 易懂 。
问 题 采 用 ｆ ｎ ｎ 函 数 、 ｍｉｕ ｅ函 数 和 ｆ ｎ ｍｉｂ ｄ ｆ ｎｎ ｍｉ— ｓａｃ ｅ ｒｈ函 数 ， 中 默 认 的 算 法 就 是 Ｂ ＧＳ算 法 。 其 Ｆ
式 中 ， （ ） Ｃ ｑ ｘ 分 别 为非 线性 函数 ， Ｃ 、 ｅ（） 其余 参 数 意
义 同 式 （ ） １。
ｆＡ
．
线性不等式约束
（） １
式 中 ， 为对 称矩 阵 ， 余参 数 意义 同式 （ ） Ｈ 其 １。
ｑ ａｐｏ ｕ ｄ ｒｇ函数 调用 格式 为 ： Ｌ 知ａ ， ｘ ａ ｏ ｔ ｕ ， ａ ｄ ］一 ｑ ａ — ， ｌ ｅ ｉ ｇ， ｕｐ ｔ ｌｍｂ ａ ｕ ｄ
ｆＪＡ ｑ Ｘ＝ ｂｑ 线性等式约束 ） ． ｅ ｅ（
曾怀 灵 ， 建 国 贺
（ 沙矿 山研 究院 有 限责任 公 司 ， 湖 南 长沙 长 ４ ０１ ） １ ０ ２
摘 要 ： 绍 了 ＭＡＴ ＡＢ优 化 工具 箱 中各种 优化 模 型及 其在机 械优 化设 计 中的应 用 ， 介 Ｌ 并 给 出 了优化 实例 和 结果 。采 用 ＭＡＴ ＡＢ优 化 工具 箱 来 求 解机 械优 化 设 计 中的 问题 ， Ｌ 不
ｏ ｔ ｕ 为优 化详 细信 息输 出（ ｕｐ ｔ 可省 略 ） ；
ｌｍｂ ａ为求 得 最 优 解 的 拉 格 朗 日乘 子 （ 省 ａ ｄ 可
略） 反 应 了各个 约束 条件 在求 解最优 值 的有效 性 ； ，
厂 目标 函数 ； 为
ｚ 为迭 代初值 （ 。 可省 略） ；
ｏ ｔ ｎ 设 置优 化项 目参 数 （ ｐｉ ｓ ｏ 可省 略） 。
ｌ ｐｏ ｉ ｒ ｇ函数 调 用 格 式 为 ： ｎ ［ ａ ， ｉ７ ｇ，ｕｐ ｔ ｌ ｂ ａ ， ｌ盯 Ｕ ａ ｏｔ ｕ ， ｄ Ｊ— ａ
ｌ ｐ ｏ 厂， ｂ， ｅ ｂ ｑ， ｕ ｚｏ ｏ ｔｏ ｓ （ ） ｉ ｒ ｇ（ Ａ， Ａ ｑ， ｅ ｌ ｂ， ，ｐ ｉｎ ） ｎ ｂ， ２
是将 多 目标优 化 问题 重 新 构 造 一个 函数 ， 即评 价 函
其 中 ， ｚ 为 求解 区 间上 下 界 ， 余 参 数 意 义 同式 ｚ 、 其
（ ） ２ 。
ｆ ｎｎ ｍｉｕ ｃ函数 调用 格式 为 ： ［ ｆ ａ ， ｘ ｔ ａ ｏ ｔ ｕ ， ｒ ｄ， ｅｓａ ］： ， ｖ ｌ ｅ ｉ ｇ， ｕｐ ｔ ｇ ａ ｈ ｓ ｎ ｌ ｆ ｉ
Ｘ２ ｏ ｉｎ ） ，ｐｔｏ ｓ （） ５
对 于 大量 的工 程设 计 方 案要 评 价 其优 劣 ， 往 往 需 要 同时考 虑 多个 目标 。如 在 机 械加 工 中 ， 往 要 往
求机 械 加工 成本最 低 、 生产率 最 高和 刀具 寿命最 长 。 显然 ， 样 的问题 就 属 于 多 目标 优 化 问题 。多 目标 这 优 化 问题 的求 解 方法 很 多 ， 中一 种 常 用 的方 法 就 其
Ａ＊Ｘ （ 性 不 等 式 约 束 ） 线
ｇ ！线 式 誊 ＝６ ｃ ） （ ‘不 等 式 约 束 ） （ ｏ 非 线 性 性 约
．
（ ８ ）
Ｃｑ ）一 ０ 非 线 性 等 式 约 束 ） ｅ（ （
胁 （ 化变量上下界约束） 优
度 法 。在 ＭＡＴ ＡＢ优 化工 具箱 中求 解无 约 束优 化 Ｌ
ｓａ ］ ７ ｃ （ ｚ ， ｂ Ａ ｑ ｂ ｑ ｌ ， ｂ ｎ ｎ— ｉｎ 一， ０ ｆ， ｏ Ａ， ， ｅ ，ｅ ， ｕ ， ｏ ｌ ｂ
ｃ ｎ， ｐ ｉ ｎ ） ｏ ｏ ｔｏ ｓ （） ９
ｆ ｎｎ ｍｉｈ ｄ函数 可 以求解 区 间 ［ ］ ｚ ， 内单 变 量 非 线
性 函数 的最小 值 。 无 约束 优 化模 型如 下 ：
１ ２ 二 次 规 划 及 其 应 用 ．
线 性 最小 二乘 、 次 规 划 、 程 求解 、 目标 优 化 等 二 方 多 问题 提供 可靠 的求解 方法 。
１ １ 线 性 规 划 及 其 应 用 ．
通 常把 约束 条件 全为 线性 的而 目标 函数是 二 次
函数 的最优 化 问题称 为二 次规 划 ］ 。二 次规 划在 机
ｆ ｎｏ ｍｉｃｎ函数 的调用格 式 为 ：
Ｌ 如 ａ ， ｘｉ ａ ｏ ｔ ｕ ，ａ ｄ ｇ ａ ｈ ｓ ｘ， ｌ ｅ ｇ， ｕ ｐ ｔ ｌ ｍｂ ａ， ｒ ｄ， ｅ —
ｆ ｎｎ ｍｉｕ ｅ函数 和 ｆ ｎ ｎ ｍｉｂ ｄ函数 要求 目标 函数 必 须 连 续 ， 函数 ｆ ｎ ｅ ｒｈ常 用 来 处 理 不 连 续 的 函 数 。 而 ｍｉｓａｃ
１ Ｍ ＡＴＩ ＡＢ在 机 械 优 化 设 计 中 的应 用
ＭＡＴＬ ＡＢ （ ｔｉ Ｌ ｂ ｒｔｒ Ｍａｒ ｘ ａ ｏａｏｙ）是 由 美 国 Ｍａｈ ｒ ｓ 司开发 的集 数 值 计算 功 能 、 号 运 算 ｔｗｏ ｋ 公 符 功能 和 图形 处 理 功能 于 一 身 的超 级 科 学 计 算 语 言 。 ＭＡＴＬ ＡＢ有 多 个 工 具 箱 ， 中优 化 工 具 箱 （ ｔ 其 Ｏｐｉ — ｍｉａｉｎＴｏ ｌｏ ） 以 为线 性 、 线 性 最 小 化 、 ｚｔ ｏｂ ｘ 可 ｏ 非 非
Ｉ ｂ优 变 上 界 束 ｆ ｂ （化 量 下 约 ）
曾怀灵 ， ： ＭＡ Ａ 等 ＴＬ Ｂ在 机 械 优 化 设 计 中的 应 用
８ ９
ｐｒ ｇ（ ， Ａ， ， ｑ， ｅ ｌ ， ｂ， ，ｐｔｏ ｓ ｏ Ｈ ｆ， ｂ Ａｅ ｂ ｑ，ｂ ｕ ０ ｏ ｉｎ ）
（） ４
ＭＡＴ ＡＢ优 化 工 具 箱 中 采 用 序 列 二 次 规 划 法 Ｌ （ ＱＰ 求 解 约 束 优 化 问 题 ， 用 的 函 数 为 ｆ ｎ ｏ Ｓ ） 采 ｍｉｃｎ
拟定 、 技术 设计 、 件工 作 图绘制 等环 节口 。传统 的 零 ］
设计 方法 械优 化设计 是 以数学 规 划为理 论基
础， 以计 算机 为工 具 ， 寻求 最佳 机械设 计方 案 的现代 设计 方法 ， 取代 了传统 的可 行性 设计 目前 ， 引。 优化
ｍｉ ｆ（ ｎ ｘ）
其 中 ，ｏ ｌｏ ｎ ｎ ｃｎ为非 线 性 约 束 条 件 包 括 Ｃ（ 和 Ｃ ｑ ） ｅ
（ ， ） 其余 参数 意义 同式 （ ） ６。
１ ５ 多 目 标 优 化 及 应 用 ．
ｆ ｎｎ ｍｉｂ ｄ函数 调用 格式 为 ： Ｌ ａ ， ｘ ｔ ａ ｏ ｔ ｕ ］一ｆ ｎ ｎ ｆ， １ ， ｌ ｅ ｉ ｇ， ｕｐ ｔ ｌ ｆ ｍｉｂ ｄ（ ｚ ，
ｆ ｎ ｎ （ ｚ ，ｏ ｔ ｎ ） ｍｉｕ ｃ ｆ，０ ｐ ｉ ｓ ｏ （） ６
数 ， 而将多 目标 优 化 问题 转 化 为 求 评 价 函数 的单 从
目标 优 化 问题 。这 类方 法 主要有 ： 主要 目标 法 、 性 线
其 中 ， ｒ ｄ为 目标 函数 在 最 优 解 处 的梯 度 值 ， ｅ— ｇａ ｈｓ ｓ ｎ为 目标 函数在 最优 解处 的 ｈ ｓｉｎ矩 阵值 ， ｉ ａ ｅｓ ａ 其余
等 。其 中 ， Ｎｅ ｔ ｎ法利 用 了 Ｎｅ ｏ 拟 ｗｏ ｗｔｎ法 的二 次 收敛 性使 得 可靠 性 更 高 ， 时这 种 算 法 收 敛 速 度也 同 很 快 ， 以 在 目前 应 用 得 相 当 广 泛 。 而 拟 Ｎｅ ｏ 所 ｗｔｎ
法 中应 用 比较 多 的 主要 有 Ｂ ＧＳ算 法 和 Ｄ Ｐ变 尺 Ｆ Ｆ
仅 提 高 了设 计 效率 ， 而且 编程 简单 、 结果 可 靠。
关 键 词 ： 械 优 化 设 计 ； ＡＴＬ 机 Ｍ ＡＢ； 化 模 型 ； 具 设 计 优 夹
机械 产 品的设 计 ， 般需 要 经过调 查分 析 、 一 方案
式 中 ， ｂ ｂ ｑ Ｉ 、ｂ 为 向量 ， Ａｅ ｆ、 、ｅ 、ｂ ｕ 、 Ａ、 ｑ为矩 阵 。
最大 最小 化 问题 模 型如下 ：
ｍ ｉ ｎｍ ａｘ
，
．
Ｅ ，ｖ ｌｅ ｉ ａ ｏ ｔ ｕ］ ｘ ｆ ａ ，ｘ Ｈ ｇ，ｕｐ ｔ一 ｉｓ口 ｆ ，， ， Ｐ ｒ （ ０
ｏ ｉｎ ） ｐｔｏ ｓ （） ７
其 中参数 意 义 同式 （ ） ２。
１ ４ 有 约束 优化 及 应 用 ． 在机 械 优化 设计 中大多数 问题 是有 约 束优 化 问 题 。为 了保 证设 计 的 机 械 零 件安 全 可 靠 ， 计 时必 设 须 确定 相应 的设 计 准则 ， 这 些设 计 准则 就 成 了 目 而
ｍ ｉ １ ｎ
其要 求 目标 函数 、 约束 条件 都是 线性 的 ， 而机械设 计
问题 一般 都是 非 线 性 的 。 目前 ， 性 规 划 在一 维 下 线
料 问题 中应用 比较 多 ， 如文 献 Ｅ Ｊ ［ ］ ３ ～ ５ 。求 解 线 性
规 划 问题 常用 的 方 法 有 单 纯 形 法 、 Ｍ 法 等 。在 大
函数 。
其 中参 数 意义 同式 （ ） ２。
１ ３ 无 约 束 优 化 及 应 用 ．