高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝( )

A. 3

B. 23

C. 3 3

D. 3＋1

答案：B

解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.

由余弦定理可得b＝2 3.

2. △ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝

2

2

，则符合条件的三角形有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 0个答案：B

解析：∵a sin B＝10

2

，

∴a sin B

∴符合条件的三角形有2个．

3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

答案：A

解析：利用正弦定理，sin C＝23sin B可化为c＝23b.

又∵a2－b2＝3bc，

∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b.

在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a2

2bc

＝b 2＋?23b ?2－?7b ?22b ×23b

＝32，

∴A ＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能确

定

答案：A

解析：由正弦定理，得

c

sin120°

＝

a

sin A

，

∴sin A ＝

a ·

32

2a

＝64>1

2.

∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.

518

B. 34

C. 32

D. 78

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝?2a ?2＋?2a ?2－a 22×2a ×2a ＝7

8.

方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1

4，

∴cos α＝1－2sin

2

α

2

＝1－2×

1

16

＝

7

8

.

6. (2010·泉州模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( )

A.

3

2

B.

3

4

C.

3

2

或 3 D.

3

2

或

3

4

答案：D

解析：∵sin C

3

＝

sin B

1

，

∴sin C＝3·sin30°＝

3 2 .

∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝1

2

×1×3＝

3

2

，

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝1

2

×1×3sin30°＝

3

4

.

即△ABC的面积为

3

2

或

3

4

.

二、填空题

7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π

3

，则a＝________.

答案：1

解析：由正弦定理

b

sin B

＝

c

sin C

，即

1

sin B

＝

3

sin

2π

3

，sin B＝

1

2

.

又b

6

，∴A＝

π

6

.∴a＝1.

8．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

答案：π6

解析：∵sin B＋cos B＝2，

∴sin(B＋π

4

)＝1.

又0

.

由正弦定理，知

2

sin A

＝

2

sin B

，∴sin A＝

1

2

.

又a

.

9. (2010·课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝1

2

DC，∠ADB＝

120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.

答案：60°

解析：S△ADC＝1

2

×2×DC×

3

2

＝3－3，

解得DC＝2(3－1)，

∴BD＝3－1，BC＝3(3－1)．

在△ABD中，AB2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，

∴AB＝ 6.

在△ACD中，AC2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123，

∴AC＝6(3－1)，

则cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC2 2AB·AC