限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级基础夯实练
1.(岳阳模拟)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为() A.(0,1)B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:选A.函数的定义域是(0,+∞),
且f′(x)=1-1
x=
x-1
x,
令f′(x)<0,解得0<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1).
2.已知函数f(x)=1
2x
3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的
()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:选A.f′(x)=3
2x
2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
3.(2017·浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()
解析:选D.不妨设导函数y=f′(x)的零点依次为x1,x2,x3,其中x1<0<x2<x3,由导函数图象可知,y=f(x)在(-∞,x1)上为减函数,在(x1,x2)上为增函数,在
(x 2,x 3)上为减函数,在(x 3,+∞)上为增函数,从而排除A ,C.y =f (x )在x =x 1,x =x 3处取到极小值,在x =x 2处取到极大值,又x 2>0,排除B ,故选D.
4.(珠海质检)若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( )
A .(-∞,-2]
B .(-∞,-1]
C .[2,+∞)
D .[1,+∞)
解析:选D.由于f ′(x )=k -1x
,则f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增?f ′(x )=k -1x
≥0在(1,+∞)上恒成立. 由于k ≥1x ,而0<1x
<1,所以k ≥1,即k 的取值范围为[1,+∞). 5.(2019·昆明模拟)已知函数f (x )(x ∈R)图象上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为
y -y 0=(3-x 0)(x 20-1)(x -x 0),那么函数f (x )的单调递增区间是( )
A .(-1,1),(3,+∞)
B .(-∞,-1),(1,3)
C .(-1,1)∪(3,+∞)
D .(-∞,-1)∪(1,3)
解析:选 B.因为函数f (x )的图象上任一点(x 0,y 0)的切线方程为y -y 0=(3-
x 0)(x 20-1)(x -x 0),即函数图象在点(x 0,y 0)的切线斜率k =(3-x 0)(x 20-1),所以f ′(x )
=(3-x )(x 2-1).由f ′(x )=(3-x )(x 2-1)>0,解得x <-1或1<x <3,即函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1),(1,3).故选B.
6.(娄底模拟)设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0.且g (3)=0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )
A .(-3,0)∪(3,+∞)
B .(-3,0)∪(0,3)
C .(-∞,-3)∪(3,+∞)
D .(-∞,-3)∪(0,3)
解析:选D.因为当x <0时,f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0,即[f (x )g (x )]′>0,
所以f (x )g (x )在(-∞,0)上单调递增,
又因为f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以f (x )g (x )为奇函数,关于原点对称,所以f (x )g (x )在(0,+∞)上也是增函数.因为f (3)g (3)=0,所以f (-
3)g (-3)=0.所以f (x )g (x )<0的解集为x <-3或0 7.(济南模拟)若函数y =-43 x 3+ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是________. 解析:因为y ′=-4x 2+a ,且y 有三个单调区间, 所以方程y ′=-4x 2+a =0有两个不等的实根, 所以Δ=02-4×(-4)×a >0,所以a >0. 答案:(0,+∞) 8.(苏州二模)已知函数f (x )=-12 x 2+4x -3ln x 在区间[t ,t +1]上不单调,则t 的取值范围 ________. 解析:由题意知f ′(x )=-x +4-3x =-(x -1)(x -3)x , 由f ′(x )=0,得函数f (x )的两个极值点为1和3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t +1)内, 函数f (x )在区间[t ,t +1]上就不单调, 由t <1 答案:(0,1)∪(2,3) 9.(云南统考)已知函数f (x )=ln x -x 1+2x . (1)求证:f (x )在区间(0,+∞)上单调递增; (2)若f [x (3x -2)]<-13 ,求实数x 的取值范围. 解:(1)证明:由已知得f (x )的定义域为(0,+∞). ∵f (x )=ln x -x 1+2x , ∴f ′(x )=1x -1+2x -2x (1+2x )2=4x 2+3x +1x (1+2x )2 . ∵x >0,∴4x 2+3x +1>0,x (1+2x )2>0. ∴当x >0时,f ′(x )>0.∴f (x )在(0,+∞)上单调递增. (2)∵f (x )=ln x -x 1+2x , ∴f (1)=ln 1-11+2×1 =-13. 由f [x (3x -2)]<-13 得f [x (3x -2)]<f (1). 由(1)得?????x (3x -2)>0,x (3x -2)<1, 解得-13<x <0或23<x <1. ∴实数x 的取值范围为? ????-13,0∪? ?? ??23,1. 10.设函数f (x )=ax 2-a -ln x ,其中a ∈R,讨论f (x )的单调性. 解:f (x )的定义域为(0,+∞) f ′(x )=2ax -1x =2ax 2-1x (x >0). 当a ≤0时,f ′(x )<0,f (x )在(0,+∞)内单调递减. 当a >0时,由f ′(x )=0,有x =12a . 此时,当x ∈? ?? ??0,12a 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈? ?? ??12a ,+∞时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 综上当a ≤0时,f (x )的递减区间为(0,+∞), 当a >0时,f (x )的递增区间为? ????12a ,+∞,递减区间为? ????0,12a . B 级 能力提升练 11.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e =2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A .f (x )=2-x B .f (x )=x 2 C .f (x )=3-x D .f (x )=cos x 解析:选A.当f (x )=2-x 时,e x ·f (x )=e x ·2-x =e x 2x , 令y =e x 2x , 则y ′=? ????e x 2x ′=e x 2x -e x 2x ln 2(2x )2 =e x 2x (1-ln 2). ∵e x >0,2x >0,ln 2<1, ∴y ′>0. ∴当f (x )=2-x 时,e x ·f (x )在f (x )的定义域上单调递增,故具有M 性质,经验证 B 、 C 、 D 不具有M 性质,故选A. 12.(杭州模拟)已知f (x )是可导的函数,且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则 ( ) A .f (1)<e f (0),f (2 020)>e 2 020f (0) B .f (1)>e f (0),f (2 020)>e 2 020f (0) C .f (1)>e f (0),f (2 020)<e 2 020f (0) D .f (1)<e f (0),f (2 020)<e 2 020f (0) 解析:选D.令g (x )=f (x )e x , 则g ′(x )=? ?? ??f (x )e x ′=f ′(x )e x -f (x )e x e 2x = f ′(x )-f (x )e x <0, 所以函数g (x )=f (x )e x 是单调减函数, 所以g (1)<g (0),g (2 020)<g (0), 即f (1)e 1<f (0)e 0,f (2 020)e 2 020<f (0)e 0, 故f (1)<e f (0),f (2 020)<e 2 020f (0). 13.(2017·江苏卷)已知函数f (x )=x 3-2x +e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a -1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________. 解析:函数f (x )的定义域关于原点对称. ∵f (x )=x 3-2x +e x -1e x , ∴f (-x )=(-x )3-2(-x )+e -x - 1e -x =-x 3+2x +1e x -e x =-f (x ), ∴f (x )为奇函数,又f ′(x )=3x 2-2+e x +1e x ≥3x 2-2+2=3x 2≥0(当且仅当x =0时,取“=”),从而f (x )在R 上单调递增,所以f (a -1)+f (2a 2)≤0?f (a -1)≤f (- 2a 2)?-2a 2 ≥a -1,解得-1≤a ≤12. 答案:???? ??-1,12 14.(广东佛山月考)已知函数f (x )=ln x -a 2x 2+ax (a ∈R). (1)当a =1时,求函数f (x )的单调区间; (2)若函数f (x )在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围. 解:(1)当a =1时,f (x )=ln x -x 2+x ,其定义域是(0,+∞), ∴f ′(x )=1x -2x +1=-2x 2-x -1x . 令f ′(x )=0,即-2x 2-x -1x =-(x -1)(2x +1)x =0, 解得x =-12 或x =1. ∵x >0,∴x =-12 舍去. 当0 ∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,即单调递增 区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)解法一:∵f (x )=ln x -a 2x 2+ax ,其定义域为(0,+∞), ∴f ′(x )=1x -2a 2x +a =-2a 2x 2+ax +1x =-(2ax +1)(ax -1)x . ①当a =0时,f ′(x )=1x >0, ∴f (x )在区间(0,+∞)上为增函数,不合题意; ②当a >0时,f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax +1)(ax -1)>0(x >0),即x >1a . 此时f (x )的单调递减区间为? ?? ??1a ,+∞. 依题意,得???1a ≤1,a >0, 解得a ≥1; ③当a <0时,f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax +1)(ax -1)>0(x >0),即x >- 12a . 此时f (x )的单调递减区间为? ????-12a ,+∞, ∴???-12a ≤1,a <0. 解得a ≤-12. 综上所述,实数a 的取值范围 ? ?? ??-∞,-12∪[1,+∞). 解法二:∵f (x )=ln x -a 2x 2+ax ,x ∈(0,+∞), ∴f ′(x )=-2a 2x 2+ax +1x . 由f (x )在区间(1,+∞)上是减函数,可得g (x )=-2a 2x 2+ax +1≤0在区间(1,+∞)上恒成立. ①当a =0时,1≤0不合题意; ②当a ≠0时,可得???14a <1,g (1)≤0,即???a >14或a <0,-2a 2+a +1≤0, ∴?????a >14或a <0,a ≥1或a ≤-12, ∴a ≥1或a ≤-12. ∴实数a 的取值范围是? ?? ??-∞,-12∪[1,+∞). 15.已知函数f (x )=(x -2)·e x +a (x -1)2.讨论f (x )的单调性. 解:f ′(x )=(x -1)e x +2a (x -1)=(x -1)(e x +2a ). (1)设a ≥0,则当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0, 所以f (x )在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2)设a <0,由f ′(x )=0,解得x =1或x =ln(-2a ). ①若a =-e 2 ,则f ′(x )=(x -1)(e x -e), 所以f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ②若a >-e 2 ,则ln(-2a )<1, 故当x ∈(-∞,ln(-2a ))∪(1,+∞)时,f ′(x )>0; 当x ∈(ln(-2a ),1)时,f ′(x )<0, 所以f (x )在(-∞,ln(-2a ))和(1,+∞)上单调递增, 在(ln(-2a ),1)上单调递减. ③若a <-e 2 ,则ln(-2a )>1, 故当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a ),+∞)时,f ′(x )>0; 当x ∈(1,ln(-2a ))时,f ′(x )<0, 所以f (x )在(-∞,1)和(ln(-2a ),+∞)上单调递增, 在(1,ln(-2a ))上单调递减.