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高等数学模拟卷 1
一 求下列极限
1 1
lim sin n n n
→∞=0（有界量乘无穷小量）
2 求0lim x x x →=1lim 1lim {00x -=-=-+→→x
x
x x x
3 求10
lim x
x e →=0
lim lim {
10
10=∞
=-+
→→x
x x
x e e
sin 4
lim
sin 5x x x x x
→++
=
3
1616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+++=+++→→→→x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限）
二
a 取什么值，0
()0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 答：根据函数在一点处连续的定义，)(lim )(lim 0
x f a x f x x -+→→==，而
)(lim 0
x f x -→=x x e -→0
lim =1
所以 a=1
三 计算下列各题 1
已
知
2sin ln y x x
=⋅
求
,
y 答：
y ’=2(sin x ·lnx )’=2[(sinx)’(lnx )+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2
x
sinx
2 ()
,()x
f x y f e e
y =⋅已知，求
答：由链式法则，()()()
()dx
dy e e f e e e f dx x f x x f x x +⋅=dy 所以()()
()
()
x f x x f x x e e f e e f y -=+1'
2
3x xe dx
⎰求
答：
c
e dx e x d e x x x +===⎰⎰2
22
2121222原式
2 / 5
四、若20
2tan()sec x y
x x y tdt ---=
⎰
，求
dy dx
另x-y=m, y=x-m, 对两边求导数，得到dy/dx = 1 - dm/dx 将y = x-m 带回原式，再两边对x 求导。可得dm/dx 带回上式可得结果
五 求y x =，2y x =和2
y x =所围平面图形的面积
解
：
31144230142222
23224110=⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰y y y y dy y y dy y y
高等数学模拟卷 2
一 求下列极限 1 1
lim
cos n n n
→∞=0 2 求22lim 2x x x →--=2222lim 22lim 22lim 2x x x x x x
x x
x →→→-⎧⎪-⎪-⎨
--⎪⎪-⎩
－＋＝1
＝＝-1 3 求10
lim 2x x →=1
10
100lim 2lim 2lim 20x x x x x x +-
→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 0
2sin 4lim
3sin x x x
x x →++求 0
2sin 3
lim
3sin 4x x x x x →++解＝
sin 0()00
x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
二讨论
在 x=0 处的连续性
答：因为f(x)在0点的左右极限都为1，不等于其在0点的函数值，所以f(x)
在0点不连续 三 计算下列各题 1 ,ln[ln(ln )]
y x y =求
,1111
.[ln(ln )]..[ln(ln )][ln(ln )]ln y x x x x x
'=
=
2 ,
,y
x
x y y =求
3 / 5
,ln ln .ln .ln 1
.ln ln ..ln ln ln ln y x
x y y x x y
y y x y y x x y
x y y x y y x
y
y x y x x y
=='+=+⎛
⎫'-=- ⎪⎝
⎭-
'∴=
-
解：
2
2
20
10
cos lim
sin x x x t dt
x
→-⎰四求
由于分子分母极限都为0，所以可以对分子分母分别求导，
得到
Lim( 2x-2xcosx^4)/10sin^9(x)cosx 再对两边求导
五 求2
25y x =-和4y x =-所围平面图形的面积
{
()()2254
2
3
2331
1
31735113
16
42262
3
y x y x y s y dy y y y =-=---+=+-
=-+=
⎰解：
得
交点
，-，
六 2
2(1)
24dy
x xy x dx
++= 222
2
222()ln 1122
3
2
32
24(1)(1)(1)
1
()4443()431
x
dx
p x dx
x x dy xy x x dx x x c y ce ce ce x c x x x D
c x x dx x D y x -
--++++=
++⎰⎰
==
+'=+==+∴=+⎰解：两边同除以得
＝＝代入原方程得
高等数学模拟卷3
一 求下列极限
1 1lim
n tgn n
→∞ 解：不存在
2 求lim x a x a x a →--=lim 1
lim lim 1x a x a x a x a x a x a
a x x a x a →→→-⎧⎪-⎪-⎨
--⎪=-⎪-⎩
＋－
＝＝ 3 求1
20
lim x
x e
→=1
21021
20lim lim lim 0x
x x
x x x e e
e +
-
→→→⎧=∞⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
