一维晶格振动的局域模研究
戚云泽
（大庆师范学院 物理与电气信息工程学院，2008级物理教育班 黑龙江 大庆163712）
摘 要：近年来，纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。通过原子、分子操纵，实现在纳米尺度上对材料进行加工，完成单原子、单分子电子器件的制作，一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展，人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。
关键字：一维原子链，杂质，晶格振动、局域模
作者简介：戚云泽（1989--），男，黑龙江省鹤岗市人，大庆师范学院物电学院学生，
0 引言
研究材料的晶格振动，首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。
晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个院子的振动也并非是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式，可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子ω 称为声子，其中ω是振动模式的角频率。
1 一维单原子链中的晶格振动
晶格具有周期性。因而，晶格的振动模具有波得形式，称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征，但也有它不同的特点。
图1-1所示的单原子链可以看作是一个最简单的晶格，在平衡时相邻原子距离为a （即晶格常数为a ），每个原胞内含有一个原子，都具有相同的质量m ，原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置，用μn 代表第n 个原子离开平衡位置的位移，第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μ
μn
n _1+，下面先
求由于原子间的相互作用，原子所受的恢复力与相对位移的关系。
图1-1 一维单原子链
设在平衡位置是，两原子间的相互作用势能为U （a ）；原子偏离平衡位置时，两原子间距离变为r=a+δ，δ为相对位移从μ
μ
n
n _
1
+，势能变为U （a+δ），我们把U
（a+δ）在平衡位置附近用泰勒级数展开，得到：
(2221)
)()()(2
+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+
+=+=δδδr d U d dr dU a
a
a U a U r U
（1-1） 其中U （a ）为常数，0=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧dr dU a
（因为r=a 是为平衡位置，U 处于最低点）。
由于我们考虑的是微振动，δ很小，故上述展开式可近似的只保留到δ2
项。这种近似称为简谐近似，因此可得出二原子间作用力为简谐力的结论，对（1-1）求导可得出二原子间的恢复力：
βδδδ
-=-=-
=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛r
d U
d a
d dU dr
dU f 22 (1-2)
上式中⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧=r d U d a
22β
称为恢复力常数。在简谐近似下，相邻原子间的作用力为
βδ
-=f ，表明存在于相邻原子间的事正比与相对位移的弹性恢复力。
运用牛顿运动定律直接解运动方程，求解链的振动模。对于链中的第n 个原子，
他受到左右两个相邻原子对它的作用力，左方第（n-1）个原子与它的相对位移为
μμδ1--=n n ，
对应的作用力为)(1
1
μ
μβ---
-=n n
n f
，右方第（n+1）个原子与它的相对位移为μμδ
n n -=+1，对应的恢复力为)(1
1μ
μ
βn
n n f
-
-=++，从而得到：
()()μμμμμ
ββ
1
1
2
2
-+---
=n n
n
n n
t
d d
m
()μ
μ
μ
β
n
n n 21
1
-+
=-+ (1-3)
每个原子对应一个方程，若原子链中有N 个原子，则有N 个方程，式（1-3）实际上代表着N 个联立的线性齐次方程。
设方程组（1-3）的解是一振幅为A ，角频率为ω的简谐振动：
e
naq ax i nq
A )
(-=μ
其中ω，A 为常数。代入方程（1-3），有 ()
[
]e
e
e
e
i naq t i nq n t i naq t i naq t i A A A A m )
(]
)1([)
()
(2
2------+=ωωωωβω （1-4）
即 []⎪⎭
⎫
⎝⎛=
-=
aq m
aq m
214cos 12sin
2
2
ββω （1-5） 式（1-5）与n 无关，表明N 个联立的方程都归结为同一个方程。也就是说，只要ω与q 之间满足（1-5）式的关系，（1-4）式就表示了联立方程的解。通常把ω与q 之间的关系称为色散关系如图（1-2）
图（1-2）
不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。式中qna 表示第n 个原子振动的位相因子。如果把式中的aq 改变一个（2π）的整数倍，所有的原子的振动实际上完全没有任何不同。为了满足波函数单值性的要求我们可以把aq 限制在下
