一维j原子链晶格振动的色散关系

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+-=+=k c j a i a j a i a a aa 321232232选做题•1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比。

•2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ •3. 晶面指数为（123）的晶面中ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢a1、a2和a3重合，除O 点外,OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？• 4.求晶格常数为a 的体心立方晶面族（h1h2h3）的面间距。

•5.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( )。

• 6. FCC 晶胞中的（1 0 0）面在其原胞中的晶面指数是多少？• 7. 轴对称的证明。

必做题1. 分析HPC 原胞取法，（即画原胞）2. 平面蜂房结构如何取原胞、确定基矢。

3. （课本1、3、4、5、6、7题）1． 何谓布喇菲格子（布格子）？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。

何以金刚石结构是复式格子？2．3． 体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。

试证明之。

4． 若基矢a ，b ，c 构成正交体系，试证：晶面族（hkl ）的面间距为d hkl =5． 对于六角密集结构，固体物理学中原胞的基矢为：，求其倒格子的基矢。

6． 试证六角密集结构中， 。

7．如将等体积的硬球堆积成下列结构，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：简立方： 6π； 体心立方： π83； 面心立方： π62； 六角密集：π62； 金刚石：π163。

⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++c l b k a h 1633.1382/1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c书上T13、T14.3.一对分子间的总的相互作用势能可以导为：U （r ）=126rB r A +-，或者写为雷纳德-琼斯势：U （r ）=4ε]r r [126）（）（σσ+-,其中B 4A A B 26/1≡≡εσ；）（。

根据一维无限原子链模型,推导晶格振动中的色散关系。

晶格振动是固体物体中原子的周期性振动，其产生的主要原因是晶体中原子之间的相互作用和排列方式。

晶格振动对于研究固体的性质和行为具有重要意义，而色散关系是描述晶格振动频率与波矢之间关系的重要物理量。

一维无限原子链模型是研究晶格振动的基础模型之一，它假设由相同的原子按照固定的间距无限延伸而成。

该模型假设原子之间的相互作用势能只与相邻原子距离相关，并且与方向无关。

在这个模型中，晶格振动是由原子的平衡位置产生微小扰动而引起的近似简谐振动。

为了推导晶格振动中的色散关系，我们首先考虑晶格中存在的一种最基本的振动模式，即最低频率的长波模式。

在此模式下，晶格扰动是沿着整个原子链方向连续分布的，且振动频率较低。

我们可以将此模式视为周期性重复的晶胞，每个晶胞中含有一个原子。

根据一维无限原子链模型，我们可以用离散点和连续曲线的方式来描述振动。

假设离散点表示晶格中的原子，用坐标x来表示离散点的位置。

当原子沿晶格方向发生微小振动时，离散点的坐标也会相应地发生微小变化。

连续曲线则表示晶格振动的形态。

用坐标x和时间t 来表示连续曲线上的点的位置。

我们可以假设晶格的平衡位置为$x=0$，离散点的坐标为$x_n$，其中$n$为整数。

在长波模式下，假设晶格振动的形态可以用简谐振动的函数形式来描述。

即晶格的平衡位置不变，离散点的坐标$x_n$可以表示为：$x_n = u_n\exp(i(qn-\omega t))$其中，$u_n$为振动幅度，$q$为波矢，$\omega$为角频率。

由于晶格是无限延伸的，我们可以认为相邻晶格点之间的势能相同，从而可以得到离散点的动能和势能之和为常数。

当振动形态为最低频率的长波模式时，振动的频率相对较低，因此可以采用小振动近似。

在该近似下，我们可以将振动的位移表示为复数形式，即：$u_n = u\exp(iqn)$其中，$u$为常数。

将上式代入式子$x_n = u_n\exp(i(qn-\omega t))$中，得到：$x_n = u\exp(i(qn-\omega t + qn))$简化上式可得：$x_n = u\exp(iqna)\exp(-i\omega t)$其中，$a$为晶格常数。

位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线一维双原子链是研究晶格振动的常见模型之一，其可用于解释晶体的声学和光学性质。

在研究晶格振动的过程中，色散曲线是一个重要的参考内容，它描述了晶格振动的频率与波矢之间的关系。

本文将介绍一维双原子链的晶格振动色散曲线的相关内容。

一维双原子链是由两种原子按照ABAB...的周期性排列形成的周期性结构。

为了便于分析，我们假设这两种原子的质量分别为m1和m2，弹性常数分别为k1和k2。

通过应用牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链中晶格振动的运动方程。

在固体物理学中，将波的传播方向为x轴，位置为x的原子质点振动的位移为u(x, t)，根据牛顿定律和胡克定律，可以得到一维双原子链的晶格振动的运动方程为：m1∂²u(x, t)/∂t² = k1[u(x+a, t) - u(x, t)] + k2[u(x-a, t) - u(x, t)]m2∂²u(x, t)/∂t² = k2[u(x+a, t) - u(x, t)] + k1[u(x-a, t) - u(x, t)]其中，a为晶格常数，表示相邻原子之间的距离。

通过将位移u(x, t)展开为平面波的形式，可以将上述两个方程变换为光学模式和声学模式的形式，从而得到晶格振动的色散关系。

对于光学模式，位移u(x, t)可以表示为：u(x, t) = A1exp[i(kx-ωt)] + A2exp[-i(kx-ωt)]其中，A1和A2为振幅，k为波矢，ω为角频率。

将该位移代入运动方程中，可以得到：m1ω² = 2k1 - 2k1cos(ka)m2ω² = 2k2 - 2k2cos(ka)并且，根据周期性边界条件，可以得到波矢k满足的条件为：exp(ika) + exp(-ika) = 2cos(ka) = -m2/m1通过解以上方程组，可以得到光学模式的色散关系，即角频率ω与波矢k之间的关系。

一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。

在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。

通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。

下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。

假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。

原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。

这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。

第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。

假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。

第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。

将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。

声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。

第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。

具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。

从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。

一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系：
1、什么是一维单原子链色散关系？
一维单原子链色散关系是在一维晶体中，由相互连接的单原子链构成的量子力学模型。

它是一种解释物理现象的理论模型。

这种模型通过一维的单原子链的局部性，分析描述物理事件的过程变化，并对单原子链的扩散作用建立一种零级理论。

2、一维单原子链色散关系的用途
一维单原子链色散关系可以帮助我们研究一维晶体中的物质传输。

它能够揭示物理现象当中的各种动力学特性，比如材料的热阻和黏度，分析能帮助我们更好的理解物质的变化和性质，对材料的制备和应用都有一定的帮助作用。

3、一维单原子链色散关系的应用
一维单原子链色散关系可以应用于电子传导、载波传导、热传导、磁学和开关器件等领域。

例如，在芯片出现故障时，可以利用这种模型来分析发生故障的原因，借助这种模型来实现对电路板的修复和测
试。

同样，磁记录器也可以利用一维单原子链色散关­系来调整自身的工作性能，提高记录的质量和效率。

4、一维单原子链色散关系的局限性
一维单原子链色散关系的局限性主要在于它只适用于一维晶体结构，无法用于模拟多原子晶体中的复杂物理现象。

另外，由于晶体表面厚度的影响，从某些特定角度来看，色散关系也有限制性，不能描述表面效应的精细结构。

第35卷第2期哈尔滨师范大学自然科学学报NATURAL SCIENCES JOURNAL OF HARBIN NORMAL UNIVERSITYVol. 35, No. 2 2019同质量原子一维晶格振动的色散关系*郑金鑫，王月媛，胡建民…，牛 丽…(光电带隙材料教育部重点实验室;哈尔滨师范大学)【摘要】通过分析一维单原子链与一维双原子链色散关系之间的内在联系，对二者色散关系的过渡问题、原胞内原子与格波的对应关系和频率禁带宽度随原 子质量变化的基本规律进行讨论，以期对固体物理教学提供参考和借鉴.【关键词】固体物理学；一维原子链；色散关系中图分类号:0481文献标识码:A 文章编号：1000 - 5617(2019)02 - 0054 - 040引言一维原子链是固体物理学研究晶格振动问 题简单而有效的经典模型之一.固体物理学教材大都基于经典力学在简谐近似下求解一维单原 子链的色散关系⑷3 = 2 /^- I sin 晋 I ( 1)\ m 2其中＜7是圆波数,a 是晶格常数,0是恢复力系数,m 是原子质量•在给定原子质量和恢复力系数的情况下由(1)式可得一维单原子链的色散关系 曲线如图1所示•为进一步分析原胞内不同原子 的振动特点，同样在简谐近似下求解一维双原子链的色散关系⑵2 = ｛臭[(M + m) ±JS + m 2 + 2Mmcos(2ga) ] ｝ T (2)其中M 和m 分别是双原子链原胞内的重原子和 轻原子质量,a 为近邻原子间距(晶格常数为 2a).同样由(2)式可得一维双原子链的色散关系曲线如图2所示•对比图1和图2可知,一维单原子链色散关系只有一支,而一维双原子链色散 关系曲线有两支，即光学支3+和声学支3一，且 二者之间存在频率禁带此外,一维单、双原子链的简约布里渊区不同,分别为(-和a aTT TT2a '2a图1 一维单原子链的色散关系曲线如果取一维双原子链中M = m 即同质量原子一维双原子链，则色散关系(2)式化简为a )± = ｛垒[1 ±1 cos(^a) I ] | T(3)m收稿日期:2019-01 -10*基金项目：教育部高等学校物理类专业教学指导委员会教学研究项目(JZW18GT01 )；黑龙江省高等学校教改工程项目(SJGY20170198);黑龙江省高等教育学会教育科研课题重点项目(16Z040)；哈尔滨师范大学混合式教学模式改革试点项目和哈尔滨师范大学研究生培养质量提升工程项目资助;黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12541223)* *通讯作者第2期同质量原子一维晶格振动的色散关系？55图2—维双原子链的色散关系由（3）式可见，同质量一维双原子链的色散关系仍为两支.在给定原子质量和恢复力系数的情况下由（3）式可得色散曲线如图3所示.同质量一维双原子链的色散关系（3）式原则上会过渡为一维单原子链的色散关系（1）式，然而由图3可见，同质量一维双原子链色散关系的频率禁带消失，简约布里渊区为（-于,乎］，色散曲线为两支Za Za即光学支3+和声学支3一，说明（3）式和（1）式在函数关系、周期（即简约布里渊区宽度）和格波支数三个方面都不相同,现有教材并未对这一问题做更为详尽的讨论为此，李书义提出在M=m时一维双原子链直接过渡为一维单原子链存在不完备性,如果原胞内两个原子质量相同但其他性质不同（如正负离子）则仍为一维双原子链⑷•但是现有教材在讨论一维单原子链的色散关系时均未提及除原子质量之外的其他性质•此后，秦春伟以相邻原子振幅同时不小于零为条件对一维双原子链色散关系曲线进行取舍进而将其过渡为一维单原子链的色散关系⑺•然而，一维双原子链即使在原胞内原子质量相同的情况下相邻原子也同时存在同向运动和反向运动两种振动模式.如此以来，在固体物理学晶格振动理论教学过程中便产生一系列问题，如：原胞内原子质量相等的情况下一维双原子链色散关系如何过渡为一维单原子链的色散关系？长光学波所描述的晶格振动模式是否为双原子链所特有?原胞内的原子除质量以外的其他性质对色散关系是否产生影响?上述问题在固体物理教学中倍受关注，文献［6］和［7］在中国知网与一维原子链相关的文献中当前下载量（分别为644和255）都遥遥领先.为此，该文对一维双原子链的色散关系进行更为直观的理论分析，旨在阐释固体物理学教学中容易误解的相关问题，以期能为固体物理教学提供参考.图3同质量原子一维双原子链简约布里渊区色散关系曲线1一维双原子链和一维单原子链色散关系的过渡文献［6］提岀，当一维双原子链原胞中两个原子质量相等时可分为两种情况：其一，如果原胞内两原子的其他性质不同（如正负离子）则过渡为一种特殊的双原子链,该文称之为同质量原子一维双原子链；其二，如果原胞内两原子的其他性质也完全相同则过渡为一维单原子链•为了比较分析同质量原子一维双原子链的色散关系与一维单原子链色散关系的内在联系，在图4中同时给出同质量原子一维双原子链在简约布里渊区（-巴尹］中的色散关系曲线a和0以及一2a2a维单原子链在简约布里渊区（-卫，卫］中的色a a散关系曲线C.由图4可见,一维单原子链的色散关系曲线与同质量原子一维双原子链简约布里渊区（-尹，尹］中的声学支3一以及第二布里渊2a2a区（-卫,-尹］和［尹，卫］中的光学支3+重合.a Za Za a如果任意两个圆波数相差整数倍简约布里渊区宽度即g和g+（”/a）s,则根据色散关系的周期性有＜1）（?）=3（g+（ir/a）s）.由一维双原56哈尔滨师范大学自然科学学报2019年第35卷图4同质量原子一维双原子链和一维单原子链的色散关系对比子链的格波解力2”=4严咻3可知,g和g+ (e/a)s所描述的晶格原子的振动状态完全相同，这就意味着一维双原子链简约布里渊区和第S布里渊区中的光学支等效，说明同质量原子一维双原子链的色散关系(3)式与一维单原子链的色散关系(1)式所确定的晶格振动模式完全相同，二者在函数关系、简约布里渊区宽度和格波支数三个方面的差异均是形式上的，在本质上晶格原子的振动模式不变•布里渊区中心g=0,则当s依次取不同整数时g+(ir/a)s依次表示第1,2,3,-,5布里渊区中心，各布里渊区中心对应的波长依次为«,4a,4a/2,4a/3,-,4a/(s-1),也就是说上述不同波长的所有格波所描述的晶格原子运动状态完全相同，这说明在简约布里渊区以外的圆波数确定的w(g)不能给出新的晶格振动模式,所以同质量原子一维双原子链的长光学波3+(0)与一维单原子链布里渊区边界处的®(土a>/a)所确定的晶格振动模式也完全相同,都描述相邻原子的相对运动而质心不动.说明长光学波所描述的晶格原子运动状态并非一维双原子链所特有•总之，同质量原子一维双原子链的色散关系与一维单原子链的色散关系完全等效，即二者所确定的晶格振动模式完全相同•除原子质量以外的其他性质决定的只是色散关系的形式,而并不影响晶格原子的运动状态，这也是现有教材在求解一维双原子链色散关系时只考虑原胞内两个原子的质量,而无需考虑原子质量以外的其他性质的根本原因.2—维双原子链色散关系的格波支数和频率禁带如前所述，一维单原子链晶格运动方程有1个格波解，原胞中有1个原子，色散关系有1支；一维双原子链晶格运动方程有2个格波解，原胞中有2个原子，色散关系有2支.一维单原子链的1支格波确定了原胞中1个原子的全部振动模式，而一维双原子链的格波有两支，且光学支的最小值眉只与M有关，布里渊区边界处的格波是波节在m的驻波，描述M的运动，而声学支的最大值入津只与m有关，布里渊区边界处的7m格波是波节在M的驻波，描述m的运动.依据上述分析很容易错误地认为,一维双原子链色散关系中的2支格波分别与原胞内的两个原子相对应，认为声学支只与m有关,而光学支只与M有关.然而光学支最大值丿20(丄+岂)说明每支7m M格波描述的并不是原胞中某一原子的运动，无论是色散关系中的光学支还是声学支所确定的晶格振动模式都是晶体中所有原子参与的集体运动.为明确一维双原子链中原子质量变化对色散关系曲线的影响，根据(2)式和(3)式分别给出重原子质量M减小到轻原子质量m时和轻原子质量m增加到重原子质量M时两种情况下的色散关系曲线，如图5所示.图5中曲线a和6分别为M M m时双原子链的光学支a>+和声学支亿，曲线c和d分别为重原子质量减小到轻原子质量m时的光学支和声学支,e和/分别为轻原子质量增大到重原子质量M时的光学支和声学支.由图5中色散关系曲线c、d和e/可见，原胞内两个原子质量相等时,在简约布里渊区边界光学支格波和声学支格波之间的频率禁带消失,这说明频率禁带的存在与原胞内两个原子的质量差异有关•然而，这并不意味着一维双原子链原胞中的两个原子质量相等是频率禁带消失的充要条件•在一维双原子链原胞内原子质量不相等的情况下频率禁带宽度为=@0(号一寺),可第2期同质量原子一维晶格振动的色散关系？57见频率禁带宽度与原胞内两个原子的质量以及相邻原子间的恢复力系数都有关系⑻.图4一维双原子链原胞中原子质量取不同数值时的色散关系曲线3结论该文研究一维单原子链和一维双原子链色散关系的内在联系，结果表明，一维双原子链原胞内两个原子质量相等的情况下,二者所描述的晶格振动模式完全相同，长光学波所描述的晶格原子振动模式并非一维双原子链所特有•一维双原子链原胞内的两个原子除原子质量以外的其他性质对色散关系所确定的晶格振动模式并没有影响•一维双原子链色散关系中声学波与光学波并非与原胞内的两个原子相对应，每支格波描述的并不是原胞中某一原子的运动而是晶体中所有原子参与的集体运动行为.参考文献[1]黄昆.固体物理学[M].北京:高等教育出版社,198&[2]沈以赴.固体物理学基础教程[M].北京:化学化工出版社,2005.[3]胡安，章维益.固体物理学:第二版[M].北京:高等教育出版社,2011.[4]文尚胜，彭俊彪.固体物理简明教程[M].广州：华南理工大学出版社,2007.[5]孙会元固体物理基础[M].北京:科学出版社,2010.[6]李书义.对一维原子链晶格振动的讨论[J].中国西部科技,2006(4):36-37.[7]秦春伟.一维单原子链和双原子链晶格振动色散关系的联系[J].课程教育研究,2013(25):241-242.[8]陈长乐.固体物理学[M].北京:科学出版社,2007.Dispersion Relation of One一DimensionalLattice Vibration of Same Mass AtomZheng Jinxin,Wang Yueyuan,Hu Jianmin,Niu Li(Key Laboratory for Photonic and Electronic Bandgap Materials,Ministry of Education,School of Physics and Electronic Engineering,Harbin Normal University)Abstract：In this paper,by analyzing the intrinsic relationship of dispersion relation between the one一dimensional single一atom chain and the one一dimensional diatomic chain,corresponding relationship between atoms and lattice waves in the original cell and the basic law of frequency band gap variation with atomic mass are discussed,in order to provide reference for solid physics teaching.Keywords:Solid State Physics；One-dimensional atomic chain；Dispersion relationship(责任编辑:李家云)。

对一维双原子链晶格振动的讨论祖春燕 06科教一班 指导教师：陈敬艳摘要：在固体物理中，一维原子链晶格振动是晶格振动理论的基础。

本文研究了一维双原子链晶格振动的色散关系，讨论了一维双原子链晶格振动的特点，并总结了几种不同情况的一维双原子链振动的色散关系。

关键词：晶格振动，色散关系，光学模，声学模一维双原子链晶格的振动是研究晶格振动理论的基础,它包含了晶格振动的主要性质，是固体物理教科书中不可缺少的内容。

但在固体物理教科书中对该现象的理论分析及总结并不完备,本文试图从一维双原子链晶格振动出发总结出各种讨论的情况，以弥补教科书中的不足。

为了简化问题，我们选择自由一维双原子链，并且考虑最近邻原子的相互作用。

1.一维双原子链的色散关系考虑一般的一维双原子链,即在一条直线上相间地排列着质量为m 、M 的原子（m<M ）,相邻原子之间的平衡距离为a,即原胞的大小为2a,以x 2n 表示第n 个原胞内质量为m 的原子离开平衡位置的位移,以x 2n+1表示第n 个原胞内质量为M 的原子离开平衡位置位移,假设只有相邻原子间存在相互作用，力常数为β,则第n 原胞内两个原子的运动方程为)2()2(1222212212122+++-+-+=-+=n n n n n n n n x x x xM x x x xm ββ其中,n=0,±1,±2，……这是一个无穷多个方程联立的方程组,该方程组有行波解，))12((12)2(2aq n t i n naq t i n Bex Ae x +-+-==ωω代入运动方程得到：BA e eB M A B e e A m iaqiaqiaq iaq ββωββω2)(2)(22-+=--+=---以A 、B 为未知数的线性齐次方程：M2n-22n-12n 2n+12n+2 2n+3)2(cos 20cos 2)2(22=-+=---B M aqA aqB A m βωβββω若 A 、B 有非零的解，系数行列式满足02cos 2cos 2222=--βωβββωM aq aqm非零解条件，利用求根公式，可解得如下形式解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-±+=±aq m M Mm Mm m M 222sin )(411βω即一维双原子链的色散关系2.讨论一维双原子链晶格振动特点(1)存在两支w(q)与单原子链相比，双原子链情况存在着两支ω(q)关系。

一、名词说明：1、晶体：是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的，具有周期性和对称性。

2、非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性。

3、点阵：格点的整体称为点阵。

4、晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格5、格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。

6、晶体的周期性：晶体中微粒的排列依照必然的方式不断的做周期性重复，如此的性质成为晶体结构的周期性。

7、晶体的对称性：晶体通过某些对称操作后，仍能恢恢复状的特性。

（有轴对称、面对称、体心对称即点对称）。

8、密勒指数：某一晶面别离在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的Miller 指数9、倒格子：设一晶格的基矢为→1a ，→2a ，→3a ，假设另一格子的基矢为→1b ，→2b ，→3b ，与→1a ，→2a ，→3a 存在以下关系：⎩⎨⎧≠===•ji j i a b ij j i 022ππδ (i,j=1,2,3)。

那么称以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子是以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子的倒格子。

（相对的可称以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子是以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子的正格子）。

10、配位数：能够用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数。

11、致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞整体积之比称为点阵内原子的致密度。

12、固体物理学元胞：体积最小的晶胞，格点只在顶角上，内部和面上都不包括其他格点，整个元胞只包括一个格点。

是反映晶体周期性的最小结构单元。

13、结晶学元胞：格点不仅在顶角上，同时能够在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数、点阵常数或晶胞常数；体积通常较固体物理学元胞大。

反映晶体周期性和对称性的最小结构单元。

14、布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每一个格点周围的情形都一样。

《固体物理学》习题解答( 仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。

解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。

氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。

金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。

由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。

试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。

解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。

所以，其晶面指数为()1121。

(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。

所以，其晶面指数为()1120。

(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。

所以，其晶面指数为()1100。

(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。

所以，其晶面指数为()0001。

3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6π；体心立方：8；面心立方：6；金刚石：。

具有在位势的一维双原子链晶格振动的色散关系
田强;洪馥男
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2006(025)004
【摘要】在简谐近似下,求解具有在位势的一维双原子链晶格振动运动方程,得到了具有在位势的晶格振动的色散关系.在位势使色散关系声频支在布里渊区中心的振动频率不再为零,并且随在位势的增大而增大.对于原子之间相互作用势不随在位势大小变化的情况下,晶格振动的色散关系的频隙随在位势的增大而变宽.讨论了原子链由只有在位势的不连续极限(AC极限),通过在位势逐渐减弱而原子间相互作用势逐渐增强,最后演变到只有原子间相互作用势的原子链的情况.随着在位势减弱和相互作用势增强,色散关系的频隙由AC极限的孤立轻、重原子简谐振动频率之差逐渐变化到通常的无在位势的色散关系频隙.
【总页数】4页(P17-19,24)
【作者】田强;洪馥男
【作者单位】北京师范大学,物理系,北京,100875;北京师范大学,物理系,北
京,100875
【正文语种】中文
【中图分类】O472
【相关文献】
1.具有在位势的一维双原子链晶格振动的长声学波图像 [J], 潘学琴;田强
2.多近邻作用下具有在位势的一维双原子链晶格振动的色散关系 [J], 吕岿;童国平
3.计及所有长程库仑作用一维双原子链晶格振动的色散关系 [J], 陈志远;戴国田;谢菊芳;张端明
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一维双原子链的色散关系The dispersion relation of the one-dimensionaldiatomic chain摘要物理学中对晶格振动的研究一直是一个重要且有意义的课题。

关于晶格振动的研究通常建立在原子链的研究上。

本文在介绍关于原子链研究基础理论的基础上，讨论了一维单原子链晶格的色散关系，从一维双原子链的角度介绍了晶格的色散关系，然后在前面讨论的基础上对三维晶格的色散关系进行了推导。

关于原子链色散关系的研究，让我们对于晶格振动有个更加清楚地认识。

论文重点介绍了一维双原子链的色散关系，在公式推导的基础上，作者完成计算机编程和模拟计算，得到色散关系的曲线。

关键词：晶格振动，一维单原子链，一维双原子链，三维晶格，色散关系AbstractThe study of lattice vibration has been an important and meaningful topic in physics. The investigation of lattice vibration is usually based on the study of atomic chain. With the introduction of the theoretical basis of atomic chain, this thesis discusses the dispersion relation of one-dimensional monatomic chain lattice, as well as the dispersion relation of one dimensional diatomic chain lattice. Based on the knowledge above, the equations for describing the dispersion relation of three dimensional lattice are then derived. The study of dispersion relations allows us to have a more clear understanding of lattice vibration. This thesis mainly presents the study and discussion of the dispersion relation of one dimensional diatomic chain. In addition to the equation derivation, we carry out programming and simulations for obtaining some important dispersion-relation curves.II目录前言 (1)第一章理论基础 (3)第二章一维单原子链的色散关系 (6)2.1 建立振动模型 (6)2.2 建立振动方程并求解 (6)2.3 玻恩-卡曼条件 (8)2.4.qw 的函数关系 (10)第三章一维双原子链的色散关系 (13)3.1建立振动模型 (13)3.2 原子运动方程的求解 (13)3.3 周期性边界条件 (15)3.4 对于声学波和光学波的讨论 (16)第四章三维晶格振动的推导 (21)4.1 一维多原子链问题的处理 (21)4.2 建立三维模型和求解运动方程 (21)4.3 波矢q的取值和范围 (23)4.4 理论上的计算 (25)第五章结论和讨论 (28)致谢 (29)参考文献 (31)III前言讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。

位势的一维双原子链的晶格振动色散曲线在固体物理学中，位势的一维双原子链的晶格振动是一个重要的问题，它的研究有助于我们理解和解释固体物理学中的一些关键现象。

晶格振动是晶体中的原子在平衡位置附近发生的小振动，它是晶体中热力学性质的基础。

在此基础上，我们可以研究晶体的声学性质、热学性质和磁性质等。

一维双原子链是由两种不同原子以交替排列形成的，其中每个原子的势能可以用简谐振子势能表示。

因此，这个系统的晶格振动可以通过一维简谐振子链模型来描述。

在这个模型中，每个原子都看做是一个简谐振子，相邻原子之间的作用力是势能函数的一阶导数，即表示为弹性常数k。

由于这个模型是一维的，因此在纵向方向和横向方向上的振动是独立的。

对于一维双原子链，晶格振动的频率可以用色散关系来描述。

色散关系是指在一个周向周期内波矢的变化引起的频率的变化。

在一维双原子链中，波矢k和频率ω之间的关系可以写成：ω^2(k) = (4k^2k^2 - k^2k^2)/(4m) +/- ((k^2k^2)^2 - (4k^2k^2 -k^2k^2)^2/16)^(1/2)/(4m)其中，m是原子的质量，+/-代表长波和短波模的解。

这个色散关系表明在一维双原子链中，存在两种不同类型的振动——声学振动和光学振动。

声学振动通常来源于原子的长程弹性相互作用，具有相同的相位和相同的振动方向。

这意味着在这种振动中，相邻原子之间的相对位移是相等的，它们沿着链的方向振动。

相反，光学振动通常源于原子之间的电磁相互作用，具有不同的相位和不同的振动方向。

这意味着，在这种振动中，相邻原子的相对位移是不相等的，它们在垂直于链的方向上振动。

对于一维双原子链的晶格振动，有两个特别有趣的点：无穷远波长和极短波长的情况。

在无穷远波长的情况下，声学振动和光学振动的频率都趋于零。

这意味着，在这种情况下，整个晶体的平移是可能的，并且这是一个有声波的晶体。

在另一方面，当波长很短时，声学振动的频率趋于一个有限值，而光学振动的频率则趋于无穷大。

第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。

只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。

由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。

通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。

势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。

将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。

N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。

可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。