数理统计电子教案4_1

几何概型的例子
例1 蒲丰（Buffon）投针问题
平面上画有间隔为d 的等距平行线，
向平面任意投掷一枚长为l (l<d) 一条平行线的
距离，又以表示针与此直线间的交角.
易知样本空间S满足：
0 x d/2; 0 . S形成x-平面上的一个矩形，其面积为：
几何概率的计算公式
随机事件 A 包含的样本点测度 P (A ) = ———————————————
样本空间 S 包含的样本点测度
关于“测度”( measure )的理解 1. “测度” 是一个数学概念，它是我们现实生活中的
“度量” 概念的数学抽象 ( 一种集合函数 ) 。 2. 几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积等等。 3. 古典概型中的 “样本点个数” 也是一种测度。
C
D
圆面积的1/4，故所求概率等于
1/4(见图)。
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在
4. 前面课程中对 “概率” 的定义就是一种测度定义。
几何概率的基本性质
从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 本性质：
⑴对于任何事件A,P(A)≥0； ⑵P(S)=1； ⑶若A1 ，A2 ，… 两两互不相容，则
P An P( An ) n1 n1
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性。前两个性质 与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容 的事件成立。
B A
N
[解法二] 弦长只跟它与圆心的距离有
关，而与方向无关，因此可以假定它
A
C 1/2 B
垂直于某一直径。当且仅当它与圆心
1/2
的距离小于1/2时，才满足要求，因

P{ n( A) 1 0.01} 0.95 n2
解：由切比雪夫不等式知
n( A)
P{ n( A) n
p
} 1
D( n
2
)
而
D(n( A)) n
D(n( A)) n2
np(1 n2
p)
p(1 n
p)
取 0.01，p 1 代入上式，得
2
P{ n( A) p } P{ n( A) 1 0.01}
D( X k ) C (k 1,2,)则对于任意的 0 有
lim
n
P{
1 n
n n
n
EX
k 1
k
}1
证明：由于 X k (k 1,2,) 相互独立，故有
E(1 n
n
X
k 1
k
)
1 n
n
EX
k 1
k
D(1 n
n
X
k 1
k
)
1 n2
n
DX
k 1
k
对于任意的 0 ,考虑到 D( X k ) C (k 1,2,) ,
引理（Chebyshev’s 不等式）：若r.vX 具有期
望 EX ， 方差 DX 2 ，则对于任意的 0 有
或即事若件P“PX{{X~XXN(,32)}}，”则1的22P发{生2X 几 乎是3可}以（肯（0.49定4-9-71的2），）。
证但明对：任(只意证的连随续机型变）量设XX2的（概不率知密其度分为布f (）x) ，，则若
n
n2
1
4
1 104
n
欲使上式左边大于
0.95,只须使 1
4
1 104
n
0.95 。

2σ
则有
E(X) x(px)dx
x
1 e(x2σμ2)2dx
2σ
令x μ t x μ σ t, σ
所以 E (X )x 1e(x 2 σ μ 2)2dx
2 σ
1
t2
(μσ)te 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
2
2
μ.
可 见 ,N (,2 ) 中 的 正 是 它 的 数 学 期 望 .
又 E (X 3 ) ( 2 ) 3 1 0 3 1 1 3 1 3 3 1 1 , 3 2 1212 3
故 E (2 X 3 5 ) 2 E (X 3 ) 5 2 1 5 1.3 3 3
例3 商店的销售策略 某商店对某种的 家销 用售 电采 器用先使
付款的,方 记式 使用寿 X(以 命年 为)计 ,规定 :
证明 例如
E(C)X Ckx pkC xkpkCE (X).
k
k
E(X)5, 则 E (3X )3 E (X )3 5 1.5
3. 设 X、Y 是两个随机变量, 则有
E (X Y ) E (X ) E (Y ).
证明 E (X Y ) (x ky k)p k
k
推广
xkpk ykpkE (X )E (Y ).
n
n ( n p 1 )! p k 1 ( 1 p ) (n 1 ) (k 1 )
k 1 ( k 1 )[n !( 1 ) ( k 1 )]!
n
np
( n 1 )!
p k 1 ( 1 p ) ( n 1 ) ( k 1 )
k 1 ( k 1 )[n !( 1 ) ( k 1 )]!
定 义 设离散型随机变量X 的分布律为

0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
[例3] 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
P( X 30) P(30 X 30)
(30 20) ( 30 20)
40
40
(0.25) (1.25)
(0.25) [1 (1.25)]
0.5987 (1 0.8944) 0.4931.
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 ,
1
则当 很小时，
1.5
曲线的形状与一尖塔相似；
3
当 值增大时，
7.5
O
x
曲线将趋于平坦.
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F(x) 1
P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
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所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过