求函数值域的方法

第1页 共15页 求函数值域的方法

（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数11,1yxxx≥的值域。 2,

例2：求函数2610yxx的值域。 1,

例3：求函数1yx的值域。

解：∵0x，∴11x，

∴函数1yx的值域为[1,)。

（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数242yxx（[1,1]x）的值域。

解：2242(2)6yxxx，

∵[1,1]x，∴2[3,1]x，∴21(2)9x

∴23(2)65x，∴35y

∴函数242yxx（[1,1]x）的值域为[3,5]。

（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。

例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。

解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。

∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2xy，2,2x的值域。 1,44

例3：求函数2256yxx的值域。 73,8

（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 第2页 共15页 例1：求函数1212xxy的值域。

解：由1212xxy解得121xyy，

∵20x，∴101yy，∴11y

∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。

（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125xyx的值域。

解：∵177(25)112222525225xxyxxx，

∵72025x，∴12y，

∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。

（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。

例1：求函数212yxx的值域。

解：令12tx（0t），则212tx，

∴22151()24yttt 第3页 共15页 ∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。

∴函数212yxx的值域为5(,]4。

（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例1：求函数2231xxyxx的值域。

解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，

当1y时，此方程无解；

当1y时，∵xR，∴2(1)4(1)(3)0yyy，

解得1113y，又1y，∴1113y

∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy

（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1：求函数12yxx的值域。

解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，

∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。

∴11112222y，

∴函数12yxx的值域为1(,]2。

例2．求函数xxy1在区间,0x上的值域。

分析与解答：任取,0,21xx，且21xx，则

212121211xxxxxxxfxf，因为210xx，所以：0,02121xxxx， 第4页 共15页 当211xx时，0121xx，则21xfxf；

当1021xx时，0121xx，则21xfxf；而当1x时，2miny

于是：函数xxy1在区间,0x上的值域为),2[。

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

例3：求函数xxxf11的值域。

分析与解答：因为110101xxx，而x1与x1在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数xxxg11，易知)(xg在定义域内单调增。21maxgg，21mingg，2xg，202xg，

又422xgxf，所以：422xf，22xf。

（9）、基本不等式法

利用基本不等式abba222和)0,(2baabba是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""成立的条件.

例1 求函数12xxy的值域.

解答: 211112xxxxy, 当且仅当1x时""成立. 故函数的值域为),2[y.

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2 求函数1222xxxy的值域.

解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("x项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:

22))(1(2xxcbxx, (2)

将上面等式的左边展开, 有: 第5页 共15页 )()1(2cbxbx,

故而21b, 2cb.

解得1b, 1c.

从而原函数1111)1)(1()1(xxxxxy;

ⅰ)当1x时, 01x, 011x, 此时2y, 等号成立, 当且仅当0x.

ⅱ)当1x时, 0)1(x, 011x, 此时有

211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxxxy,

等号成立, 当且仅当2x.

综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(y.

不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例3. 求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

例4. 求函数的值域。

解： 第6页 共15页

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例1：求函数2211xyx的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得

2(1)(1)yxy，

∵1y，∴211yxy（xR，1y），

∴101yy，∴11y，

∴函数2211xyx的值域为{|11}yy

形如2),(sinxyf0,1sin),(2xyg因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

例2．求函数1212xxy的值域

[解析]：函数的有界性

由1212xxy得112yyx 第7页 共15页 11011,022yyyy或

例3：求函数2cos13cos2xyx的值域。 1,3,5

例4：求函数2sin2sinxyx的值域。 1,33

（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。

例1：求函数|3||5|yxx的值域。

解：∵22|3||5|822xyxxx (3)(35)(5)xxx，

∴|3||5|yxx的图像如图所示，

由图像知：函数|3||5|yxx的值域为[8,)

以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例2：求函数224548yxxxx的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为222()(2)1(2)2fxxx

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则EK=2x,KF=2x,AK=22(2)2x,

KC=2(2)1x 。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

例3．如例4求函数xxy11的值域。

分析与解答：令xu1，xv1，则0,0vu，222vu，yvu，

原问题转化为 ：当直线yvu与圆222vu在直角坐标系uov的第一象限有公85-3oyx