第十一章 真空中的恒定磁场

2R
（ 2）
R o+
I
B0 =
µ0 I
4R
（ 5） I
R2
（ 3） I
R o
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
Ba a
c
B
磁感应线的分布能形象地反映磁场的方向和大小特征
第十一章 真空中的恒定磁场 规定： 规定：通过垂直于磁感应线方向的单位面积的 磁感应线条数等于该点磁感应强度的大小。 磁感应线条数等于该点磁感应强度的大小。即
dN B= dS ⊥
dN是穿过 dS ⊥面的磁感应线条数。 的磁感应线条数。
dN
B
∫
第十一章 真空中的恒定磁场 例1 长直电流的磁场. 长直电流的磁场.
dB 方向均垂
直指向里 解 dB =
µ0 Idl sin θ
4π
2
θ2
Idl
I
θ
r
l
r µ0 Idl sin θ B = ∫ dB = ∫ 2 4π r l = −d cot θ , r = d / sinθ
2
d o
θ1
* dB P
2 3/ 2
B = ∫ dB =
µ 0 nI
∫ (R
3
2
R 2 dx
2
+x
2
)
R + x = R csc β
2
2
2
2
B=−
µ 0 nI
2
∫β
β
1
R csc β d β µ0 nI β 2 =− sin β d β 3 3 ∫ 2 β1 R csc β
第十一章 真空中的恒定磁场
讨 论
(1)
B=
µ0 nI
4π r 2 µ0 IR = 3 2r
2
dB =
dBx = dB sin ϕ
r = R +x
2
2
第十一章 真空中的恒定磁场
I
B R o x * x
B=
µ0 IR
2
2 2 3
（ 2 x + R ）2
讨 论
1）x < 0
右螺旋关系） 关系） B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系
2）在圆心处， 在圆心处， x 3）长度为
第十一章 真空中的恒定磁场
§1111-2
毕奥－ 毕奥－萨伐尔定律
Id l
线电流: 线电流:载流导线中的电流为I，导 线半径比到观察点P 的距离小得多。 的距离小得多。 在线电流上取长为 dl 的定向 线元， 线元 ，规定d l 的方向与电流 的方向相同， 的方向相同， 电流元。 I d l 为电流元。
x
x
++ ++++ ++ +++ ++ +
解 由圆形电流磁场公式
B=
µ 0 IR
2
2 2 3/ 2
（ 2 x +R）
第十一章 真空中的恒定磁场
β1
β
x1
o p
β2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +
x
dB =
µ0
2
R In d x
2
(R
2
2Байду номын сангаас
+x
x2 x1
2 3/2
)
x = R cot β 2 dx = − R csc βdβ
运动电荷的磁场 实用条件
v << c
q
+
r
θ
+
v
B
−q
r
θ
v
B
第十一章 真空中的恒定磁场
§1111-3
毕奥－ 毕奥－萨伐尔定律的应用
由毕奥—萨伐尔定律求磁场 步骤： 步骤：(1)将电流分解为无数个电流元 (2)由电流元求 dB (据毕—萨定律) (3)对 dB 积分求 B = dB 矢量积分须化作分量积分去做： 矢量积分须化作分量积分去做： Bx = ∫dBx ； By = ∫dBy ； Bz = ∫dBz
一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁， 一只能够在水平面内自由转动的条形磁铁，平衡时总是顺 着南北指向。 着南北指向。指北的一端称为北极或N 极，指南的一端称为 南极或S 极。
(3)同性磁极相互排斥 (3)同性磁极相互排斥， 异性磁极相互吸引。 同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
S N S
N
第十一章 真空中的恒定磁场
第十一章 真空中的恒定磁场
对磁现象的认识
I
1820年4月 奥斯特
S
N
后来人们还发现磁电联系的例子有： 后来人们还发现磁电联系的例子有： 磁体对载流导线的作用； 磁体对载流导线的作用； 通电螺线管与条形磁铁相似； 通电螺线管与条形磁铁相似； 载流导线彼此间有磁相互作用； 载流导线彼此间有磁相互作用；…… 上述现象都深刻地说明了： 上述现象都深刻地说明了： 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。 磁现象与运动电荷之间有着深刻的联系。
6 5
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
dB =
µ 0 Idl
4π R
0 sin 45 2
第十一章 真空中的恒定磁场
运动电荷的磁场
毕— 萨定律 dB =
µ0 Idl × r
4π r3
S
I = v Snq
dB = 4π r3
dl
µ0 Snqdl v × r
d N = nS d l d B µ0 qv × r B= = 3 d N 4π r
第十一章 真空中的恒定磁场
三、 磁场的高斯定理 1. 磁感应线
规定： 规定：曲线上每一点的切线方向 曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 切线方向就是该点的磁感 应强度 B 的方向， 的方向，曲线的疏密程度 曲线的疏密程度表示该点的磁感应 疏密程度表示该点的磁感应 强度 B 的大小. Bc Bb
b
(4)把磁铁作任意分割 (4) 把磁铁作任意分割， 把磁铁作任意分割 ， 每一小块都有南 北两极， 北两极，任一磁铁总是两极同时存在。 任一磁铁总是两极同时存在。
（存在方式与电荷不同: 存在方式与电荷不同:自然界中正负电荷可以独立存在） 自然界中正负电荷可以独立存在）
(5)某些本来不显磁性的物质 (5)某些本来不显磁性的物质， 某些本来不显磁性的物质，在接近或接 触磁铁后就有了磁性， 触磁铁后就有了磁性，这种现象称为磁化。 这种现象称为磁化。
dl = d ⋅ dθ / sin θ µ 0 I θ2 sin θ d θ B= ∫ 4 π d θ1
第十一章 真空中的恒定磁场
B=
∫ 4πd θ
µ0 I
θ2
1
sin θ d θ =
（cosθ1 − cosθ2） 4πd
µ0 I
讨 论 1、在导线延长线上， 导线延长线上，
θ2
B=0
2、无限长直导线
s
n
θ
ds
S
B
单位： 单位：韦伯（ 韦伯（Wb） Wb）
第十一章 真空中的恒定磁场
3
磁场的高斯定理
由于磁场线是无头无尾的闭合曲线， 由于磁场线是无头无尾的闭合曲线，所以穿过任意 闭合曲面的总磁通量必为零。 闭合曲面的总磁通量必为零。
∫∫
s
B ⋅ ds ≡ 0
这说明 i) i)磁场线是无头无尾的闭合曲线 磁场线是无头无尾的闭合曲线。 磁场线是无头无尾的闭合曲线。 ii)磁场是无源场 ii)磁场是无源场， 磁场是无源场，磁单极子不存在。 磁单极子不存在。
=0 B =
µ 0I
2R
(♥ )
l
的圆弧在圆心处， 的圆弧在圆心处，
B =
µ0I
2R
⋅
l 2π R
(♥ )
第十一章 真空中的恒定磁场 例3 载流直螺线管的磁场 密绕直螺线管， 密绕直螺线管， 长为l , 半径为R，单位长度上的匝数 为n，通有电流I，求管内轴线上一点P处的磁感强度.
R
o * p
dx
dS ⊥
第十一章 真空中的恒定磁场
直线电流的磁感应线 I I B
第十一章 真空中的恒定磁场
圆电流的磁感应线
I
第十一章 真空中的恒定磁场
通电螺线管的磁感应线
I I
第十一章 真空中的恒定磁场
磁感应线的特征： 磁感应线的特征： (1) 无头无尾的闭合曲线 (磁单极子不存在) 磁单极子不存在) (2) 与电流相互套连， 与电流相互套连，服从右手螺旋定则 (3) 磁感应线不相交
µ0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
第十一章 真空中的恒定磁场
µ 0 Id l s in θ 大小: 大小: d B = 2 4π r
若θ =0或 =0或π，则dB=0， =0， 即电流元在其直线延长线方向不产生磁场。 电流元在其直线延长线方向不产生磁场。 若θ = π/2， /2，则dB最大 dB最大( 最大(其它因素不变的情形下) 其它因素不变的情形下)
2
(cos β 2 − cos β1 )
π β1 = , β 2 = 0 2 1 B = µ 0 nI 2
无限长的螺线管 无限长的螺线管 （2）半无限长螺线管 半无限长螺线管
β1 = π , β 2 = 0
B = µ0 nI
1 µ 0 nI 2