相似三角形的应用
【学习目标】
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算．
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
【知识回顾】
一、相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等．
（2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．
． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．
二、相似三角形的应用:
1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
2、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．
【典型例题】
例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？
A B
C Q
M D N
P
E
例2：阅读以下文字并解答问题：
在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的
4
名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为（）
A、6.5米
B、5.75米
C、6.05米
D、7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
图1 图2 图3 图4
例3
：如图，已知AD 是△ABC 的中线，M 是边AC 上的一动点，=CM nAM ，BM 交AD 于N 点。
⑴ 如图①，若1n =，则
=AN ND 。如图②，若2n =，则=AN
ND 。 如图③，若3n =，则=AN
ND
。
⑵ 猜想，AN
ND
与n 存在怎样的关系？并证明你的结论。
⑶ 当n = 时，恰有AN CM
ND AM
=
【同步练习】如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则S △DMN ∶S 四边形ANME =
例4：如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形
DBCE 重叠部分的面积记为y ．
（1）用x 表示ADE △的面积；
（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
B C A
E
A '
D
B
C
A
【同步练习】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ 于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF 取得最大值?最大值为多少?
例5：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
【同步练习】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．
例6：如图，已知抛物线y＝
4
3
x 2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－
1，0），过点C的直线y＝
t4
3
x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是___________，b＝_______，c＝_______；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
A
C
B
Q
P
O
H
x
y
