九年级数学——相似三角形等比等积式培优提高

初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。

求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。

(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。

(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。

考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。

变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。

A.1 : 3B.2 : 3C.1D.2 第四章 相似三角形单元培优训练（二）.选择题是（ ）2.如图，在？ABC 中，E 为CD 上一点，连接 AEBD 且AEBD 交于点 F ， Sx DE ： AB =4: 25，则 DE EC=（） A.2: 5 B.2 : 3 C.3 : 5 D.3 : 23. 如图，在平行四边形 ABC 中，AB=6, AD=9,/ BAD 勺平分 线交BC 于 E,交DC 的延长线于F , BGLAE 于G BG ，.:, 则厶EFC 的周长为（） A.11 B.10 C.9 D.84. 如图，DE MX ABC 的中位线，延长DE 至 F 使EF=DE 连接 CF 则S x CEF ： S 四边形 BCE 的值为（）1.如图，△ ABC 中,DE/ BQ DE =1, AD=2, DB=3,贝卩BC 的长 A.-3 5 7 B.— C.— D.— 2 2 2第2题 第3题5. 如图，。

是4ABC 勺边 BC 上一点，已知 AE =4,AI =2. / DAC / B,若厶ABD 勺面积为3,则厶ACM 面积为（6.如图，在△ ABC 中, AB=AC=a , BC=b(a >b ) 次作/ CBD / A / DCE /CBD /EDF /DCE 贝S EF 等于(.3 3 4 4A AB-b ?C 2D •咅 a ba b7.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3.4及X,那么x 的值（）A.只有1个B. 可以有2个C.可以有3个D.有无数个 8.如图，点A, B, C, D 为。

0上的四个点，AC 平分/ BAD AC交BD 于点E, CE=4, CO 6,贝S AE 的长为（）A.4B.5C.6D.7A.aB. 1 2aC.D..在厶ABC 内依9. 如图，在厶ABC中/A=60°, BM L AC于点CN L AB于点N, P为BC边的中点，连接PM PN则下列结论：①PMPN ②塑単③厶PMI为等边三角形；④当/ ABC45。

第13讲相似三角形知识点1相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.直角三角形相似判定定理斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.【典例】1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC 相似．2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．3.如图，已知O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．【方法总结】（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.【随堂练习】1．（2018•襄州区模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=_______．2．（2018•扬中市二模）如图，▱ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．知识点2 相似三角形的性质相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【典例】1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC 的长和∠D的度数．2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．【方法总结】1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等【随堂练习】1．（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____．2．（2018•六安模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；③若S1=S2，则S3=S4，④若△PAB∽△PDA，则PA=2其中正确的是______（把所有正确的结论的序号都填在横线上）3．（2017秋•临清市期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C 以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC相似？试说明理由．知识点3相似三角形的综合应用【典例】1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD 方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB 的高度．2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【方法总结】相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半【随堂练习】1．（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．2．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．综合运用：相似三角形1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是，说明理由；（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．（2）求∠1+∠2的度数．6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．。

九年级数学下册尖子生培优题典【人教版】相似三角形的性质专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共22题，选择10道、填空6道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•南安市期中）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（）A．25：9B．9：25C．5：3D．3：52．（2022秋•苏州期中）如图，△ABC∽△A1B1C1，若，A1B1＝4，则AB的长度为（）A．1B．2C．8D．163．（2022秋•济南期中）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（）A．B．C．D．64．（2022秋•长安区校级月考）如图，在ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法；丙：若CP＝1，则有3种不同的剪法．A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．6．（2022•泗阳县一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（）A．x2+h2＝c²B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+7．（2022•兴庆区校级一模）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（）A．3B．4C．2D．38．（2021秋•锦江区期末）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（）A．B．C．3或5D．或9．（2021秋•渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P 为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（2022•石家庄三模）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•鄞州区校级月考）D、E分别是△ABC中AB、AC边上两点，且AD＝4，BD＝2，AC＝8，若△ABC与△AED相似，则AE的长为．12．（2022春•惠山区期末）如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．13．（2022•乳山市模拟）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，若△AQD与△BCP相似，则AQ的长是．14．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为．15．（2022秋•西湖区校级月考）如图Rt△AOB∽△DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA ＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P点，连接MP，△AOB保持不动，将△COD绕O点旋转，则MP的最大值是．16．（2022•郫都区模拟）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线．如图，AC是△OAB的华丽分割线，OA＝2AB且OC＝AC，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•成武县期末）如图在△ABC中，D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．（1）求∠ADC度数；（2）如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．18．（2022春•肇源县期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB ＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．19．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD 并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）若∠ADP＝32°，求∠FPB；（2）若AP＝，求BE；（3）若△PFD∽△BFP，求．20．（2021秋•南安市月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与直线AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）当∠CPD＝30°时，求AE的长．（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，AB＝AD，AD∥BC，求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD+∠BCD＝180°，求证：对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．22．（2022秋•灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t．（1）当P在线段BC上运动时，BP＝，当P在线段AB上运动时，BP＝（请用含t的代数式表示）；（2）求出满足条件的所有t值．。

相似三角形两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．例1 如图2-64所示，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF ．分析 由于BC 是△ABC 与△DBC 的公共边，且AB ∥EF ∥CD ，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF ．解 在△ABC 中，因为EF ∥AB ，所以同样，在△DBC 中有①＋②得设EF=x 厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题请同学自己证明．例2 如图2-65所示． ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB=a ，BC=b ，BF=c ，求BE ．分析 本题所给出的已知长的线段AB ，BC ，BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ，构造出△FEB ∽△FOG ，进而求解．解 过O 作OG ∥BC ，交AB 于G ．显然，OG 是△ABC 的中位线，所以在△FOG 中，由于GO ∥EB ，所以例3 如图2-66所示．在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分分析 因为AD 平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE ∥AB ，交AC 于E ，则△ADE 为正三角形，从而AE=DE=AD ，利用△CED ∽△CAB ，可实现求证的目标．证 过D 引DE ∥AB ，交AC 于E ．因为AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以△ADE 是正三角形，所以EA=ED=AD ． ①由于DE ∥AB ，所以△CED ∽△CAB ，所以由①，②得从而例4 如图2-67所示．ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD于F ，EO 延长线交AB 于G ．求证：分析 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．证 延长CB 与EG ，其延长线交于H ，如虚线所示，构造平行四边形AIHB ．在△EIH 中，由于DF ∥IH ，所以在△OED 与△OBH 中，∠DOE=∠BOH ，∠OED=∠OHB ，OD=OB ，所以 △OED ≌△OBH(AAS)．从而DE=BH=AI ，例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB(或其延长线)分别交于D ，E ，F(如图2-68所示)．求分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．证 过B 引BG ∥EF ，交AC 于G ．由平行线截线段成比例性质知说明 本题也可过C 引CG ∥EF 交AB 延长线于G ，将求证中所述诸线段“集中”到边AB 所在直线上进行求证．例6 如图2-69所示．P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE ，FG ，HI 分别平行于AB ，BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425．求d ．分析 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：进而求d ．因为FG ∥BC ，HI ∥CA ，ED ∥AB ，易知，四边形AIPE ，BDPF ，CGPH 均是平行四边形．△BHI ∽△AFG ∽△ABC ，从而将②代入①左端得因为DE=PE ＋PD=AI ＋FB ， ④AF=AI ＋FI ， ⑤BI=IF ＋FB ． ⑥由④，⑤，⑥知，③的分子为DE ＋AF ＋BI=2×(AI ＋IF ＋FB)=2AB ．从而即下面计算d ．因为DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得解得d ＝306．例6 如图2-76所示．△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AB ∶AC=BD ∶DC ．分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．证 过B 引BE ∥AC ，且与AD 的延长线交于E ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1=∠2．又因为BE ∥AC ，所以∠2=∠3．从而∠1=∠3，AB=BE．显然△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．说明这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．例7如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．证过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠CAE．因为BG∥AC，所以∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以∠ABF=∠HBF，从而AB∶BH=AF∶FH．又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为AM∶MB=FM∶ME．在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以△MEF∽△MAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以∠ABM=∠FEM，所以 EF ∥AB ．例8 如图2-78所示．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4．即可，为此若能设法利用长度分别为AB ，BC ，CA 及l=AB ＋AC 这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC 中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC 为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC 相似，期望能解决问题．证 延长AB 至D ，使BD=AC(此时，AD=AB ＋AC)，又延长BC 至E ，使AE=AC ，连结ED ．下面证明，△ADE ∽△ABC ．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB 是等腰三角形ACE 的外角，所以∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α＝∠EBA ，AE ＝BE ．又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以△ABC∽△DAE，所以例9 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.分析要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似．证在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以∠PBC=∠PHB=90°，从而∠PBH=∠PCB．显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为∠ABC=∠BCD=90°，所以∠HBQ=∠HCD，所以△HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．又因为∠BHQ＋∠QHC=90°，所以∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．例10如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．分析与证明若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2，①等价于PB2-PA2=QA2-QC2．②因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，②等价于(AD＋PD)2-(AD-PD)2=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③③等价于AD·PD=AE·EQ．④因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等价于ME·PD=MD·EQ．⑤为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．下面我们来证明这一点．事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME 为矩形，所以∠DME=90°=∠PMQ(已知)．⑥在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即∠PMD=∠QME．⑦由⑥，⑦，所以△MPD∽△MEQ．由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．例11如图2-81所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．解取AF的中点G，连接DF，EG．由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)．又在△BDF中，E是BD的中点，且EH∥DF，所以因为EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，从而显然，H是BF的中点，所以故所求的三条线段长分别为。

第四章相似三角形单元培优训练（一）一. 选择题1.如图，A，B 两地被池塘分开，小明经过以下方法测出了 A. B 间的距离：先在 AB外选一点 C，而后测出 AC，BC的中点 M，N，并丈量出 MN的长为12m，由此他就知道了 A. B 间的距离.有关他此次研究活动的描述错误的选项是（）A. AB=24mB.MN//ABC.CMN∽CABD.CM :MA1: 2第1题第2题第3题2.如图，在△ ABC中， D. E 分别是 AB. BC上的点，且 DE∥AC，若 S BDE：S=1：4，则S：S=（）△△CDE△ BDE△ ACDA.1 ：16B. 1：18C.1：20D.1：243.在研究相似问题时，甲 . 乙同学的看法以下：甲：将边长为的三角形按图 1 的方式向外扩大，获得新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将 3 和 5 的矩形按 2 的方式向外 ，获得新的矩形，它 的 距均1， 新矩形与原矩形不相似.于两人的 点，以下 法正确的选项是（ ）A. 两人都B. 两人都不C. 甲 ，乙不D. 甲不 ，乙4. 如 ， 6 的大正方形中有两个小正方形， 若两个小正方形的面 分 S 1 , S 2 ， S 1 S 2 的 （）A.16B.17C. 18D.195．如 ，已知直 l ： y3x ， 点（，）作y 的垂3A 01交直 l于点 B ， 点 B 作直 l 的垂 交 y 于点 A ；1点 A 1 作 y 的垂 交直 l 于点 B 1， 点 B 1 作直 l 的垂 交 y 于点A 2；⋯；按此作法 下去， 点 A 4 的坐（）A. （0，64）B. （0，128）C.（0，256）D.（0，512）第4题第5题第6题第8题6. 如 ，菱形 ABCD 中，点 M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB . 若NF= NM = 2 ，ME = 3 ， AN =（）A.3B.4C.5D.67．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为 30cm和 60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与三角形相似，要求以此中一根为一边，将另一根截成两段（同意有余料）作为别的两边 . 那么另两边的长度（单位： cm）分别为（）A.10，25B.10，36 或 12，36C.12，36D.10，25 或 12，368.如图， Rt△ABC中，∠ ACB=90°，∠ ABC=60°， BC=2cm，D为 BC的中点，若动点 E 以1cm/ s 的速度从 A 点出发，沿着A→B→A的方向运动，设 E点的运动时间为 t 秒（0≤t ＜6），连接 DE，当△ BDE是直角三角形时， t 的值为（）A.2或 3.5或 4.5 D.2或 3.5 或 4.59.已知：在△ ABC中， BC=10，BC边上的高 h=5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作 EF∥BC，交 AC边于点 F.点 D为 BC上一点，连接 DE. DF.设点 E 到 BC的距离为 x，则△ DEF的面积 S关于 x 的函数图象大体为（）10.如图，∠ BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点 D. E 为 BC边上的两点，且∠ DAE=45°，连接 EF. BF，则以下结论：①△ AED≌△ AEF；②△ ABE∽△ ACD；222③BE+DC＞DE；④ BE+DC=DE，此中正确的有（）个 .A.1B.2C.3D.4二. 填空题11.如图，在?ABCD中，E在AB上，CE. BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=第11题第12题第 13题12.如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20米的 A处，则小明的影子 AM长为米.13.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，并且落在离网 4 米的地点上，则球拍击球的高度h为14.将一副三角尺以以下图叠放在一起，则的值是15.劳技课上小敏取出了一个腰长为 8 厘米，底边为 6 厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2 的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他极点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为_____________第 14题第 16题第17题16. 如图，△ABC中，E. F分别是AB. AC上的两点，且，若△ AEF的面积为2，则四边形 EBCF的面积为17.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为2的正方形，极点 A. C分别在 x，y 轴的正半轴上.点 Q在对角线OB上，且 QO=OC，连接 CQ并延长 CQ交边 AB于点P.则点 P 的坐标为18.如图，正方形 ABCD中，过点 D 作 DP交 AC于点 M，交AB 于点 N，交 CB的延长线于点 P，若 MN=1，PN=4，则DM的长为第 18题第 19题1 ，，则第20题AD的长是19. 如图，在△ ABC中， DE∥BC，DE=4BCDB220.如图，在△ ABC中，AB=2，AC=4，将△ ABC绕点 C按逆时针方向旋转获得△ A′B′C，使 CB′∥ AB，分别延长 AB，CA′订交于点 D，则线段 BD的长为三. 解答题21.如图，□ABCD中，E是 CD的延长线上一点， BE与 AD交于点F，DE 1 CD.2（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为 2，求□ABCD的面积 .22.矩形 OABC的极点 A. C分别在x轴和y轴上，点 B 的坐标为4，6 ，双曲线y k( x0) 的图象经过BC的中点D，且于AB交x于点E.（1）求反比率函数分析式和E点坐标；（ 2）若F是OC上一点，且以∠ OAF和∠ CFD为对应角的△ FDC和△ AFO相似，求 F 点的坐标 .23. 如图，抛物线y ax2bx c a 0 与x轴交于点A1,0 ，B 3,0 两点，与 y 轴交于点C 0, 3 .（1）求该抛物线的分析式及极点 M的坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P 作射线 PQ∥AC交抛物线于点 Q，跟着 P 点的运动，在抛物线上能否存在这样的点Q，使以 A. P. Q. C为极点的四边形为平行四边形？若存在央求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由.yxA O BCM参照答案一．选择题题号 12345678910答案D C A B C B D D D C三. 解答题21.解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ A＝∠ C，AB∥CD，∴∠ ABF＝∠ CEB，∴△ ABF∽△ CEB.⑵∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A D∥BC，AB∥CD，＝∴△ DEF∽△ CEB，△ DEF∽△ ABF，∵DE1CD,2∴SDEFDE S CEB EC∵S DEF2,∴S CEB 18,S221 ,SDEF DE 1 ,9SABF AB4ABF8,∴ S四边形BCDF S BCE S DEF16 ,∴ S四边形ABCD S四边形BCDF S ABF1682422. 解：（1）四边形ABCD是矩形，D是BC中点，B4,6∴D 2,6设反比率函数分析式为k∵k∴ k1212y6yx2x123∴ E4,3当 x 4 时，y4（2）设F 0, y∵∠ OAF=∠DFC△AOF∽△ FDC∴ OF CD即y2OA CF4 6 y∴ y2 6 y80 解得： y1 2y2 4∴F 0,2 或F 0,4SABC1 3 642SBCM:SABC3: 6 1: 2（3）存在①当 Q 点在 x 轴下方时，作 QE ⊥ x 轴于 E∵AC ∥PQ 且 AC =PQ∴OC =EQ =33 x 22x 3解得： x 1 0 （舍）x 2 2∴ Q 2, 3②当 Q 点在 x 轴上方时，作 QF ⊥ x 轴于 F∵ A C ∥PQ 且 AC =PQ ∴Rt △OAC ≌Rt △FPQ ∴OC =FQ =33 x 22x 3 解得： x 1 1 7x 2 17∴ Q 17,3或Q 1 7,3综上，满足条件的 Q 点为 2, 3 或 17,3或1 7,3。

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 632. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E是CD 的中点．则△DEO 与△BCD 的面积的比等于（ ）A ．B ．C ．D ．3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =4. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN 的长为（）A．15 B．20 C．25 D．307. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（）A EA．3 5B．23C．45D．329. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个ABC10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF13. （2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BC DE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．15.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题（本大题共4道小题）19. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>． FCGEBDA（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长． （2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点． ②求λ的值．20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式； (2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．22.（2020·泰州）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为BC 边上的动点（与B 、C 不重合），//PD AB ，交AC 于点D ，连接AP ，设CP x =，ADP ∆的面积为S ．（1）用含x 的代数式表示AD 的长；（2）求S 与x 的函数表达式，并求当S 随x 增大而减小时x 的取值范围．人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．2. 【答案】B ．【解析】利用平行四边形的性质可得出点O 为线段BD 的中点，结合点E 是CD 的中点可得出线段OE 为△DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE ∥BC ，OE ＝BC ，进而可得出△DOE ∽△DBC ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO 与△BCD 的面积的比为1：4．3. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC 的高， ∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD 的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．8. 【答案】 A【解析】利用平行截割定理求CECA的值．∵DE∥AB，∴CEAE=CDBD=32，∵CE+AE=AC，∴CECA=35．9. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：ABC因此本题选A．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH ＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝1 2x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD22DF BF+221()2x x+5x，所以AD5x，所以CE＝AB＝2AD5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE5x．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝22AD AE +＝225()(5)2x x +＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ＝255，所以DE ＝52×255＝5，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝25，因此本题选D ．二、填空题（本大题共8道小题） 11. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．12. 【答案】22【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2．故答案为：2．13. 【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8 ,x 2＝2(舍去)， 824AE AC ==，此本题答案为2 ．14. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．15. 【答案】1【解析】 ∵D 、E 为边AB 的三等分点， ∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.16. 【答案】2 5－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.18. 【答案】326()55-，或(43)-， 【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，． 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝5，∴CF＝EF－EC＝5－1．（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴EC CG＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．20. 【答案】(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠EFA＝60°，∴∠ABC＝30°，∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC＝∠FDB，∴FB＝FD，∴△BDF是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF＝a，则AD＝7a，解图如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，由(1)得，BF＝2－a＝DF，∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，在Rt△ADC中，DC＝（7a）2－1＝7a2－1，在Rt△DCE中，tan30°＝CEDC＝1－a7a2－1＝33，解得a＝－2(舍去)或a＝12，(5分)∴AF＝1 2，在△CAF和△BAC中，CA AF＝BAAC＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，∴△CAF∽△BAC，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， 解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2，∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F ， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)22. 【答案】解： （1）∵DP ∥AB∴△DCP ∽△ACB ∴CD CP AC CB= ∴34CD x = ∴34CD x =∴AD ＝3－34x （2）∵△DCP ∽△ACB,且相似比为x ：4． ∴S △DCP ：S △ACB ＝x 2：16∴S △ABC ＝13462⨯⨯=∴S △DCP ＝238x ∴S △APB ＝13(4)22PB AC x ⨯⨯=- ∴S ＝S △ABC －S △ABP －S △CDP22336(6)283382x x x x =---=-+ 当2x ≥ 时，S 随x 增大而减少．。

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B 出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN 垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒， //OM AB ∴， OB OD =，5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG&bull;EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD&middot;DC ∴PD2＝AD&middot;DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG&middot;CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG&middot;CG＝GF&middot;GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG&middot;CG ＝GF&middot;GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。

2021年九年级数学中考一轮复习相似三角形培优提升训练1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD＝1，OC＝3，AD＝2，则AB的长为（ ）A．3B．4C．6D．82．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH 的长为（ ）A．0.6B．1.2C．2.4D．3.63．如图，小明（用CD表示）站在旗杆（用AB表示）的前方8m处，某一时刻小明在地面上的影子比EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6m，CE＝2m，则旗杆AB的高度为（ ）A．6.4m B．8m C．9.6m D．10m4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）A．B．C．D．5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）6．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC＝6，BE＝4，则AB长为（ ）A．6B．8C．D．7．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（ ）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点E、F分别在CB的延长线和反向延长线上，∠EAF＝135°，若CE＝3，BF＝4，则BC的长为（ ）A．1B．2C．2D．39．如图，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB 于F．若，则AB的长为（ ）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，∠EDB＝90°，则BE的最小值是（ ）A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，若BD＝4，则AE＝ ．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，则点P的坐标为 ．13．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝ ．14．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE 沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为 ．15．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝ ．16．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为 ；AF的长为 ．17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，其比值等于．如图，在正方形ABCD中，点G为边BC延长线上一动点，连接AG交对角线BD于点H，△ADH的面积记为S1，四边形DHCG的面积记为S2．如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为 ．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ．19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为 ．20．如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．21．如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．（1）求灯杆AB的长；（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．22．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求FG：AE的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）求证：△CDE∽△CBD；（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．24．如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q．（1）求证：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接DE，BG，若AB＝6，AE＝3，求DE2+BG2的值．25．（1）阅读下列材料，填空：如图1，已知点C为线段AB的中点，AD＝BE．求证：∠D＝∠BEC．证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则 ＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝ ．∴∠BEC＝∠F＝∠D．（2）如图2，AD为△ABC的中线，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC，F为线段AD上一点，且CF＝BE．①求证：△AEB∽△CFA．②若AD＝4，CD＝2，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，求线段AF的长．26．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：如图（2），在△ABC中，点D是BC边上一动点，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tan∠EDC＝时，求DE的长度；拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的长．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，当AC＝BC时，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：BE⊥AF；（2）过点C作CP⊥BE，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．①如图2，若AC＝BC，求证：＝；②如图3，若AC＝3a，AE＝2EC，BC＝kAC，求AP的长（用含a、k的式子表示）．答案1．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝3AD＝6，故选：C．2．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴＝，∴GH＝2.4，故选：C．3．解：∵CD⊥AE，AB⊥AE，∴DC∥AB，∵AC＝8m，EC＝2m，∴AE＝AC+EC＝2+8＝10（m），∴△DCE∽△BAE，∴，即，解得：AB＝8，故选：B．4．解：连接DE，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝AC＝4，∵CD⊥AB，∴AD＝BD，∴CD＝AB＝2，∵E为BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC＝2，∴△DEF∽△CAF，∴＝＝，∴DF＝CD＝，故选：C．5．解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选：A．6．解：∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠EDB，∴BE＝DE，∵BE＝4，∴DE＝4，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故选：C．7．解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM＝ME＝BC．∴△NDM∽△NBC，＝＝．∴＝．故选：B．8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABE＝∠ACF＝135°，∵∠EAF＝135°，∴∠EAB+∠CAF＝45°，∵∠A+∠CAF＝45°，∴∠EAB＝∠F，∴△ABE∽△FCA，∴＝，即AC2＝BE•CF，设AB＝BC＝x，则BC＝x，∵EC＝3，BF＝4，∴BE＝3﹣x，CF＝4﹣x，∴x2＝（3﹣x）（4﹣x），解得x＝和6（舍弃），∴BC＝x＝2，故选：B．9．解：如图，延长BC交FE的延长线于H．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵CD2＝DA•DB，∴，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠BCD，∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°．∴AB⊥CD，∵EF⊥AB，∴CD∥FH，∴，，∴，∵DM＝CM，∴HE＝EF＝4，在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，∵△AEF∽△HEC，∴，∴，∴AE＝5，∴AC＝AE+EC＝8.2，∵△HEC∽△ABC，∴，∴，∴AB＝．故选：C．10．解：作△BDE的外接圆圆F，当圆F与AC相切时，由切线的性质知FD为垂线段，此时FD最小，则BE最小，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，连接FD，∴FD⊥AC，∵∠C＝90°，∴FD∥BC，∴△AFD∽△ABC，∴，设BF＝a，则AF＝5﹣a，∴，解得：a＝，∴．故选：C．11．解：作AF⊥BC于点F，∵AB＝10，tan B＝，∴AF＝6，BF＝8，∵AB＝AC＝10，BD＝4，∴BC＝16，∠B＝∠C，∴CD＝12，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，即，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣＝，故．12．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CBP＝∠OBA，∴Rt△BPC∽Rt△BAO，∴＝，∵点B（8，0）和点A（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴BC＝5，∴＝，∴BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故（0，3）、（4，0）、（，0）．13．解：当＝时，△ADE∽△ABC此时AE＝＝＝；故．14．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝8，∴CE＝8﹣BE，当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，故答案是：或．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∵BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3，∴BE：AD＝1：3，∴AD：BE＝3：1，∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．故9．16．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE ∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，∴＝，解得．故．17．解：设△ADH的AD边上的高为h，△GBH的边BG上的高为h'，分两种情况：①点C是线段BG的黄金分割点，BC＞CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；②点C是线段BG的黄金分割点，BC＜CG，则BC＝BG，∴BG＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△ADH∽△GBH，∴＝＝，∴h＝h'，∵△ADH的面积记为S1＝AD•h，四边形DHCG的面积记为S2＝△BDG的面积﹣△BCH的面积＝BG•CD﹣BC•h'，∴＝＝＝＝；综上所述，如果点C是线段BG的黄金分割点，则的值为或；故或．18．解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故2．19．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故9．20．解：由折叠的性质可知，AB＝AF＝1，∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，整理得，AD2﹣AD﹣1＝0，AD＝，由题意得，AD＝，故．21．（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝，解得：AB＝6（米）；答：灯杆AB的高度为6m；（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），∴△HGF∽△HBA，∴＝，即＝，解得：GH＝2（米）；答：此时小丽的影长GH的长是2m．22．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴＝，∵AB∥CD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴＝，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DEA，∴＝＝；（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，由（1）可知，△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AEF＝∠ACB；②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，∴＝，∴DF2＝DG•DA．23．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE，又∵∠A＝∠BDE，∴△BAD∽△BDE，∴＝，∴BD2＝BA•BE；（2）证明：∵△BAD∽△BDE，∴∠ADB＝∠DEB，∵∠BDE＝90°，∴∠DBE+∠BED＝90°，∠ADB+∠EDC＝90°，∴∠DBE＝∠EDC，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD；（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，∵AB＝6，BE＝8，∴BD2＝6×8＝48，∴BD＝4，∴cos∠ABD＝＝＝，∴∠ABD＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∴∠C＝∠DBE，∴BD＝CD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD+∠BAG＝∠EAG+∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE，∵，∴＝，∴△GAD∽△EAB；（2）GD⊥BE，理由：由（1）知，△GAD∽△EAB，∴∠ADG＝∠ABE，DG与AB的交点记作H，如图，∴∠ADG+∠AHD＝∠ABE+∠BHQ，∴∠BAD＝∠BQH＝90°，∴GD⊥BE；（3）∵＝，AB＝6，AE＝3，∴AD＝8，AG＝4，如图，连接BD，EG，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝＝10，在Rt△AEG中，根据勾股定理得，EG＝＝5，由（2）知，GD⊥BE，在Rt△BDQ中，DQ2+BQ2＝BD2＝100，在Rt△EGQ中，EQ2+GQ2＝EG2＝25，在Rt△DQE中，DE2＝DQ2+EQ2，在Rt△BQG中，BG2＝BQ2+GQ2，∴DE2+BG2＝DQ2+EQ2+BQ2+GQ2＝（EQ2+EQ2）+（BQ2+GQ2）＝100+25＝125．25．（1）证明：作BF∥AD交DC延长线于点F，则∠D＝∠F，∠A＝∠CBF．∵C为AB中点，∴AC＝BC．∴△ADC≌△BFC（AAS）．∴AD＝BF．∵AD＝BE，∴BE＝BF．∴∠BEC＝∠F＝∠D；（2）①∵∠BED＝∠BAC，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠BED＝∠BAE+∠CAF，∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∴∠ABE＝∠CAF，同（1）的方法得，∠BED＝∠CFD，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CFD，∴∠AEB＝∠CFA，∴△AEB∽△CFA；②∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD＝2，BC＝2CD＝4，∵△ABC是以AB为腰的等腰三角形，Ⅰ、当AB＝BC时，如图2﹣1，∴AB＝4，∵AD＝4，∴AB＝AD，过点A作AH⊥BD于H，∴BH＝DH＝BD＝1，在Rt△ABH中，根据勾股定理得，AH＝＝＝，在Rt△ACH中，CH＝CD+DH＝3，根据勾股定理得，AC＝＝＝＝2，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，由①知，△AEB∽△CFA，∴∠BAE＝∠ACF，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠ACB﹣∠ACF，∴∠CAF＝∠DCF，∵∠ADC＝∠CDF，∴△CDF∽△ADC，∴＝，∴，∴DF＝1，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣1＝3；Ⅱ、当AB＝AC时，如图2﹣2，∵AD是△ABC的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，∵BE＝CF，∴点E，F重合，由①知，∠ABE＝∠CAD，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，∴BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BE2﹣DE2＝BD2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4，∴x＝，∴AF＝AE＝4﹣＝，即满足条件的AF的长为3或．26．证明：问题背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用：如图2，连接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，，∴设BD＝4x，CE＝3x，∴CD＝5﹣4x，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝＝，∴，∴x＝，∴EC＝，CD＝3，∴DE＝＝＝；拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∴∠BAM＝∠ADM＝∠BDC＝90°，∵∠BAD＝∠DBC，∴∠DAM＝∠BCD，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵tan∠BAD＝＝，∴BD＝2CD，∴BM＝2AC＝4，DM＝2AD，∴AM＝＝＝4，∵AD2+DM2＝AM2，∴AD＝．27．证明：（1）如图1，延长BE交AF于点Q，由题可得：∠FAC＝∠EBC，∠ACB＝90°，∴∠EBC+∠CEB＝90°，∵∠CEB＝∠AEQ，∴∠AEQ+∠FAC＝90°，∴∠BQA＝90°，∴BE⊥AF；（2）过点A作AH∥CB交CP的延长线于点H，如图2，∵∠ACB＝∠CPB＝90°，∴∠CBP+∠PCB＝90°，∠PCB+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠CBP，∵AH∥CB，∴∠CAH＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，在△ACH与△CBE中，，∴△ACH≌△CBE（ASA），∴AH＝CE，∵AH∥CQ，∴△APH∽△QPC，∴，∴；（3）∵AC＝3a，AE＝2EC，∴CE＝a，∴BC＝kAC＝3ka，∴BE＝，∵△ACH∽△CBE，∴，∴AH＝，∴CH＝，CP＝，∵由（2）知，＝，即＝．∴CQ＝3k2．∴AQ＝＝．∵，∴＝∴AP＝．。

2021年九年级数学中考一轮复习《相似三角形》培优提升测评（附答案）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．B．C．2D．32．等腰△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF，连结CE、BF交于点P，若＝，则的值为（）A．B．C．D．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l 上，连结OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．点D 是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，则P A：PC＝（）A．B．C．或D．以上都不对4．如图，点P是▱ABCD边上的中点，射线CP交DA的延长线于点E，若S△APE＝3，则S ABCD等于（）A．6B．9C．12D．155．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC边，CD边的中点，AE、AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，则S1：S2的值为（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，AD＝6，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FG分别交AD，AE，BC于点F，H，G，当时，DE的长为（）A．2B．C．D．47．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（）A．B．C．3D．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（）A．3B．6C．6D．39．如图，在△ABC中，点E在BC边上，连接AE，点D在线段AE上，GD∥BA，且交BC于点G，DF∥BC，且交AC于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2B．3C．D．11．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，且DE＝2，点B到线段AE的距离BF＝3，则正方形ABCD的边长是．12．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，∠A＝50°，D为△ABC形外一点，且∠D＝25°，BD与AC相交于点M．AM：MC＝2：1，则BM•DM＝．13．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝3EC，点F在边DC上，CF＝2DF，EF与AC交于点G．如果△GEC的面积等于2cm2，那么矩形ABCD的面积等于cm2．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．点D是AB边上一点，DE⊥AB交AC边于E点，点M、N分别在线段AD、BD上，EM＝EN，cot∠DME＝，联结BE，若△AME与△ENB相似，则AD的长为．15．如图，点D为等边△ABC边AC上一点，连接BD，以BD为边向右上方作等边△BDE，连接CE，DE交边BC于点F．若AD＝AB，则＝．16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝16，P、Q是对角线BD上的两点，且BP＝PQ＝QD，CQ交AD于点S，SP交BC于点R，则BR为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，C 为直线AB上一点，过点C作CD垂直x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，M 为抛物线的顶点，过点M作ME垂直y轴于点E，若D的坐标为（1，0）．则当△BEM 与△COD相似时，n的值为．18．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为．20．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若∠FOG＝45°，求矩形OACB的面积．21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D 作DE垂直于点E，且CD＝DE（1）求证：AD2＝2AE•AB；（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．22．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．23．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝160cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．24．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．（1）求证：△BFM∽△NF A；（2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．25．点C，D分别是△ABO的边AO、OB延长线上的点，AB的延长线交DC于E．（1）如图1，OA＝OC，AB＝CD，求证：DE＝BE；（2）如图2，OA＝OC，∠C＝90°，AC＝CD，CE＝3DE，求sin∠ABO；（3）如图3，若BE＝DE，＝，AB＝4，求DC的长．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．27．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．28．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．参考答案1．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴△PHD∽△HBD，∴＝，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝5，∴AH＝5﹣3＝2，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴△AHP∽△ACB，∴，即，∴AP＝，故选：A．2．解：作ED∥AC交BF于D，如图，∵ED∥FC，∴＝＝，设ED＝4x，BE＝y，则FC＝3x，AF＝y，∵AB＝AC，∴AE＝FC＝3x，∵DE∥AF，∴＝，即＝，整理得y2﹣4xy﹣12x2＝0，∴（y+2x）（y﹣6x）＝0，∴y＝6x，∴＝＝．故选：A．3．解：①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图1所示．∵∠APN＝∠CPM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE．∵AP⊥PC，∴EP＝CP．∵PM∥y轴，∴AF＝CF，OM＝CM．∴FM＝OA．设OA＝x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴，∵PD＝2OD，∴PF＝2OA＝2x，FM＝x．∴PM＝x．∵∠APC＝90°，AF＝CF，∴AC＝2PF＝4x．∵∠AOC＝90°，∴OC＝x．∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN＝OM＝x．∴P A：PC＝PN：PM＝：x＝．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．同理可得：PM＝x，CA＝2PF＝4x，OC＝x．∴PN＝OM＝OC＝x．∴P A：PC＝PN：PM＝x：x＝．综上所述：P A：PC的值为或；故选：C．4．解：∵点P是▱ABCD边上的中点，∴AP＝BP＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AP＝CD，△APE∽△DCE，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△APE＝3，∴S△DCE＝12，∴四边形APCD的面积为12﹣3＝9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△APE∽△BPC，∴＝（）2＝1，∴S△BPC＝S△APE＝3，∴平行四边形ABCD的面积为3+9＝12，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵DF＝CF，BE＝CE，∴＝＝，＝＝，∴＝＝，∴BG＝GH＝DH，∵△AGH的面积为S1，∴S△ABG＝S△AGH＝S△ADH＝S1，∴S平行四边形ABCD＝6S1，∴S1：S2，＝1：6，故选：A．6．解：如图作GM⊥AD于M．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝∠GMA＝90°，∴四边形ABGM是矩形，∴AB＝GM＝AD，∵FG⊥AE，∴∠AHF＝90°，∵∠DAE+∠AFH＝90°，∠AFH+∠FGM＝90°，∴∠DAE＝∠MGF，∵∠D＝∠GMF＝90°，∴△ADE≌△GMF，∴AE＝FG，设FH＝a，则FG＝AE＝5a，∵FG垂直平分线段AE，∴AH＝HE＝2.5a，∵tan∠F AH＝＝＝，AD＝6，∴DE＝，故选：B．7．解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，在Rt△BDN中，BD＝DN＝m，在Rt△CPF中，CF＝PF＝n，∵BD+DE+EF+CF＝AB，∴m+m+n+n＝3+，∴m+n＝3，∴n＝3﹣m，∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在Rt△BDN中，BD＝DN，BN＝DN，∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3，解得PF＝6﹣9，∴6﹣3≤m≤3﹣3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为．故选：D．8．解：如图，过点F作FM⊥AD于M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，∴△AEG∽△MFE，∴＝，设AG＝x，∵AD＝9，DE＝2AE，∴AE＝3，∴＝，∴ME＝2x，∴BF＝AM＝3+2x，在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2＝（6﹣x）2+（3+2x）2＝5x2+45，∵点G在线段AB上，∴0≤x≤6，由二次函数的性质可知，当x＝0时，GF2有最小值45，∴GF的最小值为3，故选：D．9．解：∵DG∥AB，∴＝，故本选项不符合题意；B、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝≠，故本选项不符合题意；C、∵DF∥CE，∴△ADF∽△AEC，∴＝，∵DG∥AB，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；D、∵DF∥CE，∴＝，∵DG∥AB，∴△DGE∽△ABE，∴＝，∴≠，故本选项不符合题意；故选：C．10．解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．11．解：设正方形的边长为x∵BF⊥AE∴∠ABF+∠BAF＝90°又∵∠DAE+∠BAF＝90°∴∠ABF＝∠EAD∵∠AFB＝∠EDA＝90°∴△ABF∽△EAD∴即解得x＝2（去掉了不合题意的值x＝﹣2）．12．解：如图，∵AB＝AC，∠A＝50°，∠D＝25°，∴∠D＝∠ABC，∴点D在以A为圆心AB为半径的⊙A上，延长CA交⊙A于H，连接BH．∵∠H＝∠D，∠HMB＝∠DMC，∴△HMB∽△DMC，∴＝，∴BM•DM＝CM•HM，∵AM＝2MC，AC＝6，∴CM＝2，HM＝10，∴DM•BM＝20．故答案为20．13．解：如图，过点F作FH∥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴FH∥BC∥AD，∴△CHF∽△CAD，△FHG∽△ECG．∵BE＝3EC，∴设EC＝x，则BE＝3x，BC＝AD＝4x，∵△CHF∽△CAD，CF＝2DF，∴＝＝，∴＝，∴HF＝，∵△FHG∽△ECG，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，＝＝，∵△GEC的面积等于2cm2，∴S△FHG＝×2＝（cm2），S△FGC＝×2＝（cm2），∴S△CFH＝+＝（cm2），∵△CHF∽△CAD，＝＝，∴＝，∴S△CAD＝×＝44（cm2），∴矩形ABCD的面积为：2S△CAD＝2×44＝88（cm2）．故答案为：88．14．解：①如图，当AD＝BD＝AB＝5时，△AME≌△BNE满足条件．②当△AME∽△ENB时，可得EM•EN＝AM•BN，∵EM＝EN，ED⊥MN，∴DM＝DN，∴EM2＝AM•BN，∵cot∠DME＝＝，∴可以假设DM＝2m，DE＝3m，则EM＝EN＝m，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AD＝4m，∴AM＝AD﹣DM＝2m，∵EM2＝AM•BN，∴13m2＝2m•BN，∴BN＝m，∵AB＝BN+2DM+AM＝10，∴m+4m+2m＝10，∴m＝，∴AD＝4m＝，综上所述，满足条件AD的值为5或．故答案为5或．15．解：如图，作FM⊥AC于M，FN⊥EC于N．∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∵∠A＝∠ACB＝∠ABC＝∠DBE＝60°，BA＝BC＝AC，BD＝BE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠A＝∠BCE＝60°，AD＝CE，∵∠FCE＝∠FCD，∵FM⊥CD，FN⊥CE，∴FM＝FN，∴＝＝，∴＝，∵AD＝AB＝AC，∴CD＝2AD＝2EC，∴＝＝，故答案为．16．解：设PR＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴SD∥RB，AD＝BC＝16，∵PB＝PQ＝QD，∴＝＝2，∴SD＝2x，∵＝＝，∴＝，∴x＝4，∴BR＝4，故答案我4．17．解：∵直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（n，0），B（0，n），∵CD⊥OA，D（1，0），∴C（1，n﹣1），∵抛物线经过O，A，∴可以假设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣n），把C（1，n﹣1）代入y＝ax（x﹣n），得到a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+nx，∴M（，），∵△BEM与△COD相似，∴有两种情形：当＝时，则有：＝，解得n＝±2或0（都不符合题意舍弃），当＝时，则有：＝，解得n＝2（舍）或3或或（舍弃），综上所述，满足条件的n的值为3或．故答案为：3或．18．解：设CP为x，BQ为y，则PB＝6﹣x，∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，∴△OCP∽△PBQ，∴＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，y的最大值为：，∴AQ的最小值为：4﹣＝，故答案为：．19．解：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即：，解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），经检验x1＝是原方程的解．故答案为：．20．解：∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，∴OD＝OE＝4，∴∠ODE＝∠OED＝45°；∴∠OGE＝∠ODF+∠DOG＝45°+∠DOG，∵∠EOF＝45°，∴∠DOF＝∠EOF++∠DOG＝45°+∠DOG，∴∠DOF＝∠OGE，∴△DOF∽△EGO，∴＝，∴DF•EG＝OE•OD＝16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，∵NG＝AC＝a，FM＝BC＝b，∴DF＝b，GE＝a，∴DF•GE＝2ab，∴2ab＝16，∴ab＝8，∴矩形OACB的面积＝ab＝8．故答案为8．21．解：（1）连接BD，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∴＝，∴＝，∴BD＝AC，∴BD＝AC＝AB，∵△BED为直角三角形，∴BD2＝BE2+DE2，BD2＝AB2＝（AB﹣AE）2+DE2＝AB2﹣2AB•AE+AE2+DE2，2AE•AB＝AE2+DE2，∵△AED为直角三角形，∴AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝2AE•AB；（2）过C作CF⊥AB，则BF＝AE，CD＝EF，∴BE＝CD+BF＝CD+AE，∴（CD+AE）2+DE2＝AC2，即[CD+（AB﹣CD）]2+CD2＝AB2，即3AB2﹣2AB•CD﹣5CD2＝0，∴（3AB﹣5CD）•（AB+CD）＝0，∵CD不等于负数，∴CD＝AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴S△ABC＝AB•DE＝50，∴S△ACD＝DC•DE＝AB•DE＝S△ABC＝30．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，∴∠BAG＝∠DEA，∴△ABG∽△EDA（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BFE，∴＝，∴AD＝BE，∴BC＝CE，∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．23．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB＝5x，CD＝4x，∴S△ABC＝×5x×4x＝160cm2，而x＞0，∴x＝4cm，则BD＝8cm，AD＝12cm，CD＝16cm，AB＝AC＝20cm．由运动知，AM＝20﹣2t，AN＝2t，①当MN∥BC时，AM＝AN，即20﹣2t＝2t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，∴12＝2t，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE＝AC＝10当DE＝DM，则2t﹣8＝10，∴t＝9；当ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；当MD＝ME＝2t﹣8，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝6，在Rt△AEF中，EF＝8；∵BM＝2t，BF＝BD+DF＝8+6＝14，∴FM＝2t﹣14在Rt△EFM中，（2t﹣8）2﹣（2t﹣14）2＝82，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．24．（1）证明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高，∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，∴∠FBM＝∠N，∵∠FBM＝∠N，∠BFD＝∠AFD，∴△BFM∽△NF A；（2）解：DF2＝FM•FN，理由为：证明：∵△BFM∽△NF A，∴＝，∴FM•FN＝FB•F A，∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠F AD＝90°，∴∠FDB＝∠F AD，∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠F AD，∴△BFD∽△DF A，∴＝，即DF2＝FB•F A，∴DF2＝FM•FN；（3）解：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，易证△ENM∽△FBM∽△FDB，∴＝＝，∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，∵DF2＝FM•FN，∴（4FM）2＝FM•（4FM+12），解得：FM＝1或FM＝0（舍去），∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，∵＝tan N＝，∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，在Rt△BFD中，BD＝＝＝2，在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，解得：AC＝5．25．解：（1）如图1中，作CF∥AE交DO的延长线于F．∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCO，∠ABO＝∠F，在△AOB和△COF中，，∴△AOB≌△COF，∴AB＝CF，∵AB＝CD，∴CF＝CD，∴∠D＝∠F＝∠ABO，∵∠ABO＝∠DBE，∴∠D＝∠DBE，∴ED＝EB．（2）如图2中，作OF∥CD交AE于F，EH⊥OD于H．设DE＝a．则EC＝3a，AC＝DC＝4a，∵OA＝OC，FO∥EC，∴AF＝EF，FO＝EC＝，在Rt△AEC中，AE＝＝5a，∴AF＝EF＝，∵OF∥DE，∴＝＝＝，∴BE＝EF＝a，∵∠D＝∠D，∠EHD＝∠C＝90°，∴△DEH∽△DOC，∴＝，∴＝，∴HE＝a，∴sin∠ABO＝sin∠HBE＝＝＝．（3）如图3中，作CF∥AB交DO于F．∵AB∥CF，∴＝＝，∵AB＝4，∴CF＝6，∵EB＝ED，∴∠D＝∠DBE＝∠ABO，∵∠ABO＝∠F，∴∠D＝∠F，∴CD＝CF＝6．26．（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．27．解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣28．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC．（2）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝EA＝EB，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠DAC＝∠ACE，∴CE∥AD．（3）解：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，AB＝6，∴CE＝AB＝3，∵CE∥AD，∴＝＝，∴＝．。

九年级数学——相似三角形等比等积式培优提高授课教案教师： 刘老师 学生：时间：2017年 月 日课程内容利用相似三角形证明等积式或等比式证明等积或等比例式的一般方法：把等积或比例式中四条线段分别看为两个三角形的对应边，通过证明两个三角形相似，从而得到需要证明的等积式或比例式。

寻找相似三角形的思路：（1）横向三点定形法：分别观察所证线段比例式的分子和分母，它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否分别为某三角形的三个顶点。

如要证EFBCBE AB =，则看△ABC 与△BEF 是否相似（再据题意确定字母顺序），若相似，则结论可证。

（2）纵向三点定形法：同横向三点定形法，改用各个比的分子和分母进行定形．如 要证EFDEBC AC = ，同理，看 △ABC 与△DEF 是否相似（再据题意确定字母顺序），若相似，则结论可证。

（3）若横向或纵向出现四个字母，则需要变原式：包括等量代换，等积代换和等比代换。

那么需要找一个中间比来联系两个比例，做到一比多用。

例1 如图在∆ABC 中，∠BAC=90º，BC 垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，交CA 的延长线于F 。

求证:DF DE DA •=2举一反三1、如图，若∠1=∠2=∠3，求证：AD=AB••AEAC2、如图P是□ABCD的BC延长线上的一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：MP2=MNAM•3、如图，CD的Rt∆ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA 的延长线于点F求证：DF•=BCCFAC•课堂训练一．解答题1．AD为Rt△ABC的斜边BC上的高，P是AD的中点，连BP并延长交AC于E．已知AC：AB=k．求AE：EC．2．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．求证：BD•CN=BM•CE．3．如图，Rt△BC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC上任意一点，连接BE，过A作AF⊥BE于F，求证：BD•BC=BF•BE．4．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F ．求证：AC•CF=BC•DF ．5、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC ．（1）求证：BC 平分∠PDB ； （2）求证：BC 2=AB•BD ； （3）若PA=6，PC=6，求BD 的长．6、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN •=•7、在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒． （1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？8、如图已知AD 是△ABC 的中线，过△ABC 的顶点C 任作一直线分别交AB 、AD 于点F 和点E ，证明：AE ·FB=2AF ·ED 。