2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律

①引力势能 引力势能
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2

一、内力的功
1.一对作用力与反作用力的功 一对作用力与反作用力的功 r r 是质点m 设 f12与 f21是质点 1、m2的一对作 r r 用力反作用力 f12 = − f21
m1
r r1
f 12
r r dr1
r r dr2 f 21
m2
o
r r12
dt时间内， m1和m2相对于某参照系有 时间内， r 时间内 r 这一对相互作用力作功之和为： 位移 dr1 和 dr2 。 这一对相互作用力作功之和为：
A外 + A内 = ∆Ek
外力作功与内力作功代数和， 外力作功与内力作功代数和，等于质点系总动能 的增量。 的增量。 ——质点系的动能定理 质点系的动能定理 注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的 注意：内力能改变系统的总动能， 总动量。 总动量。 因为内力总是成对出现， 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。但是由 于质点系内各质点间可以有相对位移， 于质点系内各质点间可以有相对位移，内力的功不一 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。 定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。
1 1 2 2 Ai外 + Ai内 = mi vi − mi v0i 2 2 1 1 2 2 对所有质点求和： 对所有质点求和： Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ mi vi − ∑ mi v0i ∑ 2 2
4
令
Ek = ∑ Eki
i =1
n
为质点系的动能， 为质点系的动能，
有： A外 + ∑ A内 = Ek − Ek 0 = ∆Ek ∑
Q A = −∆Ep 保守力作功等于势能增量的负值 保 ∴ A外 + A内 = A外 + A非保内 + A保内

O
Mv0 = (M + m)v Mv0 v= M +m
x
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻 力大小为：
f = −kx
QM >> m , ∴v ≈ v0
由动能定理， 有：
S1 1 2 1 2 0 − mv0 = ∫ − kxdx = − kS1 0 2 2
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为∆S ，则有
所以：
Fx = −
∂Ep ∂x
Fy = −
∂Ep ∂y
Fz = −
∂Ep ∂z
保守力的矢量式：
v ∂Ep v ∂Ep v ∂Ep v F = − ∂x i + ∂y j + ∂z k
结论：
保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系 统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向 指向势能降低的方向。
例4 一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑 圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离 开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略） 解 设单位长度的质量为λ
O
O
始末两态的中心分别为c和c′ 机械能守恒：
c l
c′ 2l
l 1 2 − 2(λlg) = −λ(2l )gl + λ(2l )v 2 2
2 − 0 ∑ 2
重力做功：
W = −(M∆t )gh
电动机对系统做的功： 由动能定理：
P∆t
1 P∆t − (M∆t )gh = (M∆t )v2 2
v2 12 P = M + gh = 50× + 9.8×5 = 2475W 2 2
a
−Wacb =W bda
d

EP EP EP dE p dx dy dz x y z
F d r F x dx F y dy F z dz
11
2.3.2 保守力 势能
Fx E p x
Fy E p y
2.3 能量守恒定律
Fz
7
2.3.2 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
讨论
势能是状态函数
E p E p ( x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .
势能是属于系统的 . 势能计算
W ( E p E p0 ) E p
8
2.3.2 保守力 势能
2.3 能量守恒定律
若要求a点的势能，则可选择b点为参考点 令 E pb 0
2
W

xB xA
Fdx

xB xA
kx d x
1 2
kx A )
2
W

kx d x 0
4
2.3.2 保守力 势能 二 保守力和非保守力
2.3 能量守恒定律
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功 重力功
m'm m'm W (G ) (G ) rB rA
W
z
zA
A
mg

B A
P dr
B

zB
mg d z
A
zA
zB
B
( mgz
W
mgz
)
o
y
x
3

mg d z 0
2.3.2 保守力 势能 3 ） 弹性力作功